Файл: Основы автоматического управления..pdf

удовлетворяющее уравнению

является вместе с тем интегралом уравнения

mw# = Am^-^-RB^G^ (mz— Bmw*)

при начальном условии mw* (t0) = mw (t0). Следовательно, при этом начальном условии mw* (t) = m w (t) при t ^ t0. Матрица H при таких начальных условиях представляет собой корреляцион­ ную матрицу вектора ошибки системы в любой момент времени.

Заметим еще, что если математическое ожидание белого шума V (t) в (14.8.17) отлично от нуля, то для получения оптимальной несмещенной оценки требуемого выходного сигнала в любой момент времени t ^ t0 достаточно добавить к правым частям урав­ нений (14.8.29) и (14.8.31) функцию тѵ. В результате уравнение оптимальной системы примет вид

W* = (А - НB'G-'B) W* + НB'Gf Z + тѵ. (14.8.37)

Действительно, математическое ожидание требуемого выходного сигнала, определяемое в этом случае уравнением

mw = Атш+ тв,

в силу того, что тг = Bmw, является также интегралом уравнения

Ши,*= А mw*4- НB9G11 (mz — Bmw*) + mv

при начальном условии mw* (t0) = mw (t0).

В случае постоянных матриц А, ß , Си G( в оптимальной системе существует установившийся режим, Н = const. В этом случае

и оптимальная система, описываемая уравнением (14.8.31), ста­ ционарна.

Итак, мы показали, что в случае, когда помеха является белым шумом, нерегулярная часть требуемого выходного сигнала связа­ на с белым шумом обыкновенным дифференциальным уравнением, а полезный входной сигнал представляет собой результат линей­ ного алгебраического преобразования мгновенного значения требуемого выходного сигнала, оптимальная линейная система с бесконечной памятью описывается системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Этот результат был впервые получен Калмэном и Бьюси [87, 88]. Поэтому оптималь­ ные системы такого типа обычно называются фильтрами Калмэна.

Калмэн показал также, что оптимальная система для экстраполя­ ции сигнала W (t) получается путем последовательного соединения системы, описываемой уравнением (14.8.31), с усилителем с мат­ ричным коэффициентом усиления У (t + Л) 4х' 1 (<), где Ч; (t) — матрица фундаментальных решений однородного уравнения

Результаты Калмэна и Бьюси были распространены на слу­ чай произвольной помехи, связанной с белым шумом обыкновен­ ным дифференциальным уравнением, Брайсоном и Йохансеном [81) и Гулько и Новосельцевой [84, 85].

Изложим коротко метод Гулько и Новосельцевой. Предполо­ жим, что помеха N (I) формируется из белого шума фильтром, описываемым системой конечного числа обыкновенных дифферен­ циальных уравнений. Тогда входной сигнал Z (t) определится фор­ мулой

При этом возможны два случая. В первом случае оператор системы, обратной формирующему фильтру, является дифференциальным. Во втором случае он представляет собой сумму дифференциального оператора и интегрального оператора, весовая функция которого не содержит б-функций и ее производных.

В первом случае, преобразуя Z (і) дифференциальным опера­ тором системы, обратной формирующему фильтру, и заменяя производные функции W (t) их выражениями, вытекающими из (14.8.17), мы получим функцию Zj (t) вида (14.8.18) с белым шумом Ѵі (t) в правой части (но, конечно, с другой матрицей В). При этом, само собой разумеется, полезный входной сигнал должен быть дифференцируемым большее число раз, чем помеха, вслед­ ствие чего белый шум V (t) и его производные не войдут в сигнал Zj (t). Следовательно, в этом случае задача непосредственно сво­ дится к применению изложенного метода. Оптимальная система в этом случае представляет собой последовательное соединение системы, обратной формирующему фильтру, и оптимальной систе­ мы для входного сигнала Zt [84].

