554 ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Таким образом, задача определения оптимальной линейной системы в случае конечного интервала наблюдения сводится к та кому продолжению заданной правой части / (t, а) интегрального уравнения (14.1.1) в область о < t — Т, чтобы обеспечить выпол нение условия (14.4.2). После этого решение интегрального урав нения (14.1.1) определяется по общей формуле (14.3.11). Такова общая идея метода решения интегрального уравнения (14.1.1) в случае конечного интервала наблюдения Т.
Найдем решение интегрального уравнения (14.1.1), основы ваясь на изложенной общей идее, ограничиваясь частным случаем, когда случайная функция X (t) стационарна и имеет дробно-ра циональную спектральную плотность. Мы видели в § 7.6, что любую дробно-рациональную спектральную плотность можно представить в виде
II (iw) Н (— iw)
F (iw) F (— гео)
Я (iw)
при действительных coj . (14.4.4)
F (iw)
Представление спектральной плотности в таком виде дает основа ние трактовать случайную функцию X (t) как результат прохож дения стационарного белого шума со спектральной плотностью 1/2л и, следовательно, интенсивностью, равной единице, через устойчивую стационарную линейную систему с передаточной функ цией Ф (s) = Н (s)/F (s). Этой передаточной функции соответству ет линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффи циентами, связывающее случайную функцию X (<) с белым шумом
V (і),
F(D) X = Н (D) V. |
(14.4.5) |
Учитывая, что система, преобразующая случайную функцию X (t) в белый шум V(t), в данном случае стационарна и интенсив ность белого шума V (t) тождественно равна единице, перепишем цепочку формул (14.3.7), (14.3.9) и (14.3.10) в виде
g(t, |
т )= |
j |
l(t, а) w (o — i)d<J, |
(14.4.6) |
|
|
—оо |
|
l(t, |
|
X |
w~ (x — X)f (t, K)dX. |
(14.4.7) |
т )= |
j |
Мы расширили интервал интегрирования в формуле (14.4.6), имея в виду, что и>~ (ст — т) = 0 при а < т.
Для определения весовой функции іѵ~ воспользуемся формулой (4.4.26), которая в данном случае дает
W - ( t - x ) = F ( — - ^ } p ( t — т ) , |
( 1 4 .4 .8 ) |
§ 14.4 СЛ У ЧА Й К О Н ЕЧ Н О ГО И Н Т ЕРВ А Л А Н А Б Л Ю Д Е Н И Я |
555 |
где р (t — т) — весовая функция физически возможной системы, определяемая линейным дифференциальным уравнением
Н ( і г ) р ^~~т) = б (г — т)- |
(14.4.9) |
Предположим теперь, что полином Н (р) |
имеет только |
простые |
корни, которые мы обозначим через рІ5 |
. . ., pm. Все эти корни |
на основании изложенного в § 7.6 имеют отрицательные действи тельные части. В этом случае для определения весовой функции р (t — т) можно применить формулу (4.4.49). В результате получим
т |
р, (f—x) |
|
|
P ( * - T ) = S |
)і '( ц) |
(т < 0 - |
(14.4.10) |
9=1 |
9 |
|
|
Подставляя выражение (14.4.8) в (14.4.6) и изменяя порядок операций дифференцирования и интегрирования, получим
g(t, т)= |
t |
|
|
jl (t , o)F ( — f c) p(<J— T)do = |
|
—00 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
= * ( — £?) 1 P ( o - x ) l ( t , a ) d a . |
(14.4.11) |
|
|
—oo |
|
Вводя промежуточную весовую функцию |
|
|
t |
t |
|
Г) (t, x)= |
j |
p(a — T)l(t, a)da = j p(o — T)l(t, a) da, |
(14.4.12) |
|
- o o |
X |
|
перепишем формулу (14.4.11) в виде |
|
|
|
g{t, т) = р ( — £ -)ri(f, T ) . |
(14.4.13) |
Таким образом, решение интегрального уравнения (14.4.1) в дан ном случае определяется последовательностью формул (14.4.7), (14.4.12) и (14.4.13).
