§ 15.1. О БЩ И Й М ЕТО Д О П Р Е Д Е Л Е Н И Я О П ТИ М А ЛЬН О Й СИСТЕМ Ы 615
следует выполнить, чтобы при данном входном сигнале Z (т) найти такую функцию W* (t), при которой интеграл в (15.1.28) достигает наименьшего значения в любой момент времени t.
Подставим теперь выражение (15.1.13) функции а ѵ (и) в форму лу (15.1.23). Тогда получим
ооt
g(t, X, и) = 2 |
j М а ) ф (° > u) da• |
(15.1.29) |
v = l |
Ѵ t - T |
|
Сравнивая эту формулу с (14.6.10) и принимая во внимание, что функции а ѵ (т) в рассматриваемом случае действительны, убеж даемся в том, что весовая функция g (t, т, и) является решением интегрального уравнения
і |
о) g(t, х, u)dx = (p(o, и) |
(t — Г < о < < ), (15.1.30) |
j Кх (х, |
t - T |
а) — корреляционная функция помехи X (t). Формулы |
где К х (т, |
(15.1.13) и (15.1.23), равноценные формуле (15.1.29), дают решение интегрального уравнения (15.1.30) в виде бесконечного ряда. Одна ко в некоторых случаях может оказаться возможным определение весовой функции g ( t, т, и) непосредственным решением уравне ния (15.1.30), например, одним из методов, изложенных в преды
дущей главе.
Линейная система с весовой функцией g (t, т, и) обладает интересным свойством: она осуществляет такое линейное преоб
разование входного сигнала Z (т), |
что |
отношение |
сигнал/шум |
на выходе имеет |
наибольшее возможное |
значение |
в любой мо |
мент времени t. |
Действительно, на |
основании (15.1.1), (15.1.11) |
и (15.1.27) полезный сигнал и шум на выходе системы с весовой
функцией g (t, г, и) |
при данном значении и параметра сигнала |
U определяются соответственно формулами |
|
t |
|
|
|
s = |
j |
g(t, |
X, |
u) Ф (x, u)dx = f>(u), |
|
t- r |
|
|
|
|
t |
|
|
|
N = |
j |
g{t, |
X, |
u)X (x) dx. |
|
t - T |
Дисперсия шума на выходе равна |
t |
t |
Dn= j |
( g(t, X, u)g(t, x', u)Kx (x, x')dxdx'. |
t - T t - T
Но на основании (15.1.30) при любом x', t — T ^ x' ^ t,
t
j g(t, T, u)Kx (x, x')dx = ф(х', и).
616 гл . 15. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Следовательно,
t |
|
Dn = [ g(t, т', и)ср(т', u)dx’ = ß(u). |
(15.1.31) |
t-т |
|
За отношение сигнал/шум можно принять отношенне полезного сигнала к среднему квадратическому отклонению шума. Поэтому
отношение сигнал/шум на выходе |
системы с весовой |
функцией |
g (t, т, и) на основании полученных формул равно |
|
ч = л к = Ш |
г ѵ ш |
<15л-32> |
Пусть теперь h (t, т) — весовая функция произвольной линейной системы. Полезный сигнал и шум на выходе этой системы при том же входном сигнале Z (т) определяются формулами
t
st = j h(t, т) Ф (т, u)dx, t-т
t
N i= j h(t, x)X(x)dx.
