Файл: Основы автоматического управления..pdf

Матрица Gi в данном случае представляет собой число 2Dta. Теперь можно найти оптимальную систему для входного сигнала Zt (t) изложенным методом. Соединив эту систему последовательно с форсирующим звеном с передаточной функцией s + а, мы и получим оптимальную систему для входного сигнала

Z (t). Имея в виду, что в данном случае требуемым выходным сигналом является Wi -г W3, мы должны будем поставить на выходе полученной системы сумматор, выполняющий сложение сигналов И7? и W%.

Остается вычислить матричный коэффициент усиления К = Hß TGf1:

где

усилителя с матричным коэффициентом усиления К, системы формирования сигналов Wi, W2, ІУз, Wit замкнутой отрицательной обратной связью, содержащей усилитель с матричным коэффициентом усиления В, и сумма­ тора, выполняющего сложение сигналов W* и W£ (см. рис. 14.8.4, на котором в средней части обведена пунктирной линией система формирования сигна­ лов И'і, W2, W3 и И'’*, справа внизу обведен пунктирной линией усилитель

606 Г Л . 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Предоставляем читателю самостоятельно написать уравнения (14.8.36) и (14.8.38) и вытекающие из них системы уравнений, определяющие эле­ менты f\j)q матрицы Н. Средний квадрат ошибки оптимальной системы равен

помехи N (t) с показательно-косинусной корреляционной функцией кі (т) =

Согласно изложенному методу, представим систему с такой весовой функ­ цией в виде параллельного соединения системы с весовой функцией

WT (С t) = 2ß (ß— а)е ~рѴ~х^

и системы с весовой функцией

ц>2 (t, т) = (2а—ß) б (/—х)-(-6' (t— т).

Первая система представляет собой апериодическое звено с передаточной функцией 2ß (ß — a)/(s + ß), а вторая — форсирующее звено с передаточ­ ной функцией s + 2а — ß. Обозначим через W5 результат преобразования первой системой полезного входного сигнала Wi + W3. Тогда при подаче на вход системы, обратной формирующему фильтру, входного сигнала Z = = Z (<) ее выходным сигналом будет

Z1== (2 a -ß ) {Wi + Wz) + Wi + W3 + W5 + Vl =

= (2 a -ß ) (Wi + W3) + W2 + Wi + W5 + Vl ,

Таким образом, чтобы применить изложенный метод в данном случае, следует ввести дополнительную компоненту полезного сигнала 1F5, представ­ ляющую собой результат преобразования полезного входного сигнала Wt W3 непрерывной частью системы, обратной формирующему фильтру, и таким путем расширить систему формирования требуемого выходного сигнала. Расширенная система формирования требуемого выходного сигнала

Матричный коэффициент усиления усилителя перед входом системы форми­ рования требуемого выходного сигнала представляет собой матрицу-столбец с элементами

Оптимальная система для этого случая показана на рис. 14.8.6. Пунктирной линией обведена основная система формирования , требуемого выходного сигнала, а также соответствующая расширенная система.

Рис. 14.8.6.

Приведенные примеры показывают, что изложенный метод позволяет сравнительно просто находить оптимальные линейные системы даже в тех случаях, когда методы §§ 14.2 и 14.3 ведут к очень сложным и громоздким выкладкам. В этом, а также в на­ глядности состоит большое преимущество метода Калмэна перед другими методами нахождения оптимальных линейных систем с бесконечной памятью.

Г л а в а 15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ |СИСТЕМ

§ 15.1. Общий метод определения оптимальной системы

Рассмотренные в предыдущих главах методы определения опти­ мальных линейных систем по критерию минимума средней квад­ ратической ошибки дают возможность решать большое количество практических задач. Однако далеко не всегда оптимальная линей­ ная система обеспечивает наилучшее решение задачи. Критерий же минимума средней квадратической ошибки, как было показано в § 13.2, является лишь одним из возможных, но не единственным критерием. Во многих задачах, как, например, в задаче обнаруже­ ния сигналов, приходится пользоваться другими критериями. Мы изложим здесь общий метод определения оптимальных систем, который позволяет при весьма общих условиях находить оптималь­ ные системы, как линейные, так и нелинейные, практически по лю­ бым критериям.

Большое количество задач автоматики, теории информации и других областей науки приводит к следующей общей задаче. На вход системы поступает сигнал Z (£), представляющий собой сумму полезного сигнала S (і) и помехи X (£), которую без потери общности можно считать имеющей математическое ожидание, тождественно равное нулю. Полезный сигнал представляет собой известную функцию времени t и некоторых неизвестных парамет­ ров Ui, . . ., UN, которые могут быть случайными или просто неизвестными величинами. Для краткости записи мы будем обо­

Где р — некоторый оператор, в общем случае нелинейный. Тре­ буется найти оптимальную систему, выходной сигнал которой W* (£) возможно более точно воспроизводит требуемый выходной сигнал W (£). Эта задача является частным случаем основной зада­ чи теории оптимальных систем, сформулированной в § 13.1.

§ 15.1. ОБЩ ИЙ М ЕТОД О П Р Е Д Е Л Е Н И Я О П ТИ М А ЛЬН О Й СИСТЕМ Ы 609

Для решения поставленной задачи в различных задачах прак­ тики приходится пользоваться различными вероятностными кри­ териями точности. В § 13.2 мы видели, что большинство критериев, которыми приходится пользоваться на практике, могут быть пред­ ставлены в виде

где I (W, W*) — некоторая заданная функция требуемого выход­ ного сигнала W и действительного выходного сигнала W* (функ­ ция потерь).

Оказывается, что все задачи такого рода можно решать одним общим методом при единственном условии, что помеха X (t) рас­ пределена нормально и независима от параметров сигнала. Этот общий метод дает возможность находить оптимальные системы различных назначений по любым критериям вида (15.1.3). В отли­ чие от задач §§ 13.5—13.7 и предыдущей главы, мы будем искать оптимальную систему среди всех возможных систем, имеющих в качестве входного сигнала случайную функцию Z (t), не ограни­ чиваясь классом линейных систем или каким-либо другим частным видом систем. Такая постановка задачи дает возможность находить системы, обеспечивающие абсолютный минимум математического ожидания функции потерь I (W , W*), определяющий предельную точность системы, которая теоретически может быть достигнута при данных условиях (потенциальную точность).

Будем производить вероятностное осреднение в формуле (15.1.3) в два приема: сначала по всем возможным значениям тре­ буемого выходного сигнала при данной фиксированной реализации входного сигнала Z (t), а затем по всем возможным реализациям случайной функции Z (t). В результате первого осреднения мы получим условное математическое ожидание функции потерь отно­ сительно случайной функции Z ((). В результате второго осредне­ ния получим безусловное математическое ожидание функции потерь:

Очевидно, что если мы найдем систему, обеспечивающую мини­ мум условного математического ожидания функции потерь для каждой данной реализации z случайной функции Z:

то эта система будет обеспечивать и абсолютный минимум безу­ словного математического ожидания функции потерь, т. е. будет искомой оптимальной системой среди всех возможных систем.

Для нахождения условного математического ожидания в фор­ муле (15.1.5) необходимо найти сначала условную плотность веро­ ятности требуемого выходного сигнала W (t) и л и , что одно и то же,

39 под ред. В. С. Пугачева