Чтобы применить формулы (14.4.7), (14.4.12) и (14.4.13) к слу чаю конечного интервала наблюдения, мы должны согласно изло женной общей идее определить функцию / (t, т) при т <. t — Т таким образом, чтобы удовлетворить условию (14.4.2). На основа нии формулы (14.4.13) условие (14.4.2) может быть переписано в виде
F ( ~ 4 z ) |
т ) = 0 |
(т< t — T). |
( 1 4 .4 .1 4 ) |
556 |
ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е |
О Й ТИ М А Л ЬН Ы Х |
Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Таким |
образом, весовая |
функция т] |
(t, т) определяется при |
т < t |
— Т линейным дифференциальным уравнением с постоян |
ными |
коэффициентами (14.4.14). |
|
Как известно из теории дифференциальных уравнений, общий интеграл линейного дифференциального уравнения (14.4.14) вы
ражается |
формулой |
|
|
|
|
г)(і, т) = c1eh‘T-f- c2eft2T-f ... |
, |
(14.4.15) |
где |
ki, . . ., кп — корни характеристического |
уравжения |
|
|
F ( - к ) = 0, |
|
(14.4.16) |
а си |
. . ., |
сп — произвольные постоянные. Обозначим корни поли |
нома F (ѵ) через ѵ4, . . ., ѵп и для простоты предположим, что |
все они различны. Кроме того, ни один из |
корней |
vt, . . ., |
не совпадает ни с одним из корней p,t, . . ., цт полинома Я (ц), так как полиномы F (s) и Я (s) в формуле (14.4.4) не имеют общих множителей (если бы числитель и знаменатель выражения (14.4.4) имели общий множитель, то на него можно было бы дробь сокра
тить). |
Наконец, на |
основании |
изложенного в § 7.6 |
все корни |
ѵь . . |
., ѵ„ полинома F (ѵ) имеют отрицательные действительные |
части. |
Очевидно, |
что корни |
характеристического |
уравнения |
(14.4.16) равны корням полинома F (ѵ), взятым с обратным зна ком:
к\ = ѴЬ &2 ” ^2? • • м кп ѵп.
Подставляя эти значения в (14.4.15) получим следующую формулу, определяющую функцию ц (t, т) в области т < £ — Т:
T[(t, %) = c1e-v<T-f-c2e~V2't + •. •+c„e-v«’t (т< t — T). (14.4.17)
Для определения функции \ (t, т) при т < t — Т воспользу емся формулой (14.4.12). На основании изложенного в §§ 4.3 и 4.4 формула (14.4.12) определяет ц (t, т) как интеграл дифференциаль ного уравнения, сопряженного с (14.4.9):
= г). (14.4.18)
Подставляя сюда выражение (14.4.17) функции т] (t, х) и учитывая, что при дифференцировании показательной функции екх оператор дифференцирования d/dx везде заменяется множителем к, получим
l(t, х) = с1Н(ѵ1) е -ѵ‘т+ с2Я (ѵ2) e_V2t+ |
... + с пН (vn)e _v"T |
( x < t - T ) . |
(14.4.19) |
Наконец, для определения функции / (t, т) при т < t — Т заметим, что согласно общей теории § 4.4 формула (14.4.7) опре-
§ 14.4. СЛ У Ч А Й К О Н ЕЧ Н О ГО И Н Т ЕРВ А Л А Н А Б Л Ю Д Е Н И Я |
557 |
деляет функцию | (t, т) как интеграл линейного дифференциаль ного уравнения с постоянными коэффициентами
Это уравнение является также дифференциальным относительно функции / (і, т) и может быть использовано для определения функ ции / (t, т), если известна функция |(£, т). Подставляя в уравне ние (14.4.20) выражение (14.4.19) функции |(£, т), получим следу ющее дифференциальное уравнение, определяющее функцию
