ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 354
Скачиваний: 15
§ 14.4. СЛ У Ч А Й К О Н ЕЧ Н О ГО И Н Т Е РВ А Л А Н А Б Л Ю Д Е Н И Я |
573 |
Формулы (14.4.47) в данном случае дают
_ Ь(Ь2- а 2)е ~ ЬТ | ь Ъ(Ъ2- а 2) е-ЬТ
* |
* Da (а-(- 6-[- ісоо) |
2 Da(a-\-b— ісйц) |
|
_ |
, |
b (b—a)2 е~ЬТ |
u b (b—a)2 e~bT |
2 |
* |
Da (а -}-6 -f- іщ) |
2 Da(a-{-b — siog) |
Наконец, подставляя найденное выражение функции т]0 (t, т) в форму лу (14.4.48), получим окончательную формулу для решения интегрального уравнения (14.4.62):
8{t, |
(сх2+ 62)2— 4а2к2 |
ат . Ъ (Ь— а)2 а»-Г)-ЬГ-Ь(1-т) |
|
||
20а (62 _ а 2) |
е |
"г Da (6-|- а) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 (6— а) (а2+ 2аа-j-Ь2) |
ai_ b(t-t)_____ Ь<Оо |
a(t-T)-bT+b(i-T) , |
||
|
Da (62 — а 2) |
|
Da (6 + а) |
|
‘ |
|
+ х ^ * " т)+ х2е "ö(t“ т)+ Л06 ( т - ( + Г ) + B 0ö (*-«)• |
(14.4.63) |
|||
Уравнение (14.4.62) можно решить также методом неопределенных коэф фициентов. Решение этого уравнения согласно изложенному представляет
собой линейную комбинацию показательных функций и 6-функций 6 (т — t -(- Т) и 6 (т — Т) и функций, входящих в состав выраже
ния Так как в данном случае правая часть интегрального
уравнения есть показательная функция, то в результате любых дифферен циальных и интегральных операций над ней получится та же показательная функция, умноженная на постоянный (точнее, не зависящий от т) коэффи циент. Дополнительные члены, которые появились у нас при интегрировании в конечных пределах в формуле (14.4.31), представляют собой постоянные,
умноженные на те же показательные функции еь(<— и е~Ь(-*~х\ Поэтому нх
можно объединить с членами х ^ * - ^ и х2е— соответственно. Это равно ценно объединению четвертого члена правой части формулы (14.4.63) с членом
Хі£Ь(і т)^ а ВТОрОГО и третьего членов — с членом х2е *** х\ В результате, обозначая полученные путем такого объединения коэффициенты при т)
и е т> соответственно через х( и х2, приходим к следующей форме искомого решения:
*(*, т)=хіеь«-Ѵ + х'2е-ь«-Ѵ + х'3е*х+А0Ь(т-і + Т, + В06(т-1).
Подставляя это выражение в левую часть уравнения (14.4.62) и выполняя интегрирование, получим в левой части линейную комбинацию показатель
ных функций еаа, еЬУ~а\ е~Ь<-1~~а\ ё~'(°+1(0о)а И е—(а—гшо)о<д ля ТОГО чтобы получить тождество, необходимо приравнять друг другу коэффициенты при
е<хо в левой и правой частях полученного равенства и потребовать равенства
нулю коэффициентов при еЬ(-*~а\ е~~ь^ ~ а\ é~(а+шо)<* и ег ^а~ ІО>0^0. В результате получим систему пяти линейных алгебраических уравнений для определения пяти неизвестных коэффициентов Xj', х2, Хз, А 0, В0. Предоставляем читателю самостоятельно проделать все эти выкладки п убедиться в том, что в резуль тате получится выражение функции g (t, т), совпадающее с (14.4.63).
574 |
Г Л . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
§ 14.5. Синтез оптимальной стационарной линейной системы методом логарифмических частотных характеристик
Определение оптимальной системы является необходимым эта пом проектирования автоматической системы управления, работа ющей в условиях помех. Без знания оптимальной системы нельзя обоснованно предъявлять требования к проектируемой системе. Однако определение оптимальной системы еще не решает основной задачи, стоящей перед конструктором, так как оптимальная систе ма определяет только последовательность математических опера ций, которые необходимо произвести над входным сигналом для
Рис. 14.5.1. Рис. 14.5.2.
обеспечения наибольшей точности приближения к требуемому выходному сигналу. Иными словами, оптимальная система опре деляет динамические характеристики, которыми должна обладать проектируемая система. Конструктор должен эти динамические характеристики реализовать в проектируемой системе. При этом он должен учитывать, что большая часть элементов системы управ ления и главная часть ее структурной схемы определены назначе нием системы и изменять их невозможно.
Для приближения динамических характеристик проектируемой системы к оптимальным конструктор может вводить в структурную схему корректирующие цепи, подобрав для них соответствующую структуру и параметры. Корректирующая цепь может быть после довательной или параллельной. В первом случае она устанавли вается в прямой цепи системы, а во втором — в цепи обратной связи. На рис. 14.5.1 и 14.5.2 часть системы с передаточной функ цией Ф0 (s) задана (например, является объектом управления), а система с передаточной функцией Фк (s) является корректируюющей цепью, которую требуется спроектировать. Определение структурной схемы и параметров корректирующей цепи из усло вия близости динамических характеристик проектируемой систе мы к оптимальным будем называть синтезом системы. Общих методов синтеза автоматических систем управления в настоящее время не существует. Сравнительно просто задача синтеза решается лишь в случае стационарной линейной системы.
Основная идея синтеза заключается в том, что по найденной передаточной функции оптимальной стационарной линейной сис темы и передаточным функциям известных звеньев проектируемой
576 |
ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
(t>o(s), вычитаются из соответствующих характеристик оптималь ной системы. После этого с помощью номограммы находятся лога рифмические частотные характеристики разомкнутой системы. Полученная таким образом логарифмическая амплитудная харак теристика разомкнутой системы аппроксимируется отрезками прямых линий с наклонами, кратными 20 дБ/дек. При этом необхо димо стремиться обеспечить, чтобы всем сопрягающим частотам элементарных звеньев, входящих в состав заданной части системы, имеющей передаточную функцию Ф0(5), соответствовали угловые
а)
б)
Рис. 14.5.3.
точки ломаной/В результате определяются типы элементарных звеньев, входящих в состав разомкнутой системы, их сопрягающие частоты и ее общий коэффициент усиления. Одновременно следует строить фазовую характеристику полученной разомкнутой систе мы и следить, чтобы она была достаточно близка к оптимальной. При этом в случае последовательной корректирующей цепи сле дует добиваться хорошего приближения только в диапазонах час тот, в которых логарифмическая амплитудная характеристика разомкнутой системы превышает — 20 дБ. В случае корректирую щей цепи в обратной связи следует добиваться хорошего прибли жения только в тех диапазонах частот, в которых логарифмиче ская амплитудная характеристика разомкнутой системы меньше 20 дБ, так как в приведенную ниже формулу (14.5.4) для переда точной функции корректирующей цепи в обратной связи передаточ ная функция разомкнутой системы входит в знаменатель.
Определив передаточную функцию разомкнутой системы Фр (s) и зная передаточную функцию заданной части системы Ф0 (s), можно найти передаточную функцию корректирующей цепи. В слу чае последовательной корректирующей цепи ее передаточная функ ция определяется формулой (рис. 14.5.1).
Фр(»)
