§ 14.4. С Л У ЧА Й К О Н Е Ч Н О Г О И Н Т Е Р В А Л А Н А Б Л Ю Д Е Н И Я |
559 |
Для дальнейшего преобразования этого интеграла воспользуемся формулой Грина
І2 |
п - і |
n -h —1 h |
j (vFu - |
uF*v) d t = [ 2 |
uW 2 |
2 ( - 1)'1C t ä + h U ѵ <1)] 1 ’ |
ti |
k=0 |
h= 0 |
1=0 |
справедливой для любого линейного дифференциального оператора
F = 2 ahD \
Ь=0
соответствующего сопряженного оператора
^ * = 2 ( - l ) k D h (ah ■) h = 0
и любых функций и и V , производные которых могут иметь разрывы первого рода в некоторых точках интервала интегрирования *). Применяя формулу Грина, учитывая, что для линейных дифферен циальных операторов с постоянными коэффициентами
и принимая во внимание, что весовая функция р (т — X) равна тож дественно нулю при X > т, получим
jт |
w~ (т — X) f (t, X) dX = * j р(т — X) F (-Jj-) f(t, X)dX-\- |
t - T |
t - T |
|
|
n - 1 |
n —k - i |
|
+ % № ( t , t - T ) |
2 ak+h+lPW ( x - t + T). |
|
fc= 0 |
л=о |
Подставляя сюда выражение (14.4.10) весовой функции р, будем иметь
ъ
j w ~ (т— X ) f ( t , X ) d X = |
j* |
|
|
|
t-т |
JA T |
|
|
|
7П |
е - ^ Е ( ± ) Ң , Л ) И + |
9=1 |
t - T |
|
n -2f t - 1 |
|
+ e-V ‘- r>2п - 1 |
/ f ( t , t - T ) |
ай+л+^ } . (14.4.28) |
|
h=0 |
|
|
h = 0 |
|
) Читатель может найти вывод формулы Грина, например, в [53], § 84.
5 6 0 |
ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е -ОПТИМ АЛЬНЫ Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Дальнейшее вычисление этого интеграла в общем виде невозможно. Можно, однако, заметить, что этот интеграл легко выражается через элементарные функции во всех случаях, когда функция / (t, т) представляет собой полином относительно т, показатель ную функцию, или тригонометрическую функцию, или сумму про изведений показательных и тригонометрических функций на по линомы.
Подставляя выражения (14.4.27) и (14.4.28) в формулу (14.4.25), получим
|
п |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
I (t, Т)= |
rV г |
11 |
(Ѵг) |
11 |
(~ Ѵг) |
V |
J_„ |
|
_ц д т —t - m , |
' 2л Cr |
|
F ( — Vr) |
2j |
(Pg) |
9 |
+ |
|
= l |
|
|
|
|
^ |
OV + Pg) И ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 т ^ г ( |
.( е' Ѵ г Ш < ^ » ik+ |
|
q—l |
t - T |
|
|
n-1 |
n-h—1 |
|
+ e - ^ ((- T)2 |
2 a^ h +iPg}. |
(14.4.29) |
ft=0 |
|
h=0 |
|
Вводя для краткости обозначения |
|
|
Ъг = СгН{ѵ; \ Я {~ Ѵг) e~vrV-T> |
( r = 1 ........B)| |
(14.4.30) |
|
+ e- V (- T> 2 f x \ t , t - T ) |
2 |
|
|
(14.4.31) |
|
|
|
|
|
h=0 |
|
|
h=0 |
|
|
|
можем представить |
формулу (14.4.29) |
в |
более |
компактном виде |
|
П |
|
|
7П |
Т’ (Рд) |
|
|
|
|
|
|
|
£(*, т) = |
2 &г |
S |
|
|
е Ѵ |
т “ ( + т ) + |
Ео(г, Т ) . |
(14.4.32) |
(Ѵг + Рд) Н ' (Рд) |
|
Переходим |
t. |
к |
определению |
функции |
ц (t, т) в |
интервале |
t — Т ^ |
т ^ |
Для этого подставим выражение (14.4.32) в фор |
мулу (14.4.12). |
Тогда получим |
|
|
|
|
I |
|
|
П (t, Т) = |
п |
|
|
m |
ДлД+Цд) Н' |
(Рд) |
|
|
р (а — т) е*яаda -f- |
- 2 |
ЪГ 2 |
е~^~т) j |
|
|
|
|
|
F (Рд) |
|
|
|
|
|
|
|
|
r = 1 |
|
д=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
р (а — т) Io (t, |
а ) da. |
(1 4 .4 .3 3 ) |
§ 14.4. СЛ У ЧА Й К О Н ЕЧ Н О ГО И Н Т ЕРВ А Л А Н А Б Л Ю Д Е Н И Я |
561 |
Выразив весовую функцию р (а — т) формулой (14.4.10), |
заменив |
в ней предварительно индекс суммирования q на р, можем написать
j р ( о - т ) е Ѵ da = 2 |
н'\рр) J е(|1р+•V® da = |
- л |
X |
|
р=і |
т |
A L r V + W ' |
|
|
= - ? ■ |
|
(Р р -Ь Н -д ) Н ' (Р р ) |
|
Р = 1 |
|
|
Подставляя это выражение и выражение (14.4.10) весовой функции
р (а — т) в (14.4.33), получим
|
п |
|
|
т |
г / |
\ |
ѴаТ , - n . ( t - T ) |
В ..Р - Г ) |
, |
. _ v , |
Г |
ѵ р ( Ы е q Iе 9 |
~ e p |
1 + |
^ |
’ |
|
^ |
(v r |
P g ) (P p “b P g ) H ' ( P p ) H ' (P g ) |
|
= |
|
p , |
g = l |
|
|
|
|
|
|
|
r■*—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
” |
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e * |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
-HT'F(Pwg ) r |
