ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 352
Скачиваний: 15
568 Г Л . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
впервые нашли аналитическую форму (14.4.48) решения [25] (см.
также [53], § 132).
Заметим, что при решении интегрального уравнения (14.1.1) в рассматриваемом случае методом неопределенных коэффициентов число линейных алгебраических уравнений, которые приходится решать для определения неизвестных коэффициентов, всегда боль ше, чем 2т + 2 (п — т) = 2п. Поэтому метод неопределенных коэффициентов практически целесообразно применять только при небольших значениях п. При больших п целесообразнее применить изложенный выше метод, который требует только решения п ли нейных алгебраических уравнений (14.4.36) и (14.4.38) п дает для
коэффициентов щ, . . ., |
х27П формулы (14.4.47), а для коэффици |
|
ентов |
А 0, Аи . . ., |
А п_т_и В 0, В и . . ., Bn_m_i —- формулы |
(14.4.44) |
и (14.4.45). |
|
В частном случае, когда степень 2т числителя спектральной плотности равна нулю, т. е. полином Н (р) является постоянной, которая без ущерба для общности может быть принята равной едипице, формулы (14.4.18) и (14.4.20) дают
(14.4.50)
Подставим это выражение в (14.4.13). При этом необходимо учесть, что функция / (t, т) непрерывна вместе со своими производными по т до п — 1-го порядка, а ее производная и-го порядка может иметь разрыв первого рода. В точке т — t функция | (t, т) согласно изложенному может иметь разрыв первого рода, который даст раз рыв первого рода производной f'xm (t, т). Вследствие этих разры
вов появятся |
8-функции |
б (т — t + |
Т) и б (т — t) |
в |
/тп+1), |
|
6' (т — t + Т) |
и б' (т — t) |
в /іп+2) (t, т) |
и т. д., б<”-1) (т — |
t + Т) |
||
и б(П_1) (т — t) |
в /хп> (t, т). |
В результате получим для решения |
||||
интегрального |
уравнения |
(14.1.1) |
следующую формулу: |
|
||
І Ѵ , Г ) = Г ( - ± ) Р ( ± ) ПІ ,1) + |
|
|
|
|
||
|
П- 1 |
|
|
|
|
|
|
+ 2 Mft6(ft) (т — < + |
Г) + |
B k8(h) (т- 0]• |
(14.4.51) |
||
Коэффициенты при б-функциях здесь определяются формулами (14.4.44) и (14.4.45) при m = 0, в которых разрывы функции ц и ее производных на основании (14.4.17), (14.4.30) и (14.4.50)
определяются формулами
|
|
|
П |
|
АоГ](1) = 7 ^ |
р |
Ш |
П і ' г - ^ - Е М - ѵ Л ' / Ч - ѵ ѵ ) , |
|
|
|
|
r=i |
(14.4.52) |
Лі1](г)= ~ |
^ |
F d |
) f{t' t)' |
•••’ " - 1)’ |
§ 14.4. СЛ У Ч А Й |
К О Н ЕЧ Н О ГО И Н Т ЕРВ А Л А |
Н А Б Л Ю Д Е Н И Я |
569 |
где для краткости положено |
|
|
|
di |
|
, , . т. |
|
d%l * ( £ ) / < < . |
( £ ) / < < , 4 |
|
|
|
|
(14.4.53) |
|
|
» = [ £ r F ( i ) « '• 4 - . • |
|
|
Коэффициенты bit . . |
., bn определяются в данном случае системой |
||
плинейных алгебраических уравнений (14.4.38) при тп — 0. Таким образом, при m = 0 решение интегрального уравнения
(14.1.1) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (14.4.38), определению разрывов функции ц (t, т) и ее производных по т в точках т = t — Т и х = £ по формулам (14.4.52) и (14.4.53), вычислению коэффициентов при б-функциях по форму лам (14.4.44), (14.4.45) при m = 0 и определению весовой функ ции g (t, т) по формуле (14.4.51).
Все предыдущие результаты получены в предположении, что полиномы F (ѵ) и Н (ц) имеют только простые корни. Однако это предположение несущественно. Совершенно так же, применяя известные правила интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае кратных кор ней характеристического уравнения, можно найти решение инте грального уравнения (14.1.1) в случае кратных корней полиномов F (ѵ) и Я (ц). При этом все вычисления доводятся до конца в эле
ментарных |
функциях. |
|
|
|
П р и м е р |
14.4.1. Найти решение |
интегрального уравнения |
||
D |
j( |
е- “ |т - а І g(t, x)dx = a0 + aia |
( l - r < o < t ) . |
(14.4.54) |
t-т
Спектральпая плотность стационарной случайной функции X (t) в данном случае может быть представлена в виде
, , |
D |
а |
_ 1 |
УШа 2 |
s x ( w ) |
я |
a 2 + m 2 |
2 я |
а + гш |
Отсюда видно, что в данном случае можно принять
Я(р) = 1, F(v) = (a + v)/y2ö5.
