Файл: Основы автоматического управления..pdf

оптимальной системы выражается формулой

Выражение в фигурных скобках получается путем умножения входного сигнала Z (т) на известную форму полезного сигнала фі (т) и интегрирования по интервалу наблюдения. При этом полезная часть входного сигнала возво­ дится в квадрат и дает существенно положительную величину, при интегри­ ровании которой происходит как бы накопление полезного сигнала, в то время как шумовая часть при интегрировании не должна накапливаться. К этой идее накопления сигнала путем умножения входной функции на известную форму полезного сигнала и интегрирования легко можно прийти интуитивно, без применения теории оптимальных систем. Однако такое очевидное решение задачи можно получить только при полностью известной форме сигнала. В случае сигнала более сложной структуры найти оптималь­ ную систему интуитивным путем затруднительно.

Простота решения уравнения (14.1.1) в случае, когда X (t) представляет собой белый шум, приводит к следующей идее реше­ ния уравнения (14.1.1) в общем

затем найти оптимальную систему для случая белого шума V (t)

на рис. 14.1.1). Эта идея лежит по существу в основе всех известных методов решения интегрального уравнения (14.1.1).

Таким образом, решение интегрального уравнения (14.1.1) сводится к задаче канонического представления случайной функ­ ции X (t). Действительно, мы знаем, что проблема канонического представления случайной функции есть проблема ее выражения через белый шум — дискретный в случае канонического разложе­ ния и непрерывный в случае интегрального канонического пред­ ставления. Вследствие этого очевидно, что теоретической основой, на которой может быть построена общая теория оптимальных сис­ тем, является метод канонических представлений случайных функ­ ций. Далее мы рассмотрим применение обоих типов канонических представлений, когда случайная функция X (<) выражается через дискретный белый шум, т. е. через последовательность некоррели­ рованных импульсов, и когда она выражается через непрерывный белый шум. Применяя интегральное каноническое представление,

542 ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А ЛЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

мы получаем решение интегрального уравнения (14.1.1) в конеч­ ной форме. Однако, к сожалению, пока не существует общих методов получения интегральных канонических представлений для произвольных случайных функций. С другой стороны, любую слу­ чайную функцию можно, пользуясь стандартным приемом, пред­ ставить каноническим разложением. Однако в этом случае решение интегрального уравнения (14.1.1) получается в форме бесконечно­ го ряда.

Заметим, что формулой (14.1.4) можно пользоваться как при­ ближенной и в том случае, когда случайная функция X (t) не является белым шумом, но близка к белому шуму. А именно фор­ мула (14.1.4) дает приближенное решение уравнения (14.1.1), если интервал корреляции т0 случайной функции X (t) (т. е. максимальное значение разности | т — а |, при котором кор­ реляционная функция К х (т, о) существенно отличается от нуля)

неопределенной. Тогда, принимая во внимание, что в данном случае при любом значении о в интервале t — Т + т0 ^ а

^ t — т0 подынтегральная функция практически равна нулю вне интервала (а — т0, о + т0), и вынося за знак интеграла значение функции / (t, т)IG (т) в середине а этого интервала, будем иметь

Отсюда видно, что если определить функцию G (а) формулой

G(o)= тоj Аж(о+ т), o)dr\,

-То

то формула (14.1.4) даст приближенное решение уравнения (14.1.1).

§ 14.2. Определение оптимальной линейной системы в случае стационарных сигнала и помехи

и бесконечного интервала наблюдения

Применим изложенную общую идею для нахождения оптималь­ ной линейной системы в частном случае, когда требуемый выходной сигнал W и входной сигнал Z содержат только нерегулярные части, представляющие собой стационарные и стационарно связанные

а интервал наблюдения бесконечен: Т = оо. Для нахождения сис­ темы, преобразующей стационарную случайную функцию X (t)

вбелый шум, согласно изложенному в § 7.6, достаточно выразить

ееспектральную плотность в виде

ней полуплоскости. Тогда устойчивая стационарная линейная система с передаточной функци-

ей 1/Ф (s) и будет системой, пре­ образующей случайную функ­ цию X (t) в белый шум V(t) с еди­ ничной спектральной плотностью и интенсивностью, равной 2л.

Обозначим через | (і, т) не­ известную весовую функцию оп­

тимальной системы для случая белого шума V на входе. Тогда опти­ мальной системой для входной случайной функции X будет после­ довательное соединение системы с передаточной функцией 1/Ф (s) и системы с весовой функцией \ (t, т) (рис. 14.2.1).

Для определения весовой функции £ (і, т) оптимальной линей­ ной системы для случая белого шума V на входе имеем в данном случае одно уравнение (13.6.1) при Т = оо, правая часть кото­ рого представляет собой взаимную корреляционную функцию

как мы ищем физически возможную оптимальную систему. Из (14.2.3) видно, что оптимальная линейная система для белого шума V на входе стационарна. Ее передаточная функция Q (s) на осно­ вании (2.4.6) определяется формулой

о

Следовательно, и оптимальная система для входной случайной функции X (і), представляющая собой последовательное соедине­ ние двух стационарных линейных систем, стационарна. Так как передаточная функция последовательного соединения линейных систем равна произведению передаточных функций соединяемых

5 4 4 ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

систем, то передаточная функция оптимальной линейной системы для входной случайной функции X определяется формулой

Для полного решения задачи осталось теперь только найти взаим­ ную корреляционную функцию к,ІѴ(|) требуемого выходного сиг­ нала системы У и белого шума V. Так как белый шум V есть резуль­ тат преобразования случайной функции X устойчивой стационар­ ной линейной системой с передаточной функцией 1/Ф (s), то для определения взаимной спектральной плотности syv (со) случайной функции У и белого шума V можно применить формулу (7.4.21). В результате получим

Здесь мы обозначили переменную интегрирования через р, так как определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Подставляя выражение (14.2.7) в (14.2.4) и после этого подстав­ ляя полученное выражение в (14.2.5), получим следующую форму­ лу для передаточной функции оптимальной линейной системы:

Эта формула является основной формулой теории экстраполяции, интерполяции и сглаживания стационарных случайных функций, разработанной Винером [12].

Двойной интеграл в формуле (14.2.8) во многих случаях легко вычисляется. Так, например, этот интеграл легко вычисляется, если отношение s,/x (р)/Ф (— ір) является дробно-рациональной функцией. В этом случае, полагая в (14.2.8) s = ісо и выполняя интегрирование, получим следующую формулу для частотной характеристики оптимальной линейной системы (см. [53], § 129):

где квадратные скобки со знаком + внизу озпачают, что рацио­ нальная дробь, заключенная в эти скобки, должна быть разложе­