ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 342
Скачиваний: 15
596 гл. 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
и верхний предел интеграла, получим при а < t
t |
|
|
|
|
|
|
j |
g(t, т)Г,(т, o)dx + g(t, |
t)Tz (t, a) = t az(t, |
o). |
|||
to |
|
|
|
|
|
|
Подставив |
сюда |
выражения |
Г2 |
(t, о) |
и f wz (t, а) |
из (14.8.24) |
и (14.8.23), будем иметь при а < t |
|
|
|
|||
t |
|
|
|
|
|
|
j [g(f, *) + |
£(*, t)Bg(t, |
т)]Г*(т, |
o)dx = ATwz{t, a). |
|||
*0 |
|
|
|
|
|
|
Вычтя из этого равенства уравнение (14.8.21), умноженное слева
на матрицу А, |
получим |
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
j {git, T) — [A — g(t, t)B]g(t, т)}Г2(т, |
<j) cZt = 0 |
(« о < а < 0 . |
|||
to |
|
|
|
|
|
Таким образом, функция |
|
|
|
||
h (t, т) = g (t, т) — |
[A — g (t, |
t) В ] g (t, t) |
(14.8.26) |
||
удовлетворяет |
уравнению |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
j |
h(t, |
т)Г2(т, |
a)d t = 0 |
(i0< o r< 0 - |
(14.8.27) |
to |
|
|
|
|
|
Умножив это |
уравнение справа на h (t, a)T и проинтегрировав |
||||
по а от t0 до t, |
получим |
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
Df — j |
j h(t, t) Tz(t, a) h (tt cr)Tdx da = |
0. |
|||
|
to |
to |
|
|
|
Но на основании (7.2.63) Dt представляет собой матрицу вторых начальных моментов случайного вектора
t
Uf = J h (t, x)Z (x) dx
to
при любом фиксированном t. Поэтому диагональные элементы мат рицы Dt не могут быть отрицательными. Более того, если между составляющими белого шума Vi (t) нет тождественных относитель но t линейных зависимостей, то дисперсии составляющих случай ного вектора Ut не могут быть равны нулю. Поэтому равенство (14.8.27) возможно при всех а, t0 ^ о <; t, только в том случае,
§ 14 8. СИ СТЕМ Ы , О П И С Ы ВА ЕМ Ы Е Д И Ф Ф Е Р . У РА В Н Е Н И Я М И |
597 |
когда h (t, т) = 0 . Учитывая это, получаем из (14.8.26)
g (t, т) = [А — g (t, t) В] g (t, т). |
(14.8.28) |
Но в задачах практики между составляющими белого шума Ѵі (t) не может быть тождественных линейных зависимостей, так как это означало бы возможность абсолютно точного, без помех, изме рения некоторых линейных комбинаций составляющих требуемого выходного сигнала W (<). Следовательно, из интегрального урав нения (14.8.21) вытекает в рассматриваемом случае дифференци альное уравнение (14.8.28). Таким образом, весовая функция оптимальной системы в данном случае определяется матричным дифференциальным уравнением (системой дифференциальных уравнений) (14.8.28). Чтобы получить дифференциальное уравне ние оптимальной системы, следует заменить начальное условие для уравнения (14.8.28) соответствующим слагаемым g(t, t) 8(£—т) в правой части и после этого заменить 6-функцию 6 (t — т) входным сигналом Z = Z (t), а матрицу весовых функций g (t, т) выходным сигналом оптимальной системы W* = W* (t). В резуль тате получим
W* = [ А — g (г, t ) B ] W * + g (t, t) Z. |
(14.8.29) |
Осталось определить коэффициент усиления g (t, t) входного сиг нала. Для этого подставим в первую формулу (13.5.38),
Гг (т, о) = М [Z (т) Z (о)т],
выражения Z (т) и Z (а) из (14.8.18). Тогда, учитывая, что транс понированное произведение матриц равно произведению соот ветствующих транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, 183] и принимая во внимание некоррелированность W (<) с Fi (t), получим
Г* (т, а) = ВХМ [W (т) W (а)т] Bl + M [V, (т) V, (а)т] =
= BxTw(x, о) Ba + Gioö (х— о).
Подставив это выражение в уравнение (14.8.21), приведем его к виду
t
g(t, a)G10-\ • j g(t, x) BXTW(t, o ) B l d x = T wz{t, o). *0
Положив здесь а = t и приняв во внимание, что на основании (14.8.25) и вследствие симметричности матрицы Г№(t, t)
Twz (t, t) = r zu, (t, ty = Tw (t, t) B \
598 ГЛ . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
получим
t
g (t , t ) G i = [гю(t , t ) —j g ( t , t) B x T w (t, t ) d x j B 1.