I e^ |
° (г’ G) da• <14-4-34) |
|
|
|
|
|
|
|
g = l |
|
T |
|
Последний интеграл легко выражается через элементарные функ ции во всех случаях, когда функция / (<, т) представляет собой полипом относительно т, или показательную функцию, или три гонометрическую функцию, или сумму произведений показатель
ных и |
тригонометрических |
функций на полиномы. В подобных |
случаях |
и функция 10 (t, т), |
как показывает формула (14.4.31), |
имеет такую же форму. |
|
|
|
Итак, мы определили функцию г) (г, т) внутри интервала t |
|
— Т < |
т < t. Однако в выражении этой функции остались |
неиз |
|
— |
вестными величины Ьі, . . ., Ьп, так как в определяющих их фор мулах (14.4.30) неизвестны величины сь . . ., сп. Для нахождения этих величин воспользуемся доказанным в § 13.5 положением, что для определения весовой функции оптимальной системы необхо димо не любое решение интегрального уравнения (14.1.1), а толь ко такое его решение, которое содержит производные б-функции не выше р-го порядка, если р — наибольшее целое число, для кото-
ö2j>rz(T, ст)
рого производная —дхѵдаѵ—' > а следовательно на основании формулы (13.5.18) и производная корреляционной функции
д * ѵ к х (т, о) |
тт д * Р К х (т |
- |
,а) |
— |
, непрерывна. Но |
— дхР^ |
'■ является корреляцион |
ной функцией производной |
Х (р) (і) |
случайной функции X (t). |
Для определения р вернемся к уравнению (14.4.5) Это уравнение содержит производные белого шума V (t) до порядка тп включи тельно ix производные случайной функции X (t) до порядка п включительно, причем /г > тп. Следовательно, случайная функция X (t) содержит результат интегрирования белого шума V (t) по
36 Под ред. В. С. Пугачева
562 |
ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
меньшей мере п — т раз и ее производная порядка п — т содер жит в виде слагаемого белый шум V (t). Поэтому производная
дЪп-ітКх {т, а)
дхп-т,уаті-т |
( — l ) n-m/42n-2m) (Т — (Т) |
содержит слагаемое типа |
б (т — о). Но при этом производная |
k x <2n-2m-1) (т — а) имеет разрыв первого рода при а = т, а произ водная
дгп-2т-2 К х (т, а) (._ i)"-™ -i/42n~2m- 2>(Т_ а )
дхп-т-1дап-т-1
непрерывна при а — т. Таким образом, в данном случае р = п —
— т — 1 и весовая функция g (t, |
т) может содержать б-функцию |
и ее производные порядка не выше п — т — 1. |
Формула (14.4.13) показывает, что выражение весовой функции |
g (t, т) содержит производные функции ц (t, т) по т до порядка |
п включительно. Следовательно, |
п-я производная функции |
ц (t, т) может содержать производные б-функции порядка не выше |
п — т — 1. Отсюда следует, что |
п — k-я. производная функции |
ц (t, т) может содержать производные б-функции порядка не выше |
п — m — к — 1. А так как п — m — к — 1 ^ 0 только при к < <; п — т , то ш-я производная функции ц (t, т) может иметь толь ко разрыв первого рода. Таким образом, функция ц (t, т) должна
быть непрерывна |
вместе со |
своими производными Цх (t, т), . . . |
. . ., т]хт_1) (t, т) при |
т ^ |
t. |
Это условие автоматически выпол |
няется в точке т = t |
в силу формулы (14.4.12) и вытекающих из |
(4.4.15) условий |
|
|
|
. . . = p™~™ (0) = 0, |
|
р (0) |
= |
р ' (0) |
= |
(14.4.35) |
которым должна удовлетворять весовая функция р (т — а). Для
того |
чтобы |
удовлетворить |
условиям непрерывности |
функций |
г) (t, |
т), Tit («, |
т), . . ., тіѴ"-1’ |
(t, т) в точке т = |
t — |
Т, |
необходи |
мо, чтобы значения этих функций в точке т = t |
— Т, |
вычисленные |
по формулам (14.4.17) и (14.4.34), совпадали. Из этого условия, исключая величины сь . . ., сп при помощи формул (14.4.30),
получаем тп |
уравнений |
|
|
|
V. ь, { |
2 |
F (Р,) К - ( • - М * «<йр+^ )Т] |
(— vr)h F (— уг)I _ |
(vr + PQi) (Pp + Pg) Н ' (Pp) 7 /' (Pg) |
7/ (V,!г)Н ( - v r) J |
г=1 |
V, 9=1 |
|
|
|
|
|
|
= - Л $ ){ t , t - T ) |
( к |
— 0 , 1, |
... , m — 1), (14.4.36) |
где для краткости введена функция |
|
|
|
|
- Ц |
Т |
‘ |
|
|
|
|
|
|
( 1 4 .4 .3 7 ) |
Лоі( с т) = S ip ( ц ) • J е%а^о (л °) d°-