Во втором случае, согласно идее Ф. Б. Гулько и Ж. А. Ново­ сельцевой [85], систему, обратную формирующему фильтру, сле­ дует представить в виде параллельного соединения двух систем, одна из которых — непрерывная часть обратной системы — имеет весовую функцию, не содержащую 6-функций и их производных, а другая имеет чисто дифференциальный оператор (т. е. ее весовая функция представляет собой линейную комбинацию 6-функции и ее производных). Обозначив полезный выходной сигнал первой системы при входном сигнале Z через W ' , получим для него

(дифференциальное уравнение непрерывной части системы, обрат­ ной формирующему фильтру, при входном сигнале BW (t)). Тогда в результате преобразования входного сигнала Z (t) системой, обратной формирующему фильтру, получим сигнал Zx (t) вида

а матрица В t получается в результате применения к произведению BW (t) дифференциального оператора дифференцирующей части системы, обратной формирующему фильтру, и исключения произ­ водных функции W (t) с помощью уравнения (14.8.17). Таким обра­ зом, и во втором случае задача сводится к применению метода Калмэна путем ввода дополнительных компонент W требуемого выходного сигнала и соответствующего расширения системы фор­ мирования требуемого выходного сигнала за счет добавления урав­ нения (14.8.41). Оптимальная система и в этом случае представля­ ет собой последовательное соединение системы, обратной форми­ рующему фильтру, и оптимальной системы для входного сигнала Zj (t), полученной изложенным методом.

Напомним еще раз, что оптимальные системы рассмотренного типа (калмэновские фильтры) получаются лишь в частном (правда, широко распространенном) случае, когда оптимальная система ищется в классе систем с бесконечной памятью, а входной сигнал представляет собой сумму помехи, формируемой из белого шума, с результатом линейного преобразования мгновенного значения требуемого выходного сигнала.

и матрицы представляют собой скаляры, А = —а, В = 1, Н = ц. Уравне­

11= —2ат) — fc + 2Da.

Так как г0 = — оо, то система работает с установившимся средним квадратом ошибки т) = const. Поэтому уравнение для г] превращается в квадратное

уравнение

т]2 -f- 2акх\ — 2Dak = 0.

Решая это уравнение, находим

т] = ~\/агкг + 2Dak — а к — (ß — а) к.

Подставив это выражение в уравнение оптимальной системы, получим

W*= — ßTP*+ (ß — а) Z (f).

Отсюда находим передаточную функцию оптимальной системы:

ние (14.8.39) имеет решение Т (і) = e~at, то оптимальная система для экстра­ поляции сигнала W (і) на время А получается последовательным соединением

Рис. 14.8.3.

оптимальной системы предыдущего примера и усилителя с коэффициентом усиления е~аЛ (рис. 14.8.3). Выходной сигнал этого оптимального экстра-

синусоиды заданной частоты ш0 со случайными амплитудой и фазой и стацио­

а помеха является стационарной случайной функцией N (t) с корреляцион­

Wi (г) = Ui cos ш0г + U2 sin u>0t,

где Ui и U2 — случайные величины, а нерегулярную часть полезного сигнала И’з = Ц’з (г) == А’і (t). Легко проверить непосредственной подстановкой, что

сигнал Wi и его производная W2 — Wi определяются системой дифферен­ циальных уравнений

W3 + 2aW3+ b2JF3 = V (t).

Положив Wl — W3, приведем это уравнение к системе двух уравнений пер­ вого порядка

Таким образом, вектор W требуемых выходных сигналов с составляющими Wj, W2, Wз и Wk определяется системой уравнений (14.8.42) и (14.8.43), которая может быть записана в матричной форме (14.8.17), где матрица А определяется формулой

Векторный белый шум V (t) в (14.8.17) в данном случае имеет нулевые первые три составляющие и только четвертая составляющая представляет собой скалярный белый шум интенсивности 2jis0 = 4Dab2. Следовательно, матри­ ца G имеет в данном случае все нулевые составляющие, кроме одной G44 = = 4Dab2.

По условиям задачи оптимальная система должна выделять полезный сигнал

S (1) = Ui cos G)0t + U2 sin (ü0t + Xi («) = Wi (t) + W3 (t)

из аддитивной смеси его с шумом N (t). Таким образом, входной сигнал определяется в данном случае формулой

Z (t) = S (t) + ЛГ (f) = Wi (t) + W3 (t) + N (t).

Так как помеха N (t) не является белым шумом, то изложенная теория для решения данной задачи непосредственно неприменима. Поэтому выполним предварительно такое преобразование входного сигнала Z (г), при котором помеха преобразуется в белый шум. На основании результатов примера 7.6.2 такое преобразование осуществляется форсирующим звеном первого порядка с передаточной функцией s + а. При подаче на вход такого звена сигнала Z = Z (t) получится выходной сигнал

Zi = Z + a.Z = Wi + aWi + W3 + aW3+ Vu

где Vi = N + аN — белый шум интенсивности 2D4a. Подставив в эту

Эту формулу можно представить в матричном виде (14.8.18), где матрица В определяется формулой