ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 340
Скачиваний: 15
120 |
ГЛ . 3. Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л ЕМ ЕН ТЫ А ВТО М А ТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ |
Подставляя выражение і из первого уравнения во второе, получим дифференциальное уравнение цепочки:
Тивых + ивых = ивх, Т — RC, |
(3.11.6) |
и ее передаточную функцию:
= |
(ЗЛ1-7) |
Таким образом, цепочка RC, изображенная на рис. 3.11.2, является апериодическим звеном (см. приложение 1). Написав формулу
(3.11.7) в виде
ф(*) = - г ^ , -7T-+ S
убеждаемся в том, что при достаточно большой постоянной времени Т передаточная функция цепочки RC близка к переда
точной функции идеального интегратора 1 Is, |
умноженной на ИТ. |
||||||
Вследствие |
этого цепочку RC, собранную по схеме рис. 3.11.2, |
||||||
Rj |
|
обычно называют интегрирующей. |
ли |
||||
|
В случае, |
когда требуется |
получить |
||||
|
|
нейную комбинацию сигнала и его производ |
|||||
^ 1 |
3Г |
ной, можно |
применить |
цепь, состоящую из |
|||
С |
конденсатора |
и двух |
сопротивлений, |
изо |
|||
1 |
|||||||
Ъ Lj" |
браженную на рис. 3.11.3. |
Для этой |
цепи |
||||
имеем |
|
|
|
|
R 2h Нвх — Пс-|-Пвыу,
Рис. 3.11.3. |
R p t иС1 = |
|
! c hi
Исключая из этих уравнений і, ис, іс, іи получим дифференциаль ное уравнение цепи
|
* |
х и в ых |
= к |
* |
|
R |
(3.11.8) |
|
к ъ и в ы |
(%ивх-\-и в х ) , |
к = ~щ~^-щ" 1 т = R \ C |
||||
и |
ее передаточную |
функцию |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ф « = 4 |
Т Т Ш - |
|
Если сопротивление і? 2 |
достаточно мало по сравнению с R lf то ве |
||||||
личина к |
будет |
малой |
и выходной сигнал цепи будет |
близок |
|||
к |
к(ивх + |
тевх), |
т. |
е. |
к линейной комбинации входного сигнала |
и его производной. Обычно берут к от 0,1 до 0,3. Подбором величин Ri и С можно обеспечить заданное значение отношения 1/т коэф фициентов при входном сигнале и его производной. Что касается
§ 3.11. Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л ЬН Ы Е П РЕО БРА ЗО В А ТЕ Л И |
121 |
абсолютных величин этих коэффициентов, то их можно сделать любыми, соединив выход цепи, изображенной на рис. 3.11.3, с электронным усилителем с соответствующим коэффициентом
усиления.
Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что цепочки, составленные из одного омического сопротивления
|
|
Рис. 3.11.4. |
Рис. 3.11.5. |
R и одной индуктивности L, изображенные на рис. 3.11.4 и 3.11.5, |
|||
при |
L!R = |
Т равноценны цепочкам |
RC, представленным на |
рис. |
3.11.1 |
и 3.11.2 соответственно. |
|
Кроме пассивных электрических цепей, в качестве функцио нальных преобразователей в системах управления часто исполь зуются активные цепи с электронными усилителями. Эти цепи
Рис. 3.11.6. Рис. 3.11.7.
называются активными потому, что они используют не только энергию входного сигнала, но и энергию источников питания усилителей. Примеры активных цепей с усилителями даны на рис. 3.11.6 и 3.11.7.
При определении динамических характеристик активных цепей можно считать входные сопротивления усилителей достаточно большими, чтобы токи, ответвляемые в усилители, были пренеб режимо малыми по сравнению с токами во внешних цепях. Тогда, имея в виду, что, согласно изложенному в § 3.9 (рис. 3.9.1), ниж ний входной провод и нижний выходной провод усилителя на рис. 3.11.6 и 3.11.7 имеют одинаковый потенциал, для определения динамических характеристик активного функционального преоб разователя достаточно будет, как и в случае пассивных цепей, написать вытекающие из основных законов электротехники соот ношения для всех его внешних электрических цепей.
