ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 331
Скачиваний: 15
620 Г Л . |
15. |
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е |
О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х |
СИСТЕМ |
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
Р (Z, U%) = M[l(U2, Uf)\Z] = P ( \ t/f—U2I > |
а I Z) = |
|
|||||
к (Z) |
|
и*-с |
t |
|
|
||
] * ( - ! ) [ j |
ехр { “^Г j 2 (T) sin (шт+“г) d-z—- ^ - j du2 + |
||||||
2 л |
|||||||
|
Jl |
|
I |
t - T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
j |
exp I - у - |
j Z |
(t) sin (от-f- u 2) |
d x -----j d u 2 J d u u |
(15.1.44) |
|
U * + a |
|
t - T |
|
|
|
||
где h ( щ ) — плотность вероятности амплитуды полезного сигнала, представ ляющей собой существенно положительную случайную величину, вследствие чего h (щ) = 0 при uj < 0. Дифференцируя выражение (15.1.44) по і / | и при
равнивая результат нулю, получаем уравнение для определения оптимальной оценки фазы U
сю t
~ Ш * = ~ 2п |
j |
h{Ui) [ ехр { і Г |
( Z(x)sin(<öX + I l t - a ) d x ----- - |
|
2 |
0 |
t - T |
|
|
|
|
t |
|
|
— exp |
|
j Z (t) sin (coT + |
C/f-l-a) d x — ^ - j J d u ^ O . |
(15.1.45) |
t - T
Заметим теперь, что при любой плотности вероятности h ( щ ) интеграл
ОО
9(Tl)= j h (ui)exp |- у - т і ---- |
~£і г } duі |
(15.1.46) |
о
является монотонно возрастающей функцией параметра г), так как при воз растании т] подынтегральная функция при всех значениях щ увеличивается. Следовательно, значения интеграла (15.1.46) при двух значениях тц, г)2 пара метра т] равны друг другу, q (%) = q (т]2), тогда и только тогда, когда % = ц2. Поэтому из (15.1.45) следует уравнение
t |
t |
J |
Z (t) sin (coT + C/f — a) dx= ^ Z (t) sin ((OT-f-I/f + a) dt. (15.1.47) |
t - T |
t - T |
Решая это уравнение, находим оптимальную оценку фазы U$:
t
£ Z (т) cos от di
t g U % = - ^ ------------------- |
• |
(15.1.48) |
J Z (т) sin сот dt
t - T
Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что при X (0= 0 формула (15.1.48) дает оценку фазы, совпадающую с истинной фазой U2. При X (і) Ф 0 оценка фазы {/£, определяемая формулой (15.1.48), является случайной величиной и вероятность ее совпадения с истинной фазой равна нулю. Однако в этом случае формула (15.1.48) обеспечивает определение фазы сигнала с минимальной вероятностью ошибки, превосходящей а .
