Файл: Основы автоматического управления..pdf

582 ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

По заданию требуется спроектировать систему с памятью длительности 7. Точное выполнение этого условия невозможно, так как на основании общих теорем теории дифференциальных уравнений система с дробно-рациональной передаточной функцией всегда имеет бесконечную память. Однако практи­ чески можно считать память системы равной времени переходного процесса. Для определения времени переходного процесса находим по формулам (4.4.50) и (6.5.4) весовую и переходную функции спроектированной системы. Мы пре­

рис. 14.5.4) и переходной функции (рис. 14.5.11). Из рис. 14.5.4 и 14.5.11

видно, что мы получили хорошее приближение к весовой функции оптималь­ ной системы и время переходного процесса (т. е. время, начиная с которого

переходная функция h (|) не отклоняется от ее установившегося значения h (оо) больше чем на 5%) около 1,55Г, что также можно считать удовлетвори­

тельным.

Для проверки точности спроектированной системы находим по фор­ муле (7.4.4) установившуюся дисперсию ее выходной переменной. Имея в виду что спектральная плотность стационарного белого шума интенсивности к

Формула (13.6.17) дает в данном случае для дисперсии ошибки оптимальной

системы выражение

4 к

Таким образом, метод канонических разложений случайных функций дает возможность весьма просто найти решение основного интегрального уравнения статистической теории оптимальных сис­ тем (14.1.1) в форме бесконечного ряда (14.6.10) Этот ряд определя­ ет решение интегрального уравнения (14.1.1) во всех случаях, когда его правая часть / (t, а) может быть представлена разложе-

нпем (14.6.6) по сопряженным координатным функциям х ѵ (о) слу­ чайной функции X (<) в интервале наблюдения t — Т ^ а ^ L В случае, когда функция / (t, а) не может быть представлена раз­ ложением (14.6.6), интегральное уравнение (14.1.1) не имеет реше­

ния ([53], §§ 134, 135).

В предыдущих выкладках mj>i выполнили почленное интегри­ рование ряда в формуле (14.6.5) Можно доказать, что эта операция законна и что конечным отрезком ряда (14.6.10) всегда можно пользоваться для приближенного определения весовой функции оптимальной линейной системы ([53], § 135). При этом, несмотря на то, что найденная таким образом весовая функция может доволь­ но значительно отличаться от весовой функции оптимальной систе­ мы, соответствующая средняя квадратическая ошибка, как прави­ ло, лишь незначительно превосходит минимальную среднюю квад­ ратическую ошибку оптимальной системы, если взять 10 -f- 20 членов ряда (14.6.10).

Изложенный метод решения интегрального урвнения (14.1.1)

вформе бесконечного ряда гораздо проще методов, изложенных

впредыдущих параграфах. Одпако для применения этого метода

нерегулярной части полезного сигнала и помехи. Кроме того, изложенным методом можно получить, как правило, лишь при­ ближенное решение интегрального уравнения (14.1.1), в то время как методы, изложенные в предыдущих параграфах, дают точное решение.

Достоинством изложенного метода является то обстоятельство, что он дает возможность не только приближенно определить весо­ вую функцию оптимальной системы, но и найти допустимые откло­ нения от нее, не приводящие к существенному ухудшению точно­ сти. А именно, если данный конечный отрезок ряда (14.6.10) опреде­ ляет такую весовую функцию, для которой средняя квадратическая ошибка достаточно близка к минимальной, то любая линейная комбинация не использованных в этом отрезке ряда (14.6.10) функций а ѵ (т) является допустимым отклонением от найденной весовой функции, не приводящим к существенному увеличению