Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 365

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 14.2. СЛ У ЧА Й СТА Ц И О Н А РН Ы Х СИГН АЛА И ПО М ЕХ И

545

на на простые дроби и в полученном разложении должны быть отброшены все простые дроби, соответствующие корням знамена­ теля, расположенным в нижней полуплоскости комплексной пере­ менной со. Иными словами, второй множитель в формуле (14.2.9) представляет собой сумму всех простых дробей в разложении на простые дроби рациональной дроби, заключенной в квадратные скобки, которым соответствуют полюсы, расположенные в верхней полуплоскости.

П р и м е р 14.2.1. Найти оптимальную линейную систему (фильтр) для отделения полезного сигнала, представляющего собой стационарную случай­ ную функцию А! (<) с нулевым математическим ожиданием и корреляцион­ ной функцией кх1 (т) = De—'“HI, от некоррелированной с ним помехи А2 (0, которая является белым шумом постоянной интенсивности к.

По условиям задачи входной сигнал и требуемый выходной сигнал системы определяются формулами

Z(t) =

X «) = A,

(t) + А2 (t),

W(t) = Y

(г) = A, (<). (14.2.10)

Находим сначала спектральную плотность случайной функции X (г). Так

как Xi(t) и А2(і) не коррелированы, то sx (со) =

(со) +

(со). Под­

ставляя сюда

выражение

спектральной

плотности

случайной

функции

А, (<):

D а

лос24to2

и спектральной плотности к/2я белого шума А2 (t), получим

D

а

к _ к

ß2 +

со2

’

ß2

2D<x

(-а2.

** (ш)==1 Г '

а 2+ м2 + 1 кГ ~~2

л ' а 2+

со2

 

к

 

Эту спектральную плотность можно представить в виде квадрата модуля некоторой функции, имеющей нули и полюсы в верхней полуплоскости:

ß+ io) sx (со)—I/2л а-(-ісо

Следовательно, передаточная функция стационарной линейной системы, форъ мирующей случайную функцию А (г) из белого шума с единичной спек­ тральной плотностью, выражается формулой

Величина 1/Ф (fco) представляет собой частотную характеристику обратной системы, преобразующей данную случайную функцию А (t) в белый шум.

Для решения задачи нам нужно найти еще взаимную спектральную плот­ ность случайных функций Y (t) и А (t). Учитывая, что случайные функции А, (г) и А2 (<) не коррелированы, можем написать

кух (т)= М [Y (t + т) А (<)]= М [Aj (f + т) {At (*) + А2 (<)}] =

= М[X, (<+ t)Xj (<)]= *„ (т).

Таким образом, случайные функции У (#) и А (г) в данном случае стацио­ нарно связаны и их взаимная корреляционная функция совпадает с корре­ ляционной функцией случайной функции У (t) = Af (t). Следовательно, и взаимная спектральная плотность случайных функций У (t) и А (<)

35 Под ред. В. С. Пугачева

546

ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П Т И М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

совпадает со спектральной плотностью случайной функции X t (t):

ü

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14.2.12)

На основании

формул

(14.2.11)

и

(14.2.12) имеем

 

 

s y x ( (£>)

1

/

_2_

_____а — ito_______

 

 

Ф( — iw)

а V

кл

(ß— ito) (а2 + to2) —

 

 

 

:Da V

_2_________1______

--Dа | /

2

 

 

кл ' (— ico + ß) (ito+ а)

/сл

(со Ң-iß) (to— іа)

Разложив это выражение на простые дроби, получим

 

 

syx (Ц>)

Ра

, /

2

/ __ 1_______ 1

\

 

Ф (— ito) — і (a + ß)

V

кл

\ to—іа

со-)-iß /

В полученном разложении полюс первой дроби іа лежит в верхней полу­ плоскости, а полюс второй дроби —iß — в нижней полуплоскости. Поэтому вторую дробь следует отбросить. В результате получим

Г syx (ш) "I _

Da

/ 2

1

|_Ф (— ito) J+

i(a-)-ß) У

кл

to— іа

Подставляя это выражение и выражение (14.2.11) в формулу (14.2.9), нахо­ дим частотную характеристику оптимальной линейной системы:

чгг ч

Дсс

, /

2

1

-. У 2л

to —іа

_

 

 

га>

i(a + ß)

V

кл

to—іа

V

к '

to—iß

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Da

 

1 _

20а

1

 

 

 

 

 

ik( а + ß) to—iß

fc(a-fß)

ito+ ß

Ho 2Da/k = ß2 — а 2.

