ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 343
Скачиваний: 15
§ 14.8. СИСТЕМ Ы , О П И СЫ ВА ЕМ Ы Е |
Д И Ф Ф Е Р . У Р А В Н Е Н И Я М И |
591 |
весовой функции оптимальной системы: |
|
|
Фі (t)фі (т) |
( — оо < Т < 1 ) , |
(14.8.1) |
е(*. т) = к(fcii+ eii)
где
(14.8.2)
и формулу для минимального среднего квадрата ошибки, реализуемого оптимальной системой:
Л |
ФІ (*) |
(14.8.3) |
|
*п + сіі |
|||
|
(для удобства последующих выкладок мы пишем здесь просто г) вместо т)т1п). Логарифмируем формулу (14.8.1), а затем дифференцируем по t с учетом (14.8.2). В результате получим
g(t, т)= фі(0 |
фi(t) |
g ( t , т) ф± (0 |
к { Ь п + С ц ) ’ |
где точкой, как и везде в дальнейшем, обозначено дифференцирование по t.
Приняв во внимание (14.8.3) и |
положив |
для краткости |
|
. |
Фі (О |
|
(14.8.4) |
|
Фі (0 |
’ |
|
|
|
||
приведем полученное уравнение к виду |
|
|
|
g(t, т ) = ( а — |
Т)' |
(14.8.5) |
|
Таким образом, весовая функция оптимальной системы в данном случае удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка. Следова тельно, оптимальная система описывается уравнением первого порядка. Чтобы найти уравнение, связывающее входной и выходной сигналы опти
мальной системы, достаточно заменить начальное |
условие |
g (т, т) = |
= Ф'] (т)/к (6И -f сц) соответствующим слагаемым в |
(14.8.5), |
содержащим |
б-функцию б (і — т) (см. §§ 4.4 и 4.5). Так как при любом т весовая функция
g (t, т) при переходе t через т изменяется скачком от 0 до ф| |
(т)!к (6ц -j- cu ), |
||||
то б (t — т) |
должна |
войти |
в правую часть (14.8.5) с |
коэффициентом |
|
Фі (t)/k (Ьи + |
di). Заменив в полученном таким путем уравнении б (f — т) |
||||
входным сигналом Z = Z (t), |
а весовую функцию g (t, т) выходным сигналом |
||||
оптимальной системы |
W* = |
W* (t), |
получим дифференциальное уравнение |
||
оптимальной |
системы: |
|
|
|
|
|
|
1Р’* = ( а — |
W* + ^ - Z . |
(14.8.6) |
|
Анализируем структуру оптимальной системы. Так как требуемый выходной сигнал w — W (t) в данном случае равен t/іфі (t), то из (14.8.4) вытекает следующее уравнение для требуемого выходного сигнала:
W = aW. |
(14.8.7) |
Сравнивая это уравнение с (14.8.6), видим, что оптимальная система полу чается из системы формирования требуемого выходного сигнала путем
592 |
ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е |
О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х |
СИСТЕМ |
замыкания £ ее ~отрицательной) |
жесткой обратной связью |
и включения на |
|
входе усилителя с коэффициентом усиления г]/к. На рис. 14.8.1 показана оптимальная система. Пунктирной линией обведена система формирования требуемого выходного сигнала.
Величина rj, входящая в коэффициент усиления входного сигнала, может быть вычислена заранее и введена' в систему с помощью соответствующего программного устройства. Однако часто ее предпочитают вычислять непо средственно в системе в процессе ее работы (или в модели системы при ее моде лировании). При этом вычисление т) можно осуществить путем интегрирова ния дифференциальпого^уравпения, которому она удовлетворяет. Чтобы
получить это уравнение,^прологарифмируем формулу (14.8.3), а затем про дифференцируем с учетом (14.8.2) и (14.8.4). В результате получим
Д |
. 2Ф1 (t)______ Фі (t) |
^ |
2д |
Л |
|
Д |
Фі (і) |
^(Ь ц + сц ) “ |
|
к |
|
Отсюда вытекает дифференциальное уравнение для rj:
Ч = 2 а п - - у - . |
(14.8.8) |
Интегрируя совместно уравнения (14.8.6) и (14.8.8) (уже нелинейные), можно получить в каждый момент времени t одновременно выходной сигнал опти мальной системы W* и соответствующий средний квадрат ошибки т).
Мы видим, что в данном случае оптимальная система строится очень просто и наглядно.
Рассмотрим общую задачу воспроизведения регулярного тре буемого выходного сигнала
W ( t ) = |] £ / ггМ<) |
(14.8.9) |
Г=1
в случае, когда полезный входной сигнал определяется формулой
IV-1
5 ( 0 = S ßkW"fc>(*). |
(14.8.10) |
fc= 0 |
|
а помеха N (t) = X (t) представляет собой белый шум интенсивно сти G (t). Подставив выражение (14.8.9) в (14.8.10) и изменив поря док суммирования, представим входной сигнал в привычном нам
594 |
Г Л . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
W , . . ., во-вторых, заменить уравнение (14.8.16) равно ценной системой уравнений первого порядка и в-третьих, вместо формул (14.8.13), (14.8.15) и уравнений (14.8.14) исходить непо средственно из уравнения (13.5.37) и формулы (13.6.25) и произ вести все выкладки в матричной форме. Заметим еще, что выклад ки почти не изменятся, если в правые части системы уравнений формирования требуемых выходных сигналов добавить произ вольные белые шумы. Это равносильно добавлению нерегулярных частей полезных сигналов, формируемых из белых шумов той же системой дифференциальных уравнений. Если нерегулярные части требуемых выходных сигналов формируются другой систе мой дифференциальных уравнений, то ее следует просто добавить
куравнениям, определяющим регулярные части этих сигналов.
Всоответствии со сказанньм рассмотрим задачу определения оптимальной многомерной линейной системы в случае,-когда век торный требуемый выходной сигнал W (t) определяется матричным дифференциальным уравнением
W = A W + V { t) , |
(14.8.17) |
а векторный входной сигнал определяется формулой
Z (t) = B W (t) + Vi (t), |
(14.8.18) |
где А и В — матрицы коэффициентов (в общем случае перемен ных), V (t) и Уі (t) — некоррелированные векторные белые шумы, в общем случае нестационарные. На основании сказанного в § 13.5 можно без потери общности считать математические ожи дания белых шумов V (t) и Ѵі (t) равными нулю. Матрицу интен сивностей и взаимных интенсивностей составляющих белого шума V (t) обозначим G. Матрицу интенсивностей и взаимных интенсив ностей составляющих помехи Ѵ\ (t) обозначим Gt. Тогда матрицы корреляционных и взаимных корреляционных функций белых шумов V (t) и Ѵі (t) выразятся соответственно формулами
K v (t, |
т) = М IV (t) V (т)т1 = G b ( t - т), |
(14.8.19) |
Кп (t, |
г) = М [Ѵі (0 Ѵі (т)т] = Gfi (t — т). |
(14.8.20) |
Для краткости |
мы не показываем явно зависимость матриц |
|
А, В, G и Gi от времени t. Однако в случае, когда их аргумент обо значен другой буквой, мы будем указывать его соответствующим нижним индексом.
Для вывода дифференциальных уравнений оптимальной систе мы воспользуемся уравнением (13.5.37), определяющим матрицу весовых функций оптимальной системы, и формулой (13.6.25), определяющей матрицу вторых начальных моментов вектора ошиб-
