Файл: Основы автоматического управления..pdf

по определению взаимно обратных систем входному сигналу у второй системы соответствует сигнал х на ее выходе. Следова­ тельно, при изменении порядка соединения систем входному сиг­ налу у полученного соединения будет соответствовать его вы­ ходной сигнал, также равный у, что и доказывает высказанное утверждение.

§ 4.2. Весовые функции соединений

Для исследования линейных систем важно уметь определять весовые функции сложных систем по данным весовым функциям входящих в их состав систем. Для этого достаточно научиться

выходная переменная будет представлять собой ее весовую функ­

При этом выходная переменная второй системы согласно общей

Здесь переменную интегрирования мы обозначили буквой а, так как буквой т в данном случае обозначен момент действия на систему единичного импульса б(t — т). Но выходная перемен­ ная второй системы в данном случае представляет собой и вы­ ходную переменную всего последовательного соединения рас­ сматриваемых систем, т. е. весовую функцию полученной в результате соединения системы:

Сравнивая эту формулу с (4.2.2), получаем следующую формулу

152 ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

для весовой функции последовательного соединения двух линей­ ных систем:

функция в (4.2.4) равна нулю при всех о. Таким образом, мы приходим к выводу,, что последовательное соединение физически возможных систем всегда дает физически возможную систему. Согласно принятому в § 2.2 условию пределы интегрирования в формуле (4.2.5) всегда включаются в интервал интегрирования.

Применяя формулы (4.2.4) и (4.2.5) последовательно, можно найти весовую функцию системы, полученной в результате после­ довательного соединения любого числа линейных систем.

Заметим, что результат последовательного соединения линей­ ных систем в общем случае зависит от порядка их соединения. Действительно, меняя местами соединяемые системы на рис. 4.2.1, мы должны будем поменять местами и весовые функции и g2 в формуле (4.2.4). В результате весовая функция последователь­ ного соединения двух систем будет

Это выражение в общем случае не совпадает с (4.2.4). Читатель легко может в этом убедиться на примере последовательного сое­ динения усилителя с переменным коэффициентом усиления и ин­ тегратора. Только в отдельных частных случаях выражение (4.2.6) тождественно совпадает с (4.2.4). В § 4.6 мы увидим, что таким важным частным случаем является случай стационарных линей­

ных систем.

Рассмотрим теперь параллельное соединение линейных систем, имеющих известные весовые функции gi и g2 (рис. 4.2.2). Для определения весовой функции g(t, т) сложной системы, полученной в результате соединения, найдем ее реакцию на единичный импульс 8(t — т). Имея в виду, что при подаче на входы соединяе­

мых систем единичного импульса б (t— т) их выходные перемен­ ные равны соответствующим весовым функциям gi(t, т) и g2(t, т), получаем

Таким образом, при параллельном соединении линейных систем

g(t, т), будем обозначать символом

g~{t, т). Весовая функция последовательного соединения взаимно обратных систем равна 8(t — т). С другой стороны, весовую функ­ цию последовательного соединения можно вычислить, применяя общую формулу (4.2.4). В результате получим

—оо

Это соотношение представляет собой основное свойство весовых функций взаимно обратных линейных систем. Изменяя порядок соединения систем, получим

Iдругое соотношение:

ff(Г j---- оо

ных систем удовлетворяют двум интегральным соотношениям,

которые в общем случае друг с дрУг0М не совпадают.^ Для физически возможных взаимно обратных линейных систем

Весовую функцию g(t, т) системы с обратной связью, изобра­ женной на рис. 4.2.4, можно определить тем же стандартным приемом, что и в предыдущих случаях, проследив прохождение через систему единичного импульса. Но такой путь сравнительно

сложен и приводит к интегральному уравнению относительно искомой весовой функции g(t, т). Значительно проще находится весовая функция обратной системы. Легко видеть, что системой, обратной по отношению к системе с обратной связью, является параллельное соединение системы, обратной по отношению к си­ стеме, стоящей в прямой цепи, и системы, стоящей в цепи обрат­ ной связи (рис. 4.2.5). Действительно, обозначив входное возму­ щение рассматриваемой системы через х, выходную переменную

через у, а выходную переменную систе­ мы в цепи обратной связи через z, видим, что входной переменной системы

- Щ в прямой цепи будет х—z, а ее вы­ ходной переменной будет у. Приподаче на вход параллельного сое­ динения систем с весовыми функциями

Эта формула определяет весовую функцию линейной системы, обратной по отношению к системе с обратной связью, изображен­ ной на рис. 4.2.4.

Рассмотрим, в частности, безынерционный усилитель с обрат­ ной связью (рис. 4.2.6). Так как системой, обратной по отношению

к усилителю с коэффициентом усиления к, очевидно, является усилитель с коэффициентом усиления 1/к, то формула (4.2.12) дает для весовой функции обратной системы

Таким образом, систему, обратную по отношению к данной линейной системе с весовой функцией gz(t, т), можно приближенно реализовать, включив данную систему в цепь обратной связи усилителя с большим коэффициентом усиления.

§ 4.3. Определение весовых функций методом сопряженных систем

ноге определения ее реакции на единичный импульс. Пода­ вая на вход системы единич­ ный импульс 8(t—т) или мо­ делируя действие единичного импульса на входе системы, мы получим на выходе весо­ вую функцию системы в за­ висимости от первого аргу­ мента t при данном фиксированнмо значении момента по­ дачи единичного импульса т. Для полного определения та­ ким способом весовой функ­ ции как функции двух пере­ менных необходимо опреде­ лить реакции системы на еди­ ничные импульсы, действую­ щие в различные моменты т. При этом мы определим по­

верхность, изображающую весовую .функцию системы, ее сече­ ниями, параллельными оси t (рис. 4.3.1).