Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 338

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

610 гл. 15. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П Т И М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

параметров сигнала U относительно входной случайной функции Z. Для этого предположим, как и в главах 13 и 14, что система должна вырабатывать выходной сигнал W* в момент t по резуль­ татам наблюдения входной случайной функции Z (т) в интервале времени [t — Т, f], и представим помеху X (т) в интервале [t — Т, і\ каким-либо' каноническим разложением в действитель­ ной форме

00

 

* W

= 2 t W T )

 

(15.1.6)

 

 

 

V—1

 

 

где

Fi, Ѵ2, . . .

— некоррелированные

действительные

случай­

ные

величины,

математические ожидания которых равны нулю,

а Хі (т), х2 (т),

. . .

— действительные

координатные

функции.

Случайные величины Fv выражаются через случайную функцию

X (т) формулой ([54], § 6.2 или [53], § 60)

t

 

 

Fv= f аѵ (т) X (т) dx

(v = l, 2, ...) ,

(15.1.7)

t- т

 

 

где di (т), a2 (т), . . . — действительные функции, удовлетворяю­ щие совместно с координатными функциями х ѵ (т) условию биор­ тогональности

t

(т) хѵ (т) dx = бѵц

(övv = 1, бѴ(і = 0 при \лфѵ) (15.1.8)

j

1- Г

 

 

Так как помеха X (т) по предположению распределена нормально, а случайные величины Ѵѵпредставляют собой результат линейного преобразования случайной функции X (т), то и случайные вели­ чины F v распределены нормально и, следовательно, не только не коррелированы, но и независимы. Поэтому совместная плот­ ность вероятности случайных величин Fj, . . ., F„ при любом n выражается формулой

fv (vи

■ ,

V „ ) =

у (2к ) » D l . . . D , = « p { — ä - S ^ - } .

 

 

 

 

 

V = 1

где Du D 2 , . . . — соответственно дисперсии случайных величин

F„ F 2, . . .

Рассмотрим теперь случайные величины

 

1

 

 

Zv = j cut {'z)Z{x)dx

(v = l, 2, ...) .

(15.1.10)

i-т

 

 

§ 15.1. О БЩ И Й М ЕТОД О П Р Е Д Е Л Е Н И Я О П ТИ М А ЛЬН О Й СИСТЕМ Ы 611

По условию входная случайная функция Z представляет собой сумму полезного сигнала и помехи:

Z (т) = ф (т, U) + X (т).

(15.1.11)

Подставляя это выражение в (15.1.10) и принимая во внимание

(15.1.7),

получим

 

 

 

 

 

 

 

%

 

 

 

 

 

 

Zv =

J ЯѵМ ф Сг, U)dx + Vv

(ѵ =1,

2,

...) .

(15.1.12)

Полагая

t-т

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а.ѵ{и) = -щ-

^ ач{х)у{%,

U)d%

(ѵ = 1 ,2 , ...),

(15.1.13)

 

ѵ

і - Т

 

 

 

 

 

можем переписать формулу (15.1.12) в виде

 

 

 

 

Zv = D va v (U) +

7 V

(v = 1,

2,

. . .).

(15.1.14)

Таким образом, случайные величины Zv являются функциями случайных параметров сигнала U и соответствующих случайных величин F v.

На основании (15.1.14) и (15.1.6) имеем

оосо

2

Zv#v (т) = 2

АДѵ (U) хѵ(т) -f X (т)

(< — Г < т < г ) .

