Файл: Основы автоматического управления..pdf

130 ГЛ . 3. Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А В ТО М А ТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ

При наличии момента нагрузки скорость вращения якоря замед­ ляется до такой величины, которая необходима для создания вра­ щающего момента, равного моменту нагрузки. Разность QM— Q называется скольжением асинхронного двигателя. При постоян­ ном моменте нагрузки скольжение постоянно и скорость враще­ ния якоря также постоянна. Для изменения направления враще­ ния ротора достаточно изменить фазу управляющего напряже­ ния на 180°.

Намагничивающая сила вращающегося ротора взаимодей­ ствует с намагничивающей силой статора так же, как намагни­

ми индексами, можем написать следующее выражение магнитного

где, в дополнение к стандартным обозначениям, і1р — ток в пер­ вой фазе эквивалентной обмотки ротора, R M— магнитное сопро­ тивление в цепи магнитного потока. Аналогичной формулой опре­ деляется магнитный поток, создаваемый обмоткой управления и эквивалентной обмоткой ротора:

ф■ру— js , (3.14.2)

где г2р — ток во второй фазе эквивалентной обмотки ротора.

Подставляя сюда выражения потоков (3.14.1) и (3.14.2), получим

где М = WpWc/RM— коэффициент взаимной индукции.

132 ГЛ . 3. Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А ВТО М А ТИ ЧЕСК И Х СИСТЕМ

параметрами. К элементам с распределенными параметрами можно также отнести различные линии задержки.

Строго говоря, почти все реальные элементы, входящие в со­ став систем автоматического управления, также представляют собою элементы с распределенными параметрами. Но в подавляю­ щем большинстве случаев реальный элемент можно с достаточной степенью точности заменить упрощенной моделью — системой с сосредоточенными параметрами и идеальными линиями связи,

вкоторых отсутствуют потери энергии и запаздывание при прохож­ дении сигналов. Такая замена дает возможность определить дина­ мические характеристики элемента с достаточной точностью лишь

втом случае, когда эквивалентное сопротивление всех линий связи достаточно мало по сравнению с эквивалентным сопротивлением соединяемых ими деталей. Все перечисленные выше элементы характерны тем, что они представляют собой чистые линии связи, у которых распределение параметров вдоль линии существенно влияет на их динамические свойства. Подобные элементы, так же как и элементы, у которых параметры распределены непрерывно вдоль поверхности или по объему, необходимо рассматривать как системы с распределенными параметрами.

Проводные линии связи, кабели, фидеры, волноводы и линии задержки представляют собой различные типы так называемых длинных линий и описываются одними и теми же уравнениями. Поэтому мы будем определять динамические характеристики длинной линии независимо от ее конкретной технической реали­

зации.

Всякая длинная линия характеризуется следующими распре­ деленными по ее длине параметрами: активным сопротивлением, индуктивностью, емкостью и активной проводимостью между проводами линии, обусловленной наличием определенного конеч­ ного омического сопротивления их изоляции и промежутка между ними. В общем случае эти параметры могут быть распределены по длине линии неравномерно. Такие линии называются неодно­ родными. Если перечисленные параметры распределены вдоль линии равномерно, то линия называется однородной. На практике в подавляющем большинстве случаев применяются только одно­

родные длинные линии.

Обозначим через R, L, С и G соответственно омическое сопро­ тивление, индуктивность, емкость и межпроводную проводимость единицы длины однородной линии. Напряжение и ток в каждом сечении линии будут функциями времени t и координаты сечения х: и = и (t, х), і = і (t, х). Условимся считать, что началу линии соот­ ветствует X = 0, а концу — X = I, где I — полная длина линии.

Для составления системы дифференциальных уравнений, опи­ сывающих длинную линию, представим ее бесконечно малый отрезок длины dx упрощенной моделью, изображенной на

рис. 3.15.1. Изменение напряжения между проводами линии от сечения х до сечения x-\-dx произойдет из-за падения напряжения на активном сопротивлении R dx и на индуктивности L dx от резка dx:

u(t, x-\-dx) — u(t, x)= — iRdx — L^j-dx.

Изменение тока, протекающего в линии между теми же сечениями,

Рис. 3.15.1.

вызывается утечкой тока через проводимость Gdx и током заряда емкости С dx:

і(t, х + dx) — i (t, x) — — Gu dx — C — dx.

Сдругой стороны, с точностью до бесконечно малых второго по­ рядка

Сократив уравнения (3.1S.1) и (3.15.2) на dx, получим систему двух линейных дифференциальных уравнений в частных произ­ водных, описывающую процесс в длинной линии при действии на ее входе любого напряжения и при произвольной нагрузке на ее конце (выходе):

134 Г Л . 3. Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А ВТО М А ТИ ЧЕСК И Х СИСТЕМ

Время t нѳ входит явно в уравнения однородной линии (3.15.3). Поэтому процесс в ней при одном и том же входном напряжении протекает всегда одинаково, независимо от момента его начала. Это означает, что длинная линия представляет собой стационар­ ную линейную систему. Следовательно, ее динамические свойства полностью определяются ее передаточной функцией Ф(в). Для определения передаточной функции Ф (s) приложим ко входу ли­ нии напряжение, изменяющееся по показательному закону u(t, 0) = est, и будем искать решение системы уравнений (3.15.3) в виде

где ф (s, х) и ф (s, х) — некоторые неизвестные функции, не завися­ щие от времени. При этом учтем граничные условия в начале и конце линии:

Второе граничное условие выбрано из соображения, что длин­ ные линии, применяющиеся в системах автоматического управле­ ния, обычно нагружены или чистым омическим сопротивлением, или последовательным соединением омического и индуктивного сопротивлений.

Подставляя выражения и (t, х), i (t, х) из (3.15.4) в уравнения (3.15.3), после сокращения на est получаем для определения функций ф (s, х) и ф (s, х) уравнения

Эти уравнения образуют систему двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от параметра s. Применяя обычный метод интегриро­ вания систем линейных уравнений с постоянными коэффициен­ тами, составляем характеристическое уравнение:

—к — (R + Ls)

—(G + Cs) — к