Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 358

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 14.4. С Л У Ч А Й К О Н Е Ч Н О Г О И Н Т Е РВ А Л А Н А Б Л Ю Д Е Н И Я

563

Чтобы найти недостающие п — т уравнений для определения величин Ъх, . . ., Ъп, обратимся к уравнениям (14.4.18) и (14.4.20). В уравнение (14.4.18) входят производные функции ц (t, т) до по­ рядка т включительно. А так как функция ц (t, т) непрерывна вместе со своими производными до порядка т — 1 включительно, а ее производная цхт> (*, т) может иметь лишь разрывы первого рода, то функция | (t, т) может иметь самое большее разрыв пер­ вого рода и не может содержать б-функцию и ее производные.

Но в уравнение (14.4.20) входят производные функции

| (t,

т)

до порядка т включительно.

Следовательно, так

как

%'х (t,

т)

может содержать

б-функцию,

(t, т) — первую

производную

б-функции] и т. д.,

Іхт>(*, т) — (т — 1)-ю производную

б-функ-

ции, то левая часть уравнения (14.4.20) не может содержать произ­

водных

б-функции выше

т — 1-го

порядка.

Но в уравнение

(14.4.20)

входят производные функции / (t, т) до порядка п вклю­

чительно. Таким образом,

n-я производная / хп) (t, т) может содер­

жать производные б-функции до

порядка т — 1 включительно

и вообще п — к-я

производная

/ xn~k' (t, т) — производные

б-функции не выше т — к — 1-го

порядка. А так как т — к —

— 1 ^ 0

только при

к <

т, то

производная

fxn~m>(t, т) уже

не может содержать б-функций, а может иметь только разрывы первого рода. Следовательно, функция / (t, т) должна быть непре­ рывна вместе со своими производными по т до порядка п — т — 1 включительно. Это дает еще п — т уравнений для определения величин Ьі, . . ., Ъп. Для получения этих уравнений достаточно приравнять значения функций / (t, т), Д (t, т), . . ., / х) в точке т = t — Т, вычисленные по формуле (14.4.24), значениям

этих же величин для заданной в интервале t — Т ^ т ^

t функции

/ (t,

т). В результате,

принимая во внимание (14.4.30), получим

S

(■-Ѵ Г) Ч = /?>(*, t -

Т)

(к = 0, 1, . . —m —1).

(14.4.38)

Г~1

 

 

 

 

Система п линейных алгебраических уравнений (14.4.36) и (14.4.38) полностью определяет п величин Ьи . . ., Ъп.

Из предыдущего рассуждения на первый взгляд следует вывод,

что

непрерывность функций / (t,

т), f x (t, т), . . .,

(t, т)

влечет за собой и непрерывность

функций ц (t, т), r\x (t, т), . . .

. . .,

(t, т). Это действительно так, функция г) (t, т),

опре­

деляемая формулами (14.4.7) и (14.4.12), непрерывна вместе со сво­

ими производными по

т до порядка тп — 1

включительно, если

функции / (t, т), f'x (t,

т), . . ., f (xn-m-v (t, т)

непрерывны.

Однако

в общем случае она не совпадает в интервале —

— Т

с функцией т) (t, т), определяемой формулой (14.4.17). Поэтому,

пользуясь

формулой (14.4.17)

для

вычисления т) (t, t

— Т),

\\x {t, t —

Т), . . ., ц ^ - 1’ (t, t —

Т)

и требуя совпадения

этих

36*

5 6 4 ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е -О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

величин с соответствующими величинами, вычисленными при

помощи формулы

(14.4.34), мы получаем

условия,

независимые

от

условий

непрерывности функций

f (t, т),

f'x (t, т), . . .

- • •>

f? - m~u (t,

т).

Можно показать, что эти новые условия пред­

ставляют собой не что иное, как условия совпадения функции г] (t, т), определяемой формулами (14.4.7) и (14.4.12), с функцией

•ц(t, т)

определяемой формулой (14.4.17),

в интервале — оо <

<

т <

t — Т ([53], § 130).

т), удовлетворяющей

^

Для определения весовой функции g (t,

интегральному уравнению (14.4.3), теперь остается только подста­

вить выражение (14.4.34) функции ц (t, т)

в интервале t — Т <

< т < t

в формулу (14.4.13). При этом

разрывы производных

цѴ"' , . .

T|tn> в точках'Jr =

і — Т жх — t дадут линейную комби­

нацию б-функций б (т — t +

Т) и б (т — і) и их производных до по­

рядка п — пг — 1 включительно. В результате, принимая во вни­

мание обозначение (14.4.37),

перепишем формулу (14.4.13) в виде

g(t, т) = / ’( — - ^ ) тіо (*, т) +

 

 

 

 

+ 2 j 0 r 2j

 

 

(Ѵг+Рдн^р+^Я'ОѴЯ'ОІ,)

+

 

 

 

г—1

р, q— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n - m - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

 

lAh№ ( x - t + T ) + B h6W(%-t)].

