Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 350

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 14.5. С И Н ТЕ З ОПТИ М А ЛЬН О Й СТА Ц И О Н А РН О Й СИ СТЕМ Ы

5 7 7

В случае корректирующей цепи в обратной связи ее передаточная функция в соответствии со схемой на рис. 14.5.3, б определяется формулой

(DK(s)=

* , ч .

(14.5.4)

'

Фо (s)Фр («)

v

Вычисления по формулам (14.5.3) и (14.5.4) практически выпол­ няются, конечно, простым суммированием и вычитанием соответ­ ствующих логарифмических частотных характеристик. При этом определяются типы элементарных звеньев, входящих в состав корректирующей цепи, и их параметры.

Передаточная функция корректирующей цепи Фн (s), найден­ ная изложенным методом, будет дробно-рациональной функцией. Однако степень числителя этой функции часто оказывается больше степени знаменателя. Такие передаточные функции практически невозможно реализовать. Если в состав входной функции оптималь­ ной системы входит нерегулярная случайная часть полезного сиг­ нала и помеха является белым шумом, то передаточная функция разомкнутой системы в случае последовательной корректирующей цепи будет иметь степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, а в случае корректирующей цепи в обратной связи, как правило, степень числителя будет по меньшей мере на единицу больше степени знаменателя. Имея в виду, что качество прибли­ жения передаточной функции разомкнутой системы несущественно

вдиапазонах частот, в которых ее логарифмическая амплитудная характеристика меньше — 20 дБ в случае последовательной кор­ ректирующей цепи и больше 20 дБ в случае корректирующей цепи

вобратной связи, можно в этих диапазонах произвольно увеличить абсолютную величину наклона логарифмической амплитудной характеристики на величину, кратную 20 дБ, с таким расчетом, чтобы получить степень числителя передаточной функции коррек­ тирующей цепи меньшей степени знаменателя.

Вобщем случае, когда помеха не является белым шумом, чтобы сделать степень числителя передаточной функции корректирую­ щей цепи меньше степени знаменателя, необходимо ограничить класс линейных систем, в котором ищется оптимальная система, дополнительным условием, чтобы при действии на входе белого шума производные выходной переменной оптимальной системы до определенного порядка имели конечные дисперсии. А именно, если числитель и знаменатель передаточной функции заданной части системы являются полиномами степени т и п соответственно, то производная порядка п — т — 1 выходной переменной опти­ мальной системы должна иметь конечную дисперсию при действии на входе белого шума [38].

Пр и м е р 14.5.1. Спроектировать следящую систему с конечной памятью Т для воспроизведения полезного сигнала, представляющего собой липейную функцию времени Ut + U2t с неизвестными коэффициентами,

37 п од ред. В. С. Пугачева

578

ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

если помеха X (t) является белым шумом интенсивности к, а исполнительное устройство имеет передаточную функцию

Ф»<’>= 7(У ?+ТГ

В этом случае входная функция

системы Z (t) и

ее требуемый выходной

сигнал W (t) выражаются

формулами

 

 

Z (і) = Ui +

u 2t +

X (t), W (t) =

Ui + и zt,

(14.5.6)

где Ui Ti U2 — неизвестные величины, которые могут иметь любые значения

(или, что согласно изложенному в § 13.5

то же самое, случайные величины

с

бесконечными

моментами

второго

порядка уц = уа = оо). Предостав­

ляем читателю, применяя метод § 14.1,

самостоятельно

решить

уравнения

§

13.6 и убедиться в том,

что опти­

мальная линейная система в данном

случае стационарна и ее весовая

функция определяется формулой

 

 

4

6

 

 

 

g(t-T)=—- — (t—X)

 

(0 < г — т < Г ) .

 

(14.5.7)

При г — т с

0 и при г — т >

Т весо­

вая функция

оптимальной

системы

равна нулю. Таким образом, весовая функция оптимальной линейной системы g (!) (где ! — t — т) графически изображается отрезком прямой в интервале

О <

£ < Т и осью абсцисс вне этого интервала (жирная линия на рис. 14.5.4).