t - T
Корреляционный момент выходных шумов N я N± систем с весо выми функциями g (t, X , и) и h (t, т) равен
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
& n n i= |
j |
j |
g(t, |
X , |
u)h(t, x')Kx (x, |
x’)dxdx’ |
|
|
|
|
t - T t - T |
|
|
|
|
|
|
или, вследствие |
(15.1.30), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Kni= |
j h(t, |
т')ф (т', u)dx' = |
Sj. |
(15.1.33) |
|
|
|
|
t - T |
|
|
|
|
|
Но в силу известного из теории вероятностей неравенства | |
кпп |
^ |
У DnDn^ (см. |
[54], |
§3.9). Отсюда вследствие (15.1.33), (15.1.31) |
и |
(15.1.32) вытекает |
|
|
|
|
|
|
|
|
I s ,|< Ѵ Й Ж І -= |
V W y D ^ , = У ѴШ,- |
|
|
Разделив это неравенство |
на |
положительную |
величину |
] / Dni, |
получаем для отношения сигнал/шум на выходе системы с весовой функцией h (t, т) неравенство
§ 15.1. ОБЩ ИЙ М ЕТОД О П Р Е Д Е Л Е Н И Я О П ТИ М А ЛЬН О Й СИСТЕМ Ы (J17
Это неравенство показывает, что ни для какой линейной системы отношение сигнал/шум на выходе не может быть больше, чем у сис темы с весовой функцией g (t, т, и), что и требовалось доказать. Равенство у4 = у достигается тогда и только тогда, когда шумы N и Ni связаны при любом t линейной зависимостью, что возмож но только в том случае, когда h (t, т) = Ѳ(t) g (t, т, и), где Ѳ(t) — произвольная неслучайная функция. Множитель Ѳ(t), оче видно, не имеет существенного значения, так как умножение весо вой функции линейной системы на Ѳ(t) равноценно присоедине нию к выходу этой системы безынерционного линейного усилителя с коэффициентом усиления Ѳ(t), а безынерционный линейный усилитель не изменяет отношения сигнал/шум.
Таким образом, оптимальная обработка входного сигнала при любом статистическом критерии оптимальности включает опти мальное линейное преобразование, обеспечивающее максимальное отношение сигнал/шум для любой реализации и параметра сигнала U. Фактически это означает, что оптимальная система всегда содер жит множество оптимальных линейных систем, соответствующих всем возможным значениям и параметра сигнала U, каждая из ко торых максимизирует отношение сигнал/шум для соответствующе го значения и параметра U.
Минимизацию интеграла (15.1.28) во многих задачах практики можно выполнить аналитически. В подобных случаях мы получим явную формулу, определяющую оператор оптимальной системы, т. е. явную зависимость выходной переменной оптимальной систе мы W * от ее входной переменной Z. Если найти минимум интегра ла (15.1.28) в аналитической форме не удается, то его можно найти приближенно, применяя численные методы. В таких случаях явной зависимости выходной переменной оптимальной системы W* от входной переменной Z мы не получим и оператор оптималь ной системы будет выражен в форме алгоритма.
Изложенный метод можно применять для нахождения как непрерывных, так и дискретных оптимальных систем. Для опреде
ления оптимальной дискретной системы достаточно, |
так же как |
в § 14.7, взять функции |
аѵ(т) в |
виде линейных |
комбинаций |
6-функций: |
|
|
|
|
h |
avk8(x — th) |
|
|
яѵ(х)= |
(v — 1, |
(15.1.34) |
fc=i |
|
|
|
Подставляя это выражение в (15.1.23) и полагая t = |
th, |
|
h |
|
|
|
ghh(u)= |
ßvftav(u) |
(k= 1, |
(15.1.35) |
получим |
V=1 |
h |
|
(15.1.36) |
g(th, X, u) —^ ghh(u)S(x — th) |
618 ГЛ. 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
И |
|
|
|
|
lh |
h |
|
|
f |
g(th, т, u)Z(x)dx= 2 |
ghh(u)Z(th). |
(15.1.37) |
Интегральное |
уравнение (15.1.30) |
в |
этом случае |
превращается |
в систему линейных алгебраических уравнений, определяющих весовые коэффициенты ghk (и)'
2 K-xih, tq)ghh(u) = (p(tq, и) |
(g = l, |
(15.1.38) |
ft=i |
|
|
Изложенный метод обладает большой общностью и позволяет решать большое число различных задач практики. Для простоты изложения мы ограничились здесь лишь простейшим вариантом этого метода. Однако он легко распространяется на значительно более общие и сложные задачи, например на задачи определения оптимальных многомерных систем, имеющих любое число входов и выходов (см. [53], §§ 141—145). В последнем случае задача также сводится к минимизации интеграла (15.1.28), в котором Z (т), W ,
W*, |
ф (і, и) |
и g (t, |
т, |
и) представляют собой векторы, при |
чем |
вектор |
g (t, т, |
и) |
определяется |
матричным |
уравнением |
(15.1.30), в котором |
векторы g (t, |
т, |
и) |
и ф (а, |
и) |
представлены |
в виде матриц-столбцов, |
а К х (t, |
t') |
— матрица |
корреляционных |
и взаимных корреляционных функций составляющих векторной
случайной |
функции X (t). |
При этом произведение векторов |
g (t, т, и) |
и Z (т) в (15.1.28) |
и произведение векторов g (t, т, и) |
и ф (т, и) в (15.1.27), так же как и произведения векторов во всех предыдущих формулах, следует понимать как скалярные произведения соответствующих векторов.