Подставив это

выражение

в предыдущую формулу,

получим

окончательно

 

 

ß—а

 

 

 

 

 

 

 

Y (ito)

 

 

 

 

 

 

 

ito+

ß

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта формула показывает, что в данном случае оптимальный фильтр пред­ ставляет собой апериодическое звено с постоянной времени Т = І/ß и коэф­ фициентом усиления (ß — a)/ß. Следовательно, в данном случае опти­ мальный фильтр можно точно реализовать в виде последовательного соеди­ нения усилителя и цепочки RC.

Заметим, что точная реализация оптимального фильтра оказалась в рас­ смотренном примере возможной только благодаря тому, что помеха является белым шумом, а полезный сигнал не содержит компоненты в виде белого шума. В таких случаях формула (14.2.9) всегда выражает передаточную функцию оптимальной системы в виде дробно-рациональной функции, у которой степень числителя меньше степени знаменателя. Такие передаточ­ ные функции в принципе всегда можно точно реализовать при помощи сопро­ тивлений, емкостей и индуктивностей. Если помеха не является белым шумом и полезный сигнал не содержит компоненты, представляющей собой белый шум, то степень числителя передаточной функции оптимальной системы в общем случае будет по меньшей мере равна степени знаменателя, вслед­ ствие чего при реализации оптимальной системы возникают серьезные труд­ ности. Однако, как мы уже знаем, в точной реализации оптимальных систем нет практической необходимости (см. пример 13.3.1).

§ 14.3, Ф ОРМ УЛА Д Л Я О П Р Е Д Е Л Е Н И Я ОПТИ М А ЛЬН О Й СИСТЕМ Ы 547

§ 14.3. Общая формула для определения оптимальной линейной системы

Предположим, что мы умеем найти физически возможную линей­ ную систему, весовую функцию которой обозначим w~ (t, т), преобразующую данную случайную функцию X (t) в белый шум V (t). Предположим, что нам известна весовая функция обратной системы w (<, т), формирующей случайную функцию X (t) из бело­ го шума V (t). При этом мы вначале рассмотрим случай бесконечно­ го интервала наблюдения Т = оо. В следующем параграфе мы покажем, как можно применить полученные результаты к случаю конечного интервала наблюдения.

В данном случае мы можем написать следующие равенства: t

V (t) =

j

w (t, x) X (x) d%,

(14.3.1)

 

—OO

 

X(t)=

i

w (t, x) V (x) dx.

 

f

(14.3.2)

Теперь заметим, что на входе искомой оптимальной системы обыч­ но действует не только сумма нерегулярной части полезного сигна­ ла и помехи X (t), но также и регулярная часть полезного сигнала, т. е. сумма известных функций срг (<), умноженных на случайные коэффициенты Uг. Эти функции cpr (t) также будут преобразовы­ ваться системой, которая преобразует X (t) в белый шум. Резуль­ тат этого преобразования функций ср4(t), . . ., ср^ (t) мы обозна­ чим Хі (0. • • •> %n (0 (рис. 14.1.1). Тогда будем иметь следующие соотношения:

 

і

 

 

 

Xr(t)=

j

W~(t, т)фг (т)гіт

(r= 1, .. .,N).

(14.3.3)

 

—oo

 

 

 

t

 

 

 

фг (t) =

j

U>(t, t ) Xr ( t ) dx

(r = 1, .. •, N).

(14.3.4)

—oo

Таким образом, решая задачу определения оптимальной системы для белого шума на входе, мы должны вместо функций фг (t) взять функции Хг (*)■ Кроме того, вместо взаимной корреляционной функции К ѵх (t, а) мы должны взять взаимную корреляционную функцию случайной функции Y (t) и белого шума V (t):

Kyv(t, о) = М [У (t) у (а)] =

= M [ Y (t) j ш-(а, T )X (T )dt]= J w~(a, т) K vx(t, т) dr. (14.3.5)

3 5 *

548

ГЛ< 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Точно так же из (14.3.2) находим

X

Кух (t, т) = М [Y (t) X (т)[ = М [ у (t) J w(x, а) 7 (о) da] =

— 00

X

— j w(x, o)Kyv(t, a) do. (14.3.6)

— o o

Сравнивая формулы (14.3.3) и (14.3.5), мы приходим к выводу, что при преобразовании случайной функции X (<) в белый шум V (t) необходимо подвергнуть такому же преобразованию правую часть интегрального уравнения (14.1.1), т. е. вместо функции / (і, а) нужно взять функцию

СГ

 

/і (г, a) = j w~(a, x)f(t, x)dx.