/ (t, т) при т < t — Т:
П |
|
F {іт) f V ’ т) = 2 crH(vr)H ( — vT)e~vrx. |
(14.4.21) |
r = 1 |
|
При этом вследствие формул (14.3.8) и (14.3.9) функция / (t, т) представляет собой такой интеграл уравнения (14.4.20), который тождественно равен нулю, если функция £ (t, т) тождественно рав на нулю, т. е. частный интеграл уравнения (14.4.20) или, что то же, уравнения (14.4.21), не содержащий свободных колебаний. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, такой частный интеграл уравне ния (14.4.21) следует искать в форме
/ (І, Т) = 2 Аге~ѵгх, |
(14.4.22) |
Г—1 |
|
где Аі, . . ., А п — неопределенные коэффициенты. Для определе ния этих коэффициентов следует подставить выражение (14.4.22) в уравнение (14.4.21) и сравнить коэффициенты при одинаковых показательных функциях в левой и правой частях полученного равенства. Тогда получим
2 ATF( —vr)e |
vfx— 2 |
стН (ѵг) II (— ѵг) е“ѵ’гТ, |
|
Г=1 |
г=1 |
|
|
ArF {—vr) — crH (vr) II (—vr), |
|
откуда |
|
|
|
Ат—Cr H (vr) H (—vr) |
(r = 1, .. .,n). |
(14.4.23) |
F { - v r) |
|
|
Таким образом, функцию / (t, т) для значений т < t — |
Т необхо |
димо определить формулой |
|
|
Я (ѵг) Я ( - ѵ г) |
(т < t - T ) . |
|
/ (*. т) = 2 с, |
F ( - v r) |
( 1 4 .4 .2 4 ) |
558 г л . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Это выражение содержит п произвольных постоянных сь . . сп, и пока мы еще не имеем никаких данных для их определения. Поэтому оставим их пока неопределенными и будем считать функ
цию / (t, |
т) |
заданной в интервале — оо < т < t |
—- Т формулой |
(14.4.24), а в интервале t — |
|
|
|
— совпадающей с извест |
ной правой частью интегрального уравнения (14.1.1). |
функций |
Перейдем теперь к последовательному определению |
І> Ц и g в интервале t — Т |
т ^ |
t, считая функцию / известной |
во всем |
интервале |
— оо < |
т < |
t. Разбивая |
при |
t — Т ^ |
т ^ t |
интервал |
интегрирования |
в |
формуле |
(14.4.7) |
на две |
части |
(— оо, t — Т) и (t |
— Т, т) и подставляя в первый интеграл выра |
жение (14.4.24) функции / (t, |
т) при т < |
t — Т, получим |
|
|
l(t, т)= |
^ |
сг Я(Ѵ/ |
(^ ~ Ѵг) |
j |
w~ (x — l) e~vrx dk + |
|
|
|
r = l |
|
- 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
j |
w~ ( t — X)f (t, X)dX. |
(14.4.25) |
|
|
|
|
t - T |
|
|
|
|
|
|
Заметим теперь, что весовая функция w~ (т — X) при X < |
т может |
быть определена по формуле (4.4.50): |
|
|
|
|
|
|
|
и г ( т - А , ) = 2 4 |
^ |
J |
e>lq(X' X) |
(X< T)- |
(14.4.26) |
|
|
|
9=1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Этот же результат получается, если выражение (14.4.10) подста вить в формулу (14.4.8) и изменить соответственным образом обо значение аргументов. На основании формулы (14.4.26) можем написать
* - Т |
m |
t - T |
|
|
~ o o |
q = i |
— oo |
|
|
= |
—e~vr(-t~T) V |
F ^ |
гв7(т-і+Г) |
(14.4.27) |
|
9=1 |
(ѵг+ р ,) Я '(р 5) |
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражение (14.4.8) в последний интеграл в формуле (14.4.25), приведем его к виду
X |
X |
j |
w - (x - X )f( t, X)dX= j f ( t , k ) F ( — f i ) p ( T - X ) d X . |