Применяя изложенный метод, следует помнить, что буквой U во всех предыдущих выкладках обозначена в общем случае сово купность всех параметров сигнала С/1( . . ., UN и соответственно
и |
представляет собой совокупность возможных значений ии . . . |
. |
. ., uN параметров Uj, |
. . |
., UN, а все интегралы по и являются |
кратными интегралами |
по |
переменным иІ7 . . ., |
u N. |
|
Случай, когда некоторые из параметров Uu . |
. ., UN (или все) |
не являются случайными, а представляют собой неизвестные вели чины, которые могут иметь любые значения, можно рассматривать как предельный, когда эти параметры распределены равномерно в некоторых пределах, при неограниченном расширении этих пре делов. В этом случае постоянная плотность вероятности равномер но распределенных параметров U в формулах (15.1.21) и (15.1.25) сокращается, а / (и) представляет собой плотность вероятности одних только случайных параметров U. Таким образом, изложен ный метод применим и в том случае, когда некоторые из парамет-
§ 15.1. ОБЩ ИЙ М ЕТО Д О П Р Е Д Е Л Е Н И Я О П ТИ М А ЛЬН О Й СИСТЕМ Ы 619
ров Uu • • •> UN (или все) являются неслучайными величинами, которые могут иметь любые значения. При этом / (и) в (15.1.25), (15.1.26) и (15.1.28) следует понимать как плотность вероятности тех параметров U, которые являются случайными величинами. Если все параметры Ui, . . ., UN являются неслучайными вели чинами, которые могут принимать любые значения, то / (и) = 1 .
П р и м е р 15.1.1. Во многих задачах практики, в частности в задачах радиолокации, возникает необходимость определения фазы синусоидального сигнала, который принимается совместно с помехой. В таких случаях вход ной сигнал выражается формулой
|
Z «) = Ui sin (cat + |
U2) + X (t), |
(15.1.39) |
где Ui — амплитуда полезного сигнала, |
случайная |
вследствие различных |
физических |
явлений, например флуктуаций отраженного от цели |
сигнала |
в задачах радиолокации, U2 — неизвестная фаза, которую можно |
считать |
случайной |
величиной, равномерно распределенной |
в пределах |
периода |
—я •< и2 < |
я. Найдем оптимальную систему измерения фазы Uz по критерию |
минимума вероятности того, что ошибка превзойдет по абсолютной величине некоторую данную величину а, предполагая, что случайные амплитуда Ut и фаза Uz полезного сигнала независимы, а помеха X (t) представляет собой нормально распределенный белый шум интенсивности к, независимый
от Ui и Uz.
Для решения поставленной задачи можно применить изложенный метод. В этом случае требуемый выходной сигнал W представляет собой неизве
стную фазу Uz, а функция потерь |
определяется формулой (13.2.8): |
0 |
при |
(15.1.40) |
I (W, И™) = { |
при |
1 |
W* — W |> o . |
Решение интегрального уравнения (15.1.30) в данном случае может быть
найдено по формуле |
(14.1.4), которая дает |
|
|
|
|
g(t, |
т, |
и )= — <р(т, и) = |
Ui |
sin (CüT-(-U2). |
(15.1.41) |
Следовательно, |
в данном |
случае |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
j |
g (t, T, u) Z (t) dx = |
^ |
Z (t) sin (cot + u2) dx |
(15.1.42) |
t-т |
|
|
|
t - T |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
ß(H )= |
j |
g(t, T, m)<p (t , |
u )d T = -^ - |
J sinZfüjT+uz) dx. |
|
|
t - T |
|
|
|
t - T |
|
Полагая интервал наблюдения T кратным полупериоду колебаний сигна |
ла я /to, получим |
после |
интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
ß(u)=- 3 r - |
|
(15Л,43) |
Подставляя это выражение и выражение (15.1.42) в (15.1.28), принимая во внимание (15.1.40) и учитывая, что в данном случае W = Uz, W* = J7J,