Полином F (ѵ) имеет единственный корень ѵ, = —а. Так как в данном слу чае полином II отсутствует, то следует применить формулу (14.4.51).’ Для этого предварительно находим скачки функции д по формулам (14.4.52):
АоД = | |
F (-Jj-) (ao+ eiT)]t= t_ T - b i ^ ( - v 1)= |
||
= 1 ж [ ( а + і ) (О 0+ѵ)]т=1- т ' / т Ьі= |
|||
_ |
аа0-\-<ц-\-асц (г —T) |
f |
2a , |
------------ |
y W a . ------------- |
V |
-D~ bi’ |
( JL)
570 |
ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Для определения коэффициента b’j имеем в данном случае одно уравнение (14.4.38), которое имеет вид
Ьі — i (t, t — T) — a0 at (t — T).
Подставляя это выражение в формулу для Д0т), получим
дъ . _ «1 — «ар — « М * — т)
°1/2Щ
Подставляя |
полученные |
выражения |
Д0т) и Д ^ |
в формулы (14.4.44) |
||||||||||
и (14.4.45), находим коэффициенты |
при |
6-функциях |
|
|
|
|||||||||
|
■^о |
|
аі |
I ao+ ai |
|
|
Вп |
d1 |
ög—)—d^t |
|
|
|||
|
|
|
|
2üa |
2D |
|
|
|||||||
|
|
|
|
2D a ^ |
2D |
|
|
|
|
|
||||
Далее |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( - |
d |
|
* ) ' « • |
')= |
( “ - - S |
’) (“+ іИ (а0 + аіт) = |
|
|
||||||
* M |
|
|
2Da |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2D |
|
2Da |
dx* ) (ao + |
aiT) |
20 |
°lT^' |
||
Подставляя полученные выражения в (14.4.51), найдем решение инте |
||||||||||||||
грального |
уравнения (14.4.54): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8 (t, т)~~20 |
(ao + eiT)+ "227 £ао + аі (*— Т)— “ J |
ö (т — 1 + 7’)+ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
_Ь '2]у '( ао + aiJ + ~ " |
j Ö (т—і). |
(14.4.55) |
||||||
Для иллюстрации характера продолжения функции / |
(1, т) |
в область |
||||||||||||
т < t — Г в данном случае найдем функцию / (t, т) при х < |
t — Г, хотя для |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
решения |
интегрального |
уравнения |
нам |
|||||
|
|
|
|
|
|
это и не понадобилось. Формулы (14.4.24) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
(14.4.30) в |
данном случае |
дают |
|
||||
|
|
|
|
|
|
f(t, |
т) = &і<ГѴі(т-і+т)= . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
[a0 + ai (г—Г)]еа(т- ‘+ г) |
нри |
x < t — T. |
|||||
|
|
|
|
|
|
На рис. |
14.4.1 |
приведен |
график функции |
|||||
|
|
|
|
|
|
/ (і, х), определяемой выведенной форму |
||||||||
|
|
|
|
|
|
лой в интервале —оо < х < t — Т и рав |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ной правой части интегрального уравнения |
||||||||
|
|
|
|
|
|
a0 + |
diX |
в интервале t — Т ^ |
х <. t. |
Мы |
||||
|
|
|
|
|
|
видим, что решение интегрального уравне |
||||||||
продолжения функции / |
|
ния изложенным методом требует такого |
||||||||||||
(г, х) в область х < t — |
Т, при котором ее аналити |
|||||||||||||
ческое |
выражение |
не |
сохраняется, |
а совершенно |
меняет свой характер. |
|||||||||
В данном случае |
функция / |
(1, х) |
имеет |
угловую точку |
при |
х = t — Т. |
||||||||
П р и м е р |
14.4.2. |
Найти оптимальную линейную систему с памятью |
||||||||||||
длительности Т для экстраполяции полезного сигнала, представляющего собой линейную функцию времени со случайными коэффициентами, если помеха X (t) имеет математическое ожидание, тождественно равное нулю,
и корреляционную функцию кх (х) = Z> е ctlxl.