Применим изложенные общие правила к функциональному преобразователю с электронным усилителем, схема которого
122 |
г л . 3. |
Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л ЕМ ЕН ТЫ |
АВТО М А ТИ ЧЕСКИ Х |
СИСТЕМ |
|
представлена |
на рис. 3.11.6. |
Для |
этого преобразователя |
||
|
ивх + ис+ Ri = ивых, |
ивых = — к(ивх + Ri), |
Cuc — i. |
Исключая из этих уравнений ис и і, получим дифференциальное уравнение преобразователя:
(1 + -дг) RCuBUX-j- ивых= — ивх. |
(3.11.10) |
В случае усилителя с очень большим коэффициентом усиления к членами с коэффициентом 1/к можно пренебречь. Тогда уравнение
(3.11.10) примет вид
•1
WßblX = |
ßQ ^ВХ? |
(3.11.11) |
т. е. выходной сигнал функционального преобразователя будет пропорционален интегралу от входного сигнала.
Аналогично для активной цепи с электронным усилителем, соб ранной по схеме рис. 3.11.7, имеем
ивх -(- ис-f- R і = иБЫХ, ивых = |
к (ивx-f-^c), Сис = і. |
Исключая из этих уравнений і и ис, получим дифференциальное уравнение цепи:
-к'+ 7?Сивых -Г нвых = |
RCuBX. |
(3.11.12) |
При очень большом коэффициенте усиления к в уравнении (3.11.12) можно пренебречь первым членом и единицей в знаменателе правой части. Тогда уравнение (3.11.12) примет вид
иВЫх = — RCuBX, |
(3.11.13) |
т. е. выходной сигнал цепи будет пропорционален производной входного сигнала.
Таким образом, усилитель постоянного тока с очень большим коэффициентом усиления, включенный по схеме рис. 3.11.6, является интегрирующим, а такой же усилитель, включенный по схеме рис. 3.11.7, является дифференцирующим. Такие усили тели постоянного тока, называемые обычно операционными, широ ко применяются в моделирующих устройствах.
Функциональные преобразователи на переменном токе приме няются редко. Чаще всего производится предварительное преоб разование переменного тока в постоянный, функциональное преобразование сигнала на постоянном токе, а затем, если необ ходимо, обратное преобразование постоянного тока в переменный.
Аналогично можно построить нестационарные функциональ ные преобразователи, используя переменные сопротивления, емкости и индуктивности. Для составления дифференциальных
§ 3.11. Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л ЬН Ы Е П РЕ О БРА ЗО В А Т Е Л И |
123 |
уравнений электрической цепи с переменными сопротивлениями, емкостями и индуктивностями достаточно применить ко всем
элементам |
цепи |
основные |
законы |
электротехники, |
учитывая, |
|||
что ток і и напряжение и в переменной емко |
|
|
||||||
сти С и |
индуктивности L связаны соответ |
'Mt) |
||||||
ственно уравнениями |
|
|
|
|||||
|
■ |
d(Cu) |
___ d (Li) |
щ |
Ugx |
M W |
||
|
l = - |
dt |
U ■ |
dt |
|
|
|
|
которыми следует в этом случае пользо |
|
|
||||||
ваться вместо |
второго |
и |
третьего |
уравне- |
lJac. 3.11.8. |
ний (3.11.1).
На рис. 3.11.8 показана пассивная цепь с переменными сопро
тивлением и емкостью. Для этой |
цепи |
справедливы уравнения |
и ьх — i R “Ь ис, ивых — ^c» |
i — ^c» |
— Чі Ч — С и с. |
Исключая из этих уравнений і, і с, ис, д, получим дифференциальное уравнение нестационарной цепи:
RCuBUX"Ь {RC 1 ) цВых= wbx- |
(3.11.15) |
Для определения весовой функции этой нестационарной цепи следует на вход ее подать единичный импульс, т. е. заменить вход ное напряжение ивх единичной импульсной функцией б (t — т). Тогда получим для весовой функции g (t, т) уравнение
RCg't (t, т) + (RC + 1) g (t, т) = б (t - т). |
(3.11.16) |
Искомая весовая функция g(t, т) представляет собой интеграл дифференциального уравнения (3.11.16), равный нулю при всех т < t. Легко проверить непосредственной подстановкой, что этот интеграл выражается формулой *)
f |
0 |
при |
t < |
т, |
8 (*’ Т) ~~ 1 |
/ (t) Ф (т) |
при |
t > |
(3.11.17) |
т, |
||||
где |
|
|
|
|
/ ( о = ехр { - |
j |
d t} . |
|
|
|
|
|
|
(3.11.18) |
'PM = T f(!jW eXP { І Т Г |
1“) |
|||
|
|
<0 |
|
|
Формулы (3.11.17) и (3.11.18) определяют весовую функцию нестационарной цепи при известных законах изменения величин
*) Формула (3.11.17) является частным случаем формулы (4.4.30), которая будет выведена в примере 4.4.1.