по

Для нахождения передаточной функции оптимальной линейной системы

известной весовой функции можно воспользоваться формулой (2.4.6).

Врезультате получим

тт

Т(*) =

j le-*dl =

 

 

 

 

о

О

 

JL _ \

 

 

 

 

= ±

__ &— + ( А

е

- T s

(14.5.8)

 

Ts

ТЧЪ т \ Ts

Г252 )

 

 

Этот же результат можно получить другим способом. А именно из рис. 14.5.4 видно, что весовую функцию оптимальной системы можно представить как сумму двух весовых функций:

гі (ö= ( 4 — f r 0 1(|)’ g2 {l)= [т+І Г)] 1

Графики этих двух весовых функций изображены на рис. 14.5.4 тонкими прямыми. Но 1 (!) есть весовая функция интегратора, а ! 1 (!) — весовая функция двойного интегратора. Сдвиг графиков весовых функций интеграто­ ра и двойного интегратора по оси ! на величину Т означает последовательное присоединение к ним запаздывающего звена с временем запаздывания Т. Таким образом, оптимальную систему можно в данном случае представить как параллельное соединение интегратора с коэффициентом усиления 4/Т, двойного интегратора с коэффициентом усиления — 6ІТ2, интегратора с коэффициентом усиления 2/Т с подключенным к нему последовательно запаздывающим звеном и двойного интегратора с коэффициентом усиления 6/Т2 с подключенным к нему последовательно запаздывающим звеном (рис. 14.5.5). Из структурной схемы на рис. 14.5.5 немедленно вытекает формула (14.5.8) для передаточной функции оптимальной системы.

Рис. 14.5.5.

§ 14.5. С И Н ТЕ З О П ТИМ АЛЬНОЙ СТА Ц И О Н А РН О Й СИСТЕМ Ы

579

Для построения логарифмических частотных характеристик оптимальной системы представим ее структурной схемой, изображенной на рис. 14.5.6, и воспользуемся методом нахождения частотной характеристики параллель­ ного соединения звеньев, изложенным в § 4.6. Согласно этому методу находим обратную систему (рис. 14.5.7) и преобразуем ее к системе с жесткой обратной связью (рис. 14.5.8). В результате мы представим систему, обратную по отношению к опти­ мальной системе, в виде последо­ вательного соединения форсиру­ ющего звена первого порядка с постоянной времени —2773 и ко­ эффициентом усиления —1, апери­ одического звена с постоянной

времени 7V3 и коэффициентом уси­ ления 1, запаздывающего звена, двойного дифференциатора и не­ устойчивого апериодического зве­ на с постоянной времепи—2773 п коэффициентом усиления — Г2/6 с отрицательной жесткой обратной связью, охватывающей первые три

звена. Следовательно, логарифмические частотные характеристики опти­ мальной системы можно построить, пользуясь характеристиками элемен­ тарных звеньев (§ 2.6) и номограммой, связывающей логарифмические

 

Рис.

14.5.6.

<2* ¥н-

T2s 2

gST

? т'о -sи/г

 

2T S + S

 

 

4 Ts -6

 

Ts ‘

 

Рис.

14.5.7.

частотные характеристики

разомкнутой и замкнутой систем. Полученные

в результате логарифмические частотные характеристики оптимальной си­ стемы представлены на рис. 14.5.9.

Согласно изложенному методу для проектирования последовательной корректирующей цепи необходимо найти логарифмические частотные харак­ теристики разомкнутой системы. Это можно сделать с помощью номограммы. Однако в данном случае номограмма не дает удовлетворительной точности при Т’м < 3, так как логарифмическая амплитудная характеристика замкну­ той системы близка к нулю при Тсо < 3. Практически это означает, что значительное изменение частотных характеристик разомкнутой системы при

37*

Г Л . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Рис. 14.5.8.