(14.4.39)

 

 

 

 

й=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь остается только определить коэффициенты А 0, А и . . .

. . .,

4 п_га_і,

В 0,

В и

. . .,

 

при б-функциях. Для опреде­

ления этих коэффициентов

заметим,

что 6-функция получается

в

выражении

r]tm+1)

в

результате

разрыва

 

производной

г|тт \

в

выражении

т]'.т+2) —в

результате

разрыва

производной

т]'.т+1)

и т. д., в выражении т]™’

— в результате разрыва производной

Tltn-1>. А так как

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t, т),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( - l ) hr

f

(14.4.40)

 

 

 

 

 

 

 

 

/і=0

 

 

 

 

 

то коэффициент при б (т — t

Т) в выражении весовой функции

g (t,

т) получается равным

 

 

 

 

 

 

А 0 =

( - l ) m+1am+1A0ri(Tn>+

( - 1 ) т+2ат+2АоЛ(т+1>

+ . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . + (—1)папА0т]<п_1),

(14.4.41)

где через А0ц(г) обозначен

разрыв производной ті(тг) (t,

т) в

точке

т — t — Т. Для

вычисления

А0г|(і)

продифференцируем выраже­

ния

(14.4.17)

и (14.4.34) I

раз и положим после дифференцирова­

§ 14.4. СЛ У Ч А Й К О Н ЕЧ Н О ГО И Н Т Е РВ А Л А Н А Б Л Ю Д Е Н И Я

5 6 5

ния т = t — Т, после чего вычтем первый результат из второго. Тогда, принимая во внимание (14.4.30), получим

Д0ті(г) - t,® (t, t - Т + 0) - т)<г>(*, t - Т - 0) =

= V Ь / V

(Цр) Н' (jig)

(-ѵг)г*4-ѵг) 1 I

^

Г I ■—I C'V-bPg) (Нт-ЬМч)

Н (ѵГ) Н (

ѵг) /

г=1

р, д=1

 

 

 

 

+ 4 \ ( t , t - T )

(l = m, .. . ,

n —1).

(14.4.42)

Совершенно так же вычисляются коэффициенты при производ­

ных б-функции. Замечая, что производная 8(й) получается в выра­ жении r|(.m+h+i) в результате разрыва производной r\xm\ в выраже­

нии т^+М-2) — в результате разрыва производной ц(;т+1) и т. д., в выражении ц™’ — в результате разрыва производной цО'1- * - 1), получаем на основании (14.4.40):

A h = (—l)m+hflam+ft+1A0ri(m) + . . - + (-l)X A o ri<n-',' 1>

(к = 1, . . .,

п — ш — 1).

(14.4.43)

Формулы (14.4.41) и (14.4.43) могут быть написаны в виде

Ак= 2 ( — 1)і+*+1йг+ь+іД0гі<г>

(& = 0, 1, . . . , п — тп

1). (14.4.44)

1—тп

 

 

Аналогичную формулу получим для коэффициентов В 0, В і, . . .

• • ч

1-

 

Bh =

2 ( —1)!+,!+1 a;+fe+iAir)(I)

(к —0, 1, . . . , n — m — l),

 

l=m

(14.4.45)

где AjTi^)— разрыв производной ц(тг) (t, т) в точке т = t. Для

вычисления ДіЦ^ заметим, что ц (t, т), как весовая функция физи­ чески возможной системы, равна нулю при т > t. Следовательно, пользуясь формулами (14.4.34) и (14.4.37), получим

AlT)(0= _ 2 b

r 2 (ѵг + цд) (цр+ рд) Я '( М Я'(М

Л°*( ’ '

r = l

P, 9=1

(14.4.46)

 

(l = m, .. . , n — 1).

Итак, для нахождения решения интегрального уравнения (14.1.1) в случае стационарной случайной функции X (<) на входе и конечного интервала наблюдения Т необходимо представить дробно-рациональную спектральную плотность стационарной слу­ чайной функции X (t) в форме (14.4.4), найти корни полиномов F (ѵ) и Н (р) (которые, согласно изложенному в‘ § 7.6 методу определения этих полиномов, все лежат в левой полуплоскости),

566

гл . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е - О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

определить величины bt, . . ., bn путем решения системы линей­ ных алгебраических уравнений (14.4.36) и (14.4.38), определить функцию Цо (t, т) по формулам (14.4.31) и (14.4.37) и вычислить коэффициенты А 0, А и . . ., А п-т_и В 0, В и . . 5 п-7п-і по фор­ мулам (14.4.42), (14.4.44), (14.4.45) и (14.4.46). После этого реше­ ние интегрального уравнения (14.1.1) определится по формуле

(14.4.39).