Найденную оптимальную систему измерения фазы легко реализовать практически. Она состоит из устройства, в котором принимаемый сигнал
622 Г Л . IS. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
§ 15.2. Определение оптимальной системы в случае линейной зависимости входной функции от параметров сигнала
Оператор оптимальной системы легко находится в явной форме в случае, когда содержащийся во входном сигнале Z, (t) полезный сигнал линейно зависит от параметров Uu . . ., UN:
N |
|
<р(і, U)= S t/r<Pr(f). |
(15.2.1) |
В этом случае решение интегрального уравнения (15.1.30) также линейно зависит от параметров ць . . ., u N:
|
|
g (t, т, и) = |
N |
|
|
|
|
|
2 |
urg<r>(*, т), |
(15.2.2) |
||
|
|
|
|
Г—1 |
|
|
где |
|
g<r>(t, т) (г = 1, . . ., N) — весовые функции, определяемые |
||||
интегральными уравнениями |
|
|
|
|||
J* |
Kx (x,o)gir>(t,x)dx = q>r(o)(t — |
г = 1, |
(15.2.3) |
|||
t - T |
|
|
|
|
|
|
Эти |
уравнения совпадают |
с уравнениями (13.6.2). |
|
|||
ны |
Подставляя выражение |
(15.2.1), в котором случайные величи |
||||
|
Ui, . . ., Uу заменены |
их |
возможными значениями |
и1( . . . |
||
. . ., |
u N, и выражение (15.2.2) |
в (15.1.27), получим |
|
|||
|
|
ß (и) = |
N |
bpqUpUq, |
|
|
|
|
2 |
(15.2.4) |
|||
Р, 9=1
где величины bpq определяются формулой (13.6.6). Подставляя выражение (15.2.1) в (15.1.13), получим
N t N
av (U)= |
2 |
Ur-щ- j аѵ(т)фг (т)гіт= 2 C^rOvr, (15.2.5) |
||
|
Т—1 |
Ѵ |
t - T |
r= 1 |
где а ѵг — величины, |
определяемые |
формулой (14.6.14). |
||
Подставляя в (15.1.23) выражение (15.2.5), в котором случайные |
||||
величины U1 , . . |
., |
U у |
заменены |
их возможными значениями |
Мі, . . ., и у, и сравнивая полученное выражение |
с (15.2.2), полу |
|||
чим для |
весовых функций |
ga) (t, |
т), . . ., |
(t, т) формулы |
(14.6.14), |
выведенные в § |
14.6 |
методом канонических раз |
|
ложений. |
|
|
|
|
§ 15,2. СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ВХОДНОЙ ФУНКЦИИ 6 2 3
На основании (15.2.2) и (15.2.4) выражение (15.1.28) прини мает вид
оооо
Р ( z , W*) = |
х (Z) |
j ... j I (ф (t, uu |
.. ., uN), W*)f(uu |
. . . , u N)X |
N |
t |
|
N |
|
X exp I 2 |
U T j |
g(r) (t, T) Z (t ) dx —Y |
2 bpqUpUqI dUi |
. . . duN. |
r = l |
t - T |
|
p, 9=1 |
|
(15.2.6)
Рассмотрим интеграл
оооо
I (*, X , Ль • • •> ЛлО = j |
• . . j |
Цфр.И!, ... ,UN), %)f(uu |
. . . ,uN) X |
— оо |
—00 |
|
|
N |
|
N |
|
X exp 1 2 ЛгИг- - ~2 2 bpqUpUqj dUj . . . du,tf. |
(15.2.7) |
||
Г=1 |
P, |
9 = 1 |
|
Этот интеграл является функцией параметров х. Лі» • • |
Ллг и вре- |
||
мени t. Рассматривая его как функцию величины х при фикси рованных t, rjj, . . ., т]pf, мы можем найти значение Хо перемен ной %, при котором интеграл (15.2.7) достигает наименьшего зна чения:
I (t, Хо, Ли • • |
•, ЛлгХ / (*, |
Х> Ль • • |
Tijv). |
|
|
Очевидно, что величина Хо зависит от значений величин t, |
тр, . . . |
||||
. . ., Цдг, т. е. является |
определенной |
функцией |
t, |
. |
. ., |
Хо = |
Хо (*, Ль • • |
•, Ліѵ)- |
|
|
(15.2.8) |
Интеграл в (15.2.6) отличается от интеграла (15.2.7) только тем, что вместо Х> Л ь • • •, Ллг в (15.2.6) входят соответственно вели чины
1 |
1 |
W , j g^(t,x)Z(x)dx, . . . , |
j gW>(f,T)Z(T)dT. |
t - T |
t - T |
Поэтому величина (15.2.6) при каждой данной реализации случай ной функции Z (т) будет иметь наименьшее возможное значение, если определить W* формулой
W*W = Xo(<, j g{1)(t, x)Z(x)dx, |
J g*-N)(t, x)Z(x)dx} . |
t-т |
t - T |
|
(15.2.9) |
Эта формула дает явное выражение оператора оптимальной системы.