§ 14.5. С И Н ТЕ З О П ТИ М А ЛЬН О Й С ТА Ц И О Н А РН О Й СИСТЕМ Ы

58 1

Тіа < [3 " в 'данном случае не оказывает существенного влияния на характе­ ристики замкнутой системы. Это дает возможность выбрать частотные харак­ теристики разомкнутой системы при Тіа < 3 произвольно, чтобы удовлетво­ рить другим требованиям к системе. В данном случае дисперсии случайных величин Ui и U2 бесконечны. Согласно изложенному в § 13.5 оптимальная система должна в этом случае идеально точно воспроизводить любые линейные функции времени при отсутствии помех по окончании переходного процесса. В § 7.3 мы видели, что для выполнения этого условия необходимо, чтобы система была астатической второго порядка. Исходя из этого условия, вводим в разомкнутую систему двойной интегратор. При этом логарифмическая амплитудная характеристика разомкнутой системы при Гсо < 3 будет пред­ ставлять собой прямую с наклоном —40 дБ/дек, а фазовая характеристика будет близка к горизонтальной прямой на уровне —180° (рис. 14.5.10).

Из рис. 14.5.10 видно, что частотные характеристики разомкнутой системы достаточно хорошо аппроксимируются, если логарифмическую ампли­ тудную характеристику аппроксимировать отрезком прямой с наклоном —20 дБ/дек на участке 3 < Тіа < 5, отрезком прямой с наклоном —40дБ/дек на участке 5 < Гео < 7 и прямой с наклоном —20 дБ/дек на участке Тіа > 7 (пунктирные линии на рис. 14.5.10). При этом получается хорошее приближе­ ние и к частотным характеристикам замкнутой оптимальной системы (пунк­ тирные линии на рис. 14.5.9). Таким образом, мы можем приближенно пред­ ставить оптимальную разомкнутую систему в виде последовательного соеди­ нения двойного интегратора, двух форсирующих звеньев первого порядка с постоянными времени 773 и 777 и апериодического звена с постоянной вре­ мени 775. Для определения общего коэффициента усиления кв разомкнутой системы вспомним, что ордината низкочастотной асимптоты логарифмиче­ ской амплитудной характеристики при со = 1 равна 20 lg к0 (§ 4.7). В [данном случае из рис. 14.5.10 видно, что логарифмическая амплитудная характери­

стика

имеет значение 24

дБ при

Тіа =

1. Следовательно, ее значение при

іа = 1

равно 24 + 40 lg (1/Т) =

24 — 40 lg Т, т. е.

 

20 lg кв =

24 — 40 lg Т ъ

20 lg 16 — 40 lg Т.

Отсюда следует, что к0 = 16/ Тг. Таким образом, передаточная функция най­ денной разомкнутой системы выражается формулой

16 (1+ 0,33377) (1+ 0,14377;)

 

Фр (s) —

Tzsz (1 + 0,27’s)

(14.5.9)

Из (14.5.5) и (14.5.9) находим выражение пер едаточней функции последова­ тельной корректирующей цепи:

л /ч

Фр(«)

16(1 + 0,333770 (1+ 0,14377;) (1+ 7+;)

(14.5.10)

Фк(* '~

<Do(s) ~

AjT’Zs (1+ 0,277;)

 

Если постоянная времени Tt незначительно отличается от 0,27\ то при прак­ тической реализации корректирующей цепи целесообразно заменить постоян­ ную времени 0,2Г величиной Tt и таким образом упростить корректирующую цепь. Если 77 значительно отличается от 0,2 Г, то существенное упрощение корректирующей цепи будет невозможно без значительного отклонения от оптимальной характеристики.

Для завершения проектирования системы необходимо проверить, во-пер­ вых, насколько память спроектированной системы отличается от заданной и, во-вторых, насколько точность спроектированной системы ниже точности оптимальной системы. Для решения этих двух вопросов находим передаточ­

ную функцию

спроектированной

замкнутой системы:

 

 

,

Фр(*)

16 (0,04767’2s2+ 0,4767,s + l)

(14.5.11)

3

 

W—1 + Фр (s)~ 0,27’3s3+i,7627’2s2+ 7,6277;+16

 

 

Смотрите также файлы