Проанализируем подробнее структуру решения (14.4.39) ин­ тегрального уравнения (14.1.1) в рассматриваемом случае. Изме­ няя порядок суммирования, можем представить формулу (14.4.39) в виде

g(t, x) = F

т) +

+ У ( УЬг У

_____ F (>lq) F( ^ )еЩТ_____)

-і- Zj

\

Z i

° r

Z (ѵг+рд)(рр+рд)Я'(Мя'(9д) /

9—і

 

г=1

 

р—1

 

m

 

п

 

m

^(Pg^Pp)

- 2

{

2

*

2

I

(^V + Pg) (Pp+ Pq) H ' (pp) H ' (pg)

p = l

 

r = 1

g = l

n -m - 1

 

 

 

 

 

т) _

e V-p(.t-X).

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

[Ah6w ( x - t + T) + Bkbm (x-t)].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h=0

 

 

 

Заменяя в первой сумме индексы суммирования q на h,

р на I, а

во второй, наоборот, р на h, q на I, получим

 

 

g(t, x) = F ( - - ^ ) y \ o ( t ,

х) +

 

 

 

тп

/

 

п

 

m

 

 

 

„ 7 1

 

 

■sn

 

 

 

 

 

 

F (pft) F (—рд) е h_______ 'l

 

 

Z j \ Z A Ur Z

 

( ѵ г + р л ) ( р л + р і ) # > , > ) # > , ) /

 

 

ft= 1

 

r=i

 

г=і

 

 

 

ДрГ

 

 

m

/I

 

n

i

V

 

 

 

,>iV<-T)

 

V

 

V

_______ F (nh) F (рг)e~r _______ \

1

Z

\

 

Zi

 

Z j

(vr+ рг) (рд+ pj) H ' (pA) H ' (рг)

/

+

ft= 1

 

r = 1

1=1

 

 

n—m—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

S

[A 6(fe)(T - f + r ) - f 5 fe6w (T - 0] .

Полагая для

краткости

 

ft= 0

 

 

 

 

n

 

m

 

 

 

 

 

у,

_

V

h

Np _____ ^ (Pft)^( —рд)е

 

 

 

 

 

-

ZJ

 

1=1

(vr + pA) (pA+ pi) H ' (pa) H ' (pi) ’

 

 

 

 

r= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

n

 

^ (рл) f (pi) eHT

 

(14.4.47)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xm+h-

 

2

^

2

(vr+ pi) (Pft+ Pl) Я' (рл) H ' (pi)

 

 

 

 

 

r = l

1=1

 

 

 

 

(h = 1, • • •, m),

§ 14.4. СЛ У Ч А Й К О Н ЕЧ Н О ГО И Н Т ЕРВ А Л А Н А Б Л Ю Д Е Н И Я

567

получим

т

g(t, %) = F

Tlo^, Т)+ 2

[хле_Ц/г(<_Т)+ >«т+лец,‘(' _т)Н-

 

n - m

Л=1

 

 

- 1

 

 

 

+ 2

[Ah$ k)( T - t + T) + Bk6w {T-t)].

(14.4.48)

Таким

fe

решение

интегрального уравнения

(14.1.1)

образом,

 

= 0

 

 

 

в рассматриваемом случае состоит из линейной комбинации пока­ зательных функций т) и т\ соответствующих всем корням полинома //(р.) (по предположению различным), линейной комбинации 8-функций и их производных до порядка п — т — 1 включительно с особенностями на концах интервала наблюдения t — Т и t и линейной комбинации функций, вид которых определя­ ется формой правой части f(t, т) интегрального уравнения (14.1.1).

Исследуем теперь структуру выходного сигнала оптимальной системы. Для этого заметим, что, поскольку решения всех инте­ гральных уравнений (13.6.1) н (13.6.2) выражаются формулами вида (14.4.48), весовая функция оптимальной линейной системы вследствие (13.6.4) также выражается формулой вида (14.4.48). Поэтому выходной сигнал оптимальной системы

W*it) = AZ(t) =

t

 

m

 

= f

 

- г ) + 2 [ ^ " " л(‘" Т) +

хт+/1^ (‘- т)]} 2 (т )Л +

t - T

^

Л=1

(t T) —

 

 

AqZ (t — T)-\-B0Z (t) — A^Z

 

— B1Z'(t)+ . . . + ( - i ) n~m~l

(t — T) +

 

 

+ ( - 1 Г ”1' 1

(0- (14.4.49)

Знание аналитической формы решения интегрального уравне­ ния (14.1.1) в рассматриваемом случае позволяет применить иной прием для нахождения этого решения. А именно можно сразу напи­ сать решение в форме (14.4.48) с неопределенными коэффициента­

ми

хь

. . ., Хгт,

И0, А и . . ., Ап-т -1?

В оі В 11 •

• •* Вп_т _і

и

коэффициентами

при известных функциях в выражении

F I —

ц° (t, т),

подставить выражение

(14.4.48) в

уравнение

(14.1.1) и потребовать, чтобы оно обратилось в тождество. В ре­ зультате получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов. После решения этой системы уравнений формула (14.4.48) полностью определит решение интегрального уравнения (14.1.1). Такой метод неопре­ деленных коэффициентов был предложен для решения интеграль­ ного уравнения (14.1.1) в рассматриваемом случае для функции /, представляющей собой полином, Заде и Рагадзини, которые

Смотрите также файлы