(15.1.15)

Ѵ=1

ѵ = і

 

 

 

 

 

Сравнивая эту

формулу

с (15.1.11), видим, что если функция

Ф (т, U) представима в интервале

наблюдения t — Т ^ т ^ t

разложением по координатным функциям:

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

ф (Т, U) = 2

 

(U) Х Ѵ (т)

(t —

(15.1.16)

 

 

Ѵ=1

 

 

 

 

то входной сигнал Z (т) также представим в интервале

t — Т ^

^

т ^ t разложением

по

координатным функциям:

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

Z (т) =

2 z vx v (x)

(t — Г < т < 0 -

(15.1.17)

 

 

Ѵ=1

 

 

 

Формулы (15.1.10) и (15.1.17) устанавливают взаимно однозначное соответствие между случайной функцией Z (т) и совокупностью случайных величин Zb Z2, . . . Каждой данной реализации слу­ чайной функции Z (т) в силу формулы (15.1.10) соответствуют опре­ деленные возможные значения всех случайных величин Zt, Z2, . . .

Наоборот, каждой совокупности возможных значений случайных величин Zi, Z2, . . . на основании формулы (15.1.17) соответствует определенная реализация случайной функции Z (т). Поэтому условный закон распределения случайных параметров сигнала*?/

39*

612 Г Л . 15. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е

О П ТИ М А Л ЬН Ы Х

Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

относительно случайной

функции Z (т)

тождественно совпадает

с условным законом распределения случайных параметров сигна­ ла U относительно совокупности случайных величин Zb Z2, . . .

Найдем сначала условную плотность вероятности / 4(и | zt, . . ., zn) параметров сигнала U относительно конечного числа п случайных величин Zt, . . ., Zn. На основании известных формул теории вероятностей

fi(u\zu . . . , z n) = - z

/(ы)Мгі’

------, (15.1.18)

$

/ ( м ) /г ( 2 і .

•• •, zn \u)du

— ОО

 

 

где / (и) — безусловная (априорная) плотность вероятности пара­

метров

сигнала

U,

которую

мы будем считать

заданной,

/ 2 (zj, . .

zn I u) — условная

плотность вероятности

случайных

величин

Zi, . . .,

Zn

относительно случайных параметров сиг­

нала U. Для определения условной плотности вероятности случай­

ных величин Zi, . . .,

Zn относительно случайных

величин U

заменим в (15.1.14) случайные величины U их возможными значе­

ниями и. Тогда случайные величины Zv будут простыми линей­

ными

функциями

соответствующих

случайных величин F v,

и вследствие

(15.1.9) мы

будем

иметь

/ 2(Zi,

. .. , z„|u) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

= У (2 л)п Dt ...

ІГПехр { ~

 

т

-Щ- ^ - D ѵ“ ѵИ 1 2} =

 

 

 

 

"

2

 

 

~"У(2я)пОі ...

£)neXP {

vi j

2°v

+

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

+ 2

“ v(w)zv —

0 ѵйѵМ | . (15.1.19)

 

 

 

V = i

 

 

 

V=1

Подставляя это выражение в (15.1.18) и производя сокращения, находим условную плотность вероятности случайных величин U относительно случайных величин Zb . . ., Zn:

/ і ( и I z l> • • • 1 Z Tl) =

n

 

 

 

n

 

 

 

/ (“) exp I 2

« V (“) zv— 2

D^ l (u) }

 

________________________ V=1___________________ V=1_________

. (15.1.20)

oo

П

П

 

j

/ M exp I 2

“v (“) ZV — 2 2

D^ l (“)} du

 

- с »

V =1

V = i

§ 15.1.

О БЩ И Й М ЕТОД О П Р Е Д Е Л Е Н И Я О П ТИ М А ЛЬН О Й СИСТЕМ Ы 613

Переходя

к пределу при п

оо, находим условную плотность

вероятности случайных величин U относительно совокупности всех случайных величин Zv*):

fi(u\zu z2, . . .) =

ОО ОО

ОО

/ (и) exp I 2ОО

“ ѵ (“) zv —

2ОО

flv“ v (“) }

 

(15.1.21)

_______________________________________V = 1 ________________________________ V — 1____________________________

 

j

/ (и) exp I 2

«V (“) zv ----Y

2

ö v “ v (“)}

du

 

- о о

V = 1

 

V = 1

 

 

 

Заметим теперь, что на основании (15.1.10)

ООt ОО

2

ctv (u) Zv = j 2 “ ѵ (и) Яѵ (т) Z (т) dx =

 

v = l

t—TV=1

t

(15.1.22)

 

=

j g(t, T, u) Z(x) dx,

 

 

t - T

 

где для краткости положено

 

 

 

о о

 

 

 

g(£, X, u )= 2

<Ми)аѵ(т).