*0
Но согласно (14.8.25)
B XT W (t, t ) = Ггш (т, t ) = r„,z (£, t)t .
Подставив это выражение в предыдущую формулу, на основании
(14.8.22) |
получим |
|
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
*)G1== [^(г, |
|
|
|
( t , т)тd x J B T = H5T. |
|
|||
|
g ( t , |
t ) — |
j g ( |
t , |
X) r w z |
|
||||
Отсюда находим *) |
|
to |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(14.8.30) |
|||||
|
|
|
|
g ( t , |
t ) = |
H |
B TG ; \ |
|
||
Подставив это |
выражение |
в уравнение |
(14.8.29), приведем |
его |
||||||
к |
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W * = ( А - НB ^ G ^ B ) |
W * + НB'G-'Z. |
(14.8.31) |
|||||
и |
Сравнивая |
уравнение (14.8.31) |
с (14.8.17), видим, |
что, |
как |
|||||
в примере |
14.8.1, |
оптимальная система получается |
из |
сис |
||||||
темы формирования требуемого выходного сигнала путем замыка ния ее отрицательной обратной связью, содержащей усилитель с матричным коэффициентом усиления В , и установки перед ее входом усилителя с матричным коэффициентом К = Hß1^ 1 **). На рис. 14.8.2 представлена оптимальная система. Пунктирной линией обведена система формирования требуемого выходного сигнала.
Для вывода дифференциального уравнения для матрицы момен тов второго порядка ошибки оптимальной системы Н продифферен
цируем |
формулу (14.8.22) по t: |
|
|
|
t |
|
|
II = |
Гц: (t, t)— j g(t, |
x)Twz(t, x)Tdx — |
|
|
*0 |
|
|
|
t |
|
|
|
—j g(t, X) |
r wz(t, x)Tdx — g(t, t)Twz(t, t)\ |
(14.8.32) |
to
*) Так как между составляющими белого шума F, (t) в задачах прак тики не может быть линейных зависимостей, то обратная матрица Gj1 всегда существует.
**) Мы называем для краткости усилителем с матричным коэффициен том усиления многомерную систему, состоящую из соответственно соеди ненных усилителен и сумматоров, вырабатывающую произведение мгновен ного значения векторного'сигнала на заданную матрицу. Примеры матрич ных усилителей обведены пунктирной линией слева и внизу справа на схеме оптимальной системы, представленной на рис. 14.8.4 (пример 14.8.4).
§ 14.8. СИСТЕМ Ы , ОПИСЫ ВАЕМ Ы Е Д И Ф Ф Е Р . У РА В Н Е Н И Я М И |
599 |
Но согласно (14.8.23)
t wz(t, t f = T wz(t, %fA\ |
(14.8.33) |
Матрица вторых начальных моментов требуемого выходного сиг нала Г„ (t, t) определяется матричным дифференциальным урав нением (7.7.18):
4 - |
(*. О = АТ™(*. *) + |
Г» (*, <) |
|
(14.8.34) |
|
Далее, из (14.8.25) следует, что |
|
|
|
||
Twz (t, |
ty = Г2Ш(г, t) |
= 5 Г №(г, |
г). |
(14.8.35) |
|
Подставив в (14.8.32) |
выражения dTw (t, £)/Л, |
g (£, т), |
(i, т)т |
||
Рис. 14.8.2.
и Гц,2 (і, ty соответственно из (14.8.34), (14.8.28), (14.8.33) и (14.8.35), получим
t
й = [А — g (t, t) В] [ г ш (t, t) — j g (t, T) Гц,г (t, x)Tdt J +
*0
t
+ [ г ш(г, t)— j g(t, t)TWz(t, x)TdxJ л т+ g
*0 или, на основании (14.8.22) и (14.8.30),
Н = АП + ЯА*-llB'G-yBR + G. |
(14.8.36) |
Уравнения (14.8.31) и (14.8.36) следует интегрировать при начальных условиях W* (t0) = mw (t0), Н (t0) = Kw (t0, t0). При этом выходной сигнал оптимальной системы будет оптимальной несмещенной оценкой требуемого выходного сигнала в любой момент времени t ^ t0. Действительно, так как mz = Bmw, то математическое ожидание mw требуемого выходного сигнала,