(14.3.7)

— o o

Функции f (t, т) и fi (t, а) связаны, как показывают формулы (14.3.4) и (14.3.6), и обратным преобразованием:

т

 

f(t, т) = j w(X, o)fi (t, а) da.

(14.3.8)

Это необходимо учитывать, как мы увидим в дальнейшем, при решении уравнения (14.1.1) в случае конечного интервала наблю­ дения.

Обозначим весовую функцию оптимальной линейной системы для белого шума V (t) на входе через | (t, т). Пользуясь формулой

(14.1.4), находим

l(t, х)=

(—о о < т < 0 -

(14.3.9)

Искомая оптимальная система представляет собой последо­ вательное соединение линейных систем с весовыми функциями w~ (<, т) и £ (t, т) (рис. 14.1.1). Поэтому, пользуясь формулой

(4.2.5), получим

1

 

g(t, т)= j l{t, а) w~ (er, x)da.

(14.3.10)

T

 

Таким образом, последовательность формул

(14.3.7), (14.3.9)

и (14.3.10) дает решение поставленной задачи. Эти три формулы

можно объединить. Для

этого

подставим выражение (14.3.7)

в (14.3.9) и полученное

таким

образом выражение подставим

§ 14.3, Ф ОРМ УЛА Д Л Я О П Р Е Д Е Л Е Н И Я ОПТИМ АЛЬНОЙ СИСТЕМ Ы

549

в (14.3.10). В результате получим

 

 

 

g (t, т) = J W~{aG' ^ da

j w- (о, X) f (t, X) dX.

(14.3.11)

 

 

T

— oo

 

 

 

Полагая

в

(14.3.11) последовательно

f (t, X) =

K yx(t,

X),

Фі (X,), . . .,

x),

(X), мы найдем

функции g{0)(t, т), g(1) (t, т), . . .

. . ., gW (^

после чего весовая функция

оптимальной системы

g (t, т) находится, как показано в § 13.6.

Формулу (14.3.11) можно, конечно, получить чисто формаль­ ным путем, пользуясь интегральным каноническим представлени­ ем случайной функции X (t). Однако изложенное решение более наглядно и вскрывает физический смысл применения метода инте­ гральных канонических представлений в данном случае.

Подставляя полученное решение (14.3.11) в интегральное урав­ нение (14.1.1) при Т — оо и принимая во внимание, что при любом t > о, т

t

Кх (о, т )= I G(u)w(o, u)w(x, и) du,

jw( t , o) w (0 , x)do = ö(t— т),

—ОО

t

jw~(t, 0) w(0 , x)do = 6 ( t — t)

—OO

(см. формулы (7.6.13), (7.6.7) и (7.6.8)), можно убедиться в том, что выражение (14.3.11) действительно удовлетворяет интегральному уравнению (14.1.1) при Т = оо:

t

 

j Кх (х, 0)g(t, x)dx = f(t, 0 )

(— oo < o < ^t). (14.3.12)

—oo

Применим формулу (14.3.11) к частному случаю стационарной случайной функции X с дробно-рациональной спектральной плот­ ностью. Определив в этом случае передаточную функцию устойчи­ вой стационарной линейной системы, преобразующей случайную функцию X в белый шум, путем представления спектральной плот­ ности формулой (14.2.2), можем найти ее весовую функцию по фор­ муле (7.6.27) или (7.6.30). Имея в виду, что в данном случае систе­ ма, преобразующая случайную функцию X в белый шум V, ста­ ционарна, пользуясь правом произвольно расширять пределы интегрирования в случае нулевой подынтегральной функции и учи­ тывая, что интенсивность белого шума V (t) равна в данном случае

Смотрите также файлы