ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 344
Скачиваний: 15
§ 14.7. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А ЛЬН О Й Д И С К РЕ Т Н О Й СИСТЕМ Ы 587
Следовательно, формулы (14.6.17) и (14.6.18) могут быть переписа ны в виде
Ъро----- S |
Dvyv (t) avp (t) |
(p = 1, ... , |
N), |
(14.6.19) |
bpq= 2V |
Dvavq (t) a vp (t) |
(p, q = l, . . |
N). |
(14.6.20) |
V |
|
|
|
|
Точно так же, подставляя выражение (14.6.15) весовой функции g(°> в формулу (13.6.15), выполняя почленное интегрирование ряда и принимая во внимание (14.6.13), получим
Ьоо = S |
I Уѵ (0 12- |
(14.6.21) |
Таким образом, выражая V |
решения интегральных |
уравнений |
(13.6.1) и (13.6.2) в форме рядов (14.6.15) и (14.6.16), мы получаем выражения величин bvq (р, q — 0, 1, . . ., N) также в форме рядов (14.6.19), (14.6.20) и (14.6.21). Можно доказать, что для схо
димости всех |
этих рядов достаточно, чтобы случайная |
функция |
|
Y (t) |
имела |
конечную дисперсию и чтобы сходились |
все ряды |
([53], |
§ 135) |
|
|
|
|
Ьрр = 2 Л ѵ |« ѵ р (0 |2 |
(14.6.22) |
|
|
V |
|
Сходимость этих рядов также и необходима для того, чтобы линей ные системы с весовыми функциями (t, т) преобразовывали случайную функцию X (т) в случайную функцию, имеющую конеч ную дисперсию, т. е. необходима для существования требуемых решений интегральных уравнений (13.6.2).
§ 14.7. Определение оптимальной дискретной линейной системы
Изложенный в предыдущем параграфе общий метод можно, в частности, применить для определения оптимальной дискретной линейной системы. В этом случае система наблюдает входной сиг нал Z (t) в дискретном ряде точек tu . . ., th и для нахождения оптимальной системы необходимо представить случайную функ цию X (т. е. сумму помехи и нерегулярной части полезного сигна ла, если она имеется) каноническим разложением в этом дискрет ном ряде точек:
X ( h ) = j ] V vxv (th) |
( k = l , . . . , h ) . |
(14.7.1) |
|
Число членов этого |
разложения не превосходит числа точек h |
||
V=1 |
|
|
|
в |
интервале наблюдения. Следовательно, при конечном h сумма |
||
в |
(14.7.1) |
конечна, а при h = |
оо эта сумма представляет собой |
в |
общем |
случае бесконечный |
ряд. |
588 |
ГЛ . |
14, О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
|||
|
Для нахождения оптимальной линейной системы в этом случае |
||||
достаточно во всех формулах’предыдущего параграфа |
взять функ |
||||
ции а ѵ (т) |
в виде линейных комбинаций ^-функций: |
|
|||
|
|
h |
|
|
|
|
|
ßv(т) =з 2 «ѵгб (т— ti) |
(ѵ=1, |
К), |
(14.7.2) |
|
|
і=і |
|
|
|
удовлетворяющих условиям (14.6.2) и (14.6.3). Подстановка выра жения (14.7.2) в (14.6.2) и (14.6.3) дает следующие условия, кото
рым должны удовлетворять коэффициенты а ѵ2 |
*): |
|
||
h |
(ti) — 5V(1 |
(v, p = l, |
.. .,h), |
(14.7.3) |
S |
||||
i=i |
h |
|
|
|
|
( v = l, |
.. ., h). |
|
|
- щ ’ |
ttyiK-x (т, ti) |
(14.7.4) |
||
( = i
Как известно, коэффициенты ач1, удовлетворяющие этим условиям, всегда могут быть найдены, и притом бесчисленным множеством способов (см. [54], § 6.3).