(15.1.23)

 

V—1

 

При этом мы указываем явно зависимость функции g от конца интервала наблюдения t (на основании формулы (15.1.13) величины а ѵ (и) зависят также от t).

Вводя функцию

о о

 

ß(i/.)= 2 а д м ,

(15.1.24)

Ѵ=1

получим на основании (15.1.22) следующее выражение условной плотности вероятности случайных величин U относительно слу­ чайной функции Z (т):

t

/ і (и I z) =

X (z) / (и) exp

I

j g(t,

X, u)z(x)dx — -|-ß (u)} ,

(15.1.25)

где

 

 

 

t-T

 

 

 

 

t

 

 

 

 

oo

 

 

 

 

* (z )= [

j

/ (u) exp I

j

g(t, X,

u) z (x) dx —

 

-oo

t—T

 

 

 

______________

 

 

- 4 - ß ( u ) } d u ] _1

(15.1.26)

*) Доказательство существования предела читатель может найти в [53], § 144.

614 г л . 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

— постоянный нормирующий множитель, зависящий от реализа­ ции z случайной функции Z.

На основании (15.1.13) и (15.1.23) формулу (15.1.24) для функ­ ции ß (и) можно переписать в виде

I

ß (и) = 2 “ѵ (и) j аѵ(т) ф (т, и) dx =

Ѵ=1

-т

t

 

 

 

 

 

 

= j g(t, г, и) ф (т, и) dx.

(15.1.27)

t - T

Формула (15.1.25) определяет условную плотность вероятности случайных параметров сигнала U относительно входного сигнала системы Z, т. е. апостериорную плотность вероятности параметров сигнала U, которая вполне определяется после наблюдения, когда становится известной реализация z случайной функции Z. Зная апостериорную плотность вероятности параметров сигнала U, можно вычислить апостериорные математические ожидания (услов­ ные математические ожидания относительно входного сигнала Z) любых функций параметров сигнала U. В частности, можно вычис­

лить

и

условное

математическое

ожидание функции

потерь

l(W,

W*),

которая

вследствие

(15.1.2) является функцией U

и выходного сигнала системы W*. А именно на основании формул

(15.1.2)

и

(15.1.25)

 

 

 

 

 

 

р (Z,

W*) = M[l{W,

W*) I Z] =

 

 

 

 

 

 

 

 

о о

 

 

 

 

 

 

 

= x(Z)

j

ЦФ(г,

u),

W*)f(u)x

 

 

 

 

 

І

 

 

 

 

 

 

 

 

X exp и

* «

-

n )Z (T )d t- i- ß (u )} du.

(15.1.28)

 

 

 

kt- r

 

 

 

 

 

Для полного решения задачи остается определить выходной сигнал оптимальной системы W* = W* (t) при каждом данном значении t из условия минимума интеграла в (15.1.28). Этим усло­ вием полностью определяется оператор оптимальной системы. Действительно, условие минимума интеграла (15.1.28) полностью определяет последовательность математических действий, которые должна выполнить оптимальная система над входной функцией Z (т), чтобы получить выходную функцию W* (t).

Таким образом, для нахождения оператора оптимальной систе­ мы необходимо определить весовую функцию g (t, х, и) по форму­ ле (15.1.23) и функцию ß (и) (зависящую также от t) по формуле (15.1.24) или (15.1.27). После этого оператор оптимальной системы определится как совокупность математических действий, которые

Смотрите также файлы