124 |
ГЛ . 3. Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы АВТО М А ТИ ЧЕСК И Х СИСТЕМ |
С и R со временем. Однако на практике часто возникает обратная задача. Весовая функция нестационарного линейного функцио нального преобразователя задается в форме (3.11.17) и требуется определить законы изменения сопротивления R и емкости С. Для решения этой задачи положим во второй формуле (3.11.18) t = т, после чего прологарифмируем формулы (3.11.І8) и продифферен цируем полученные равенства. Тогда получим дифференциальные уравнения первого порядка для R я С, которые легко интегри руются и в результате дают
<
л = фТö exp ( j f Оі) т ft) dTi } ’
|
*0 |
(3.11.19) |
|
t |
|
C ~ аГЩеХР { —( /0і)ф0і)*і} , |
|
|
|
to |
|
где а — произвольная |
постоянная. |
|
Формулы (3.11.19) определяют закон изменения (программу) |
||
сопротивления и емкости нестационарной цепи (рис. |
3.11.8) по |
|
данным функциям f(t) |
и ф(t). |
|
§3.12. Импульсные линейные элементы
В§ 1.6 было отмечено, что в технике находят широкое приме нение дискретные (импульсные) системы управления. Характерной
и
особенностью таких систем является наличие импульсных эле ментов. Импульсным называется такой элемент, который преобра зует непрерывный входной сигнал в последовательность кратко временных импульсов.
Линейный импульсный элемент осуществляет амплитудную модуляцию, т. е. преобразует непрерывный входной сигнал в после
§ 3.12. И М П У Л ЬС Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л ЕМ ЕН ТЫ |
125 |
довательность импульсов, амплитуды которых пропорциональны значениям входного сигнала в дискретные моменты времени. При этом форма импульсов может быть различной, например
прямоугольной или треугольной.
На рис. 3.12.1 показан линейный импульсный элемент с элек тронной лампой. На управляющую сетку лампы поступает перио дическая последовательность прямоугольных импульсов одина ковой амплитуды и (пТп). На экранирующую сетку лампы наряду
Щх
Рис. 3.12.2.
с постоянным напряжением, обеспечивающим необходимый режим работы лампы, подается напряжение uBX(t), являющееся входным сигналом. Импульсы, действующие на управляющую сетку, перио дически отпирают и запирают лампу. Величина анодного тока открытой лампы определяется величиной входного сигнала
uBX(t), приложенного к экрани рующей сетке. Таким образом, на сопротивлении нагрузки будет получаться выходное напряжение ивых(пТп), пред ставляющее собой последова тельность импульсов, ампли туды которых пропорциональны значениям входного сигнала в дискретные моменты вре мени t = nTn.
На рис. 3.12.2 приведена схе ма другого линейного импульс
ного элемента, называемого фиксатором. Фиксатор предназначен для преобразования непрерывного входного сигнала uBX(t) в после довательность прямоугольных импульсов или в ступенчатую функ цию. Этот элемент фиксирует значения входного сигнала в дис кретные моменты t — пТп и «помнит» каждое значение в течение периода Тп. Ключ К замыкается на короткий промежуток вре мени с клеммой 1, а затем с клеммой 2. В момент замыкания ключа с клеммой 1 с конденсатора сбрасывается заряд, при замыкании ключа с клеммой 2 конденсатор заряжается до текущего значения