ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 362
Скачиваний: 15
§ 14.3. Ф ОРМ УЛА Д Л Я О П Р Е Д Е Л Е Н И Я О П ТИ М А ЛЬН О Й СИСТЕМ Ы 551
Наконец, изменив порядок интегрирования по переменным £ и ш, получим
1 |
F |
X(*. ц) |
dp. |
(14.3.19) |
= |
J ф ( і ш) |
ф ( - і р ) |
|
|
|
— 00 |
|
|
|
Сравним формулу (14.3.19) с формулой (2.3.20), выражающей весовую функцию линейной системы через ее частотную характе ристику. Тогда получим следующую формулу для частотной харак теристики системы, весовая функция которой определяется урав нением (14.3.12):
z (t, m) |
1 |
(14.3.20) |
|
2лФ (іш) U |
|||
|
“Oo |
Эта формула показывает, что в общем случае, несмотря на стацио нарность входного случайного возмущения X, оптимальная систе ма нестационарна, так как ее частотная характеристика зависит
от времени.
Заметим теперь, что для вычисления функции % по формуле (14.3.16) необходимо задать функцию / (t, А), рассматриваемую как функция А, на всей числовой оси, в то время как для нахож дения оптимальной системы достаточно задать ее в интервале
— оо < А ^ t. Это кажущееся противоречие не возникает при при менении формулы (14.3.11), из которой была выведена формула (14.3.20). Дело в том, что формальное расширение пределов инте
грирования по I |
в (14.3.13) |
позволяет |
продолжить функцию |
||
/ (t, X) в область t < X < ООпроизвольно, |
так как w~ (а — А,) = О |
||||
при А > а , а о ^ і в |
области интегрирования по а. Например, мож |
||||
но принять / (t, X) |
= 0 при X > |
t. |
Однако при этом могут полу |
||
читься разрывы функции / (t, |
X) |
и |
ее производных по А, в точке |
||
X = /. А так как весовая функция W (о — X) обычно содержит линейную комбинацию 8-функции и ее производных, то внутрен ний интеграл в (14.3.13) содержит линейную комбинацию произ водных функции / (t, А) по А. Вследствие дифференцирования раз рывной функции внутренний интеграл в (14.3.13) будет содержать липшие члены с 6-функцией и ее производными. Эти лишние члены возникают только в результате произвольно допускаемого разрыва функции / (t, А) и ее производных по А в точке А = t. Их можно избежать, если продолжить функцию / (t, А) в область А > t таким образом, чтобы она была непрерывна вместе со своими производ ными по А до соответствующего порядка. Поэтому все лишние чле ны с б-функцией и ее производными, полученные при вычислении внутреннего интеграла в формуле (14.3.20), равного на основании
§ 14.4. СЛ У ЧА Й К О Н ЕЧ Н О ГО И Н Т Е РВ А Л А Н А Б Л Ю Д Е Н И Я |
553 |
корням знаменателя, и в полученном разложении должны быть отброшены целая часть и все простые дроби, соответствующие кор ням знаменателя, расположенным в нижней полуплоскости ком плексной переменной ю.
§ 14.4. Определение оптимальной линейной системы в случае стационарной помехи и конечного интервала наблюдения
Формулу (14.3.11) можно в некоторых случаях применить и для определения оптимальной линейной системы в случае конечного интервала наблюдения. Легко понять, что если интегральное урав нение с бесконечным нижним пределом
t |
|
|
j Kx {r, o)g(t, %)dx = j(t, а) |
( — oo < o < « ) |
(14.4.1) |
—oo
имеет решение g (t, т), равное нулю при т < t — Т:
g (t, т) = 0 при т < t — Т, |
(14.4.2) |
то это решение является также решением интегрального уравнения с конечными пределами
t |
|
j Kx (r, o)g(t, x)dx = f(t, о) |
( —oo <o<^t). (14.4.3) |
t - T |
|
Следовательно, для решения уравнения (14.4.3) достаточно найти такое решение уравнения (14.4.1), которое равно нулю при всех т «< t — Т. Однако уравнение (14.4.1) далеко не всегда, не при всяком виде функции / (t, а), имеет такое решение. Чтобы обеспе чить существование такого решения уравнения (14.4.1), восполь зуемся тем обстоятельством, что в случае конечного интервала наблюдения Т достаточно, чтобы уравнение (14.4.3) удовлетворя
лось только |
для значений а в |
интервале наблюдения t — Т ^ |
|||
^ |
а ^ |
t. Иными словами, правая часть интегрального уравнения |
|||
(14.4.3) |
должна |
быть задана |
только в интервале наблюдения |
||
t |
— Т ^ |
а ^ |
t. |
Ее значения в этом интервале полностью опреде |
|
ляют интересующее нас решение уравнения (14.4.3). Поэтому зна чениями функции / (t, а) при а < t — Т можно распорядиться совершенно произвольно. Этим обстоятельством можно восполь зоваться и выбрать функцию / (t, а) при о < t — Т таким образом, чтобы обеспечить существование решения уравнения (14.4.1), удовлетворяющего условию (14.4.2). Это решение будет удовле творять и уравнению (14.4.3) при всех и ^ / . Б частности, оно будет удовлетворять уравнению (14.4.3) при t — Т ^ а ^ t, т. е. будет удовлетворять интересующему нас уравнению (14.1.1).