Подставляя выражение (14.7.2) в формулы (14.6.15) и (14.6.16), получим следующие формулы для весовых коэффициентов дискрет ных линейных систем, удовлетворяющих системам алгебраических
уравнений (13.7.2) и (13.7.3): |
|
|
|
h |
|
|
|
g/л = 2 ßvft*/v (th) |
(k= 1, . . . , |
h), |
(14.7.5) |
V—1 |
|
|
|
h |
(k— 1, . . |
h; r = 1, . . . , N). |
|
g A A = S avfe«vr |
(14.7.6) |
||
V = 1 |
|
|
|
Для определения коэффициентов yv (th) и а ѵг в этих формулах подставляем выражение (14.7.2) в формулы (14.6.13) и (14.6.14). Тогда получим
h
Uv(th) = -щ- |
dviKyX(t)и ti) (v = l, . ,.,/i), |
(14.7.7) |
vг=і h
аѵг= -щ- 2 |
Яѵгфг^г) |
(v = l, |
г= 1 .........N). (14.7.8) |
||||
|
v /=і |
|
весовых коэффициентов gj$, |
gfâ, . . . |
|||
После |
определения |
||||||
. . ., |
ghh |
по формулам |
(14.7.5) |
— (14.7.8), |
вычисления |
величин |
|
Ьрд |
(р , q = о, |
1, . . ., |
N) по |
формулам |
(14.6.19), |
(14.6.20) |
|
и (14.6.21) |
или по формулам (13.7.4) и (13.7.6) и решения системы |
||||||
*) Каноническое разложение случайной функции в дискретном ряде точек всегда выгодно брать в действительной форме.
590 |
гл. |
14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е |
О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Формулы |
(14.6.19) — (14.6.21) |
или (13.7.4) в данном случае дают |
|
> (14.7.11)
— 2 (h— 3) (h+ i) 9+(/i —3) (й—2) g2].
После определения величин Я*, Х2 путем решения системы линейных алге браических уравнений (14.4.59) при найденных значениях коэффициентов bnrj весовые коэффициенты оптимальной дискретной линейной системы, согласно (13.7.5), определяются формулой
ë h h = ^ i ß h k + |
(fc = 1, |
(14.7.12) |
Формулы (14.7.10) и (14.7.12) полностью и точно определяют оптимальную дискретную линейную систему при любом числе точек наблюдения h. Сред няя квадратическая ошибка оптимальной дискретной линейной системы опре деляется в данном случае формулой (14.4.61) при t — t/i при значениях Xj, Я2, соответствующих условиям этого примера.
§ 14.8. Оптимальные системы, описываемые дифференциальными уравнениями
Ввиду того, что системы, описываемые обыкновенными диффе ренциальными уравнениями, сравнительно просто моделируются на аналоговых вычислительных машинах, естественно, возникает вопрос, в каких случаях оптимальную линейную систему можно описать конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений и как получить эти уравнения. Прежде всего, ясно, что никакая система с конечной памятью не может описываться дифференциальными уравнениями. Это следует непосредственно из теоремы о единственности решения линейных дифференциаль ных уравнений. Поэтому оптимальные системы, описываемые диф ференциальными уравнениями, могут существовать только в част ном классе линейных систем с бесконечной памятью. У таких систем интервал наблюдения Т всегда совпадает с полным време нем работы системы, Т — t — tQ, и нижний предел во всех инте гралах предыдущей главы постоянен и равен t0.
Чтобы найти подход .к решению поставленного вопроса, рас смотрим сначала пример.
П р и м е р 14.8.1. В примере 14.1.1 была решена задача выделения полезного сигнала известной формы, характеризуемой функцией <р, (t), в случае, когда помеха представляет собой белый шум постоянной интенсив ности к. Полученные в примере 14.1.1 результаты относятся к общему случаю произвольной памяти системы. Покажем, что найденная в этом примере оптимальная система в частном случае, когда ее память бесконечна, описы вается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Положив Т = t — to, перепишем для этого частного случая формулу для
