ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 355
Скачиваний: 15
§ 4.3. М ЕТОД С О П РЯ Ж Е Н Н Ы Х СИСТЕМ |
161 |
аргументы t ц т в формуле (4.2.7), приходим к выводу, что систе мой, сопряженной с параллельным соединением линейных систем, является параллельное соединение соответствующих сопряжен ных систем (рис. 4.3.4).
Рассмотрим последовательное соединение двух взаимно обрат ных систем (рис. 4.3.5). Согласно выведенному правилу сопря женная система представляет
Рис. 4.3.4. |
Рис. 4.3.5. |
тельном соединении двух взаимно обратных систем получается идеальная следящая система, которая является самосопряженной.
г) |
в) |
Рис. 4.3.6.
Следовательно, системы, сопряженные с двумя взаимно обрат ными системами, также являются взаимно обратными. Матема тически это можно записать в виде формулы:
(Г)* =(8 *)~- |
(4.3.12) |
Рассмотрим теперь систему с весовой функцией gi, охваченную отрицательной обратной связью, в цепь которой включена система с весовой функцией g2 (рис. 4.3.6, а). Для нахождения сопряжен ной системы применим следующий прием. Построим сначала обратную систему, которая по доказанному в предыдущем параг-
11 Под ред. В. С. Пугачева
162 ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
рафе представляет собой параллельное соединение систем с весо выми функциями gl и gz (рис. 4.3.6, б). Системой, сопряженной с этой обратной системой, будет на основании полученных резуль татов параллельное соединение соответствующих сопряженных систем (рис. 4.3.6, е). Система, обратная по отношению к этому параллельному соединению, будет сопряженной с исходной систе мой вследствие формулы (4.3.12). Но система, изображенная на рис. 4.3.6, в, отличается от системы, изображенной на рис. 4.3.6, б, только тем, что все элементарные системы заменены соответствую щими сопряженными. Следовательно, и система, сопряженная с данной системой, получается простой заменой в данной системе всех входящих в нее систем соответствующими сопряженными системами (рис. 4.3.6, г).
Таким образом, система, сопряженная с системой с обратной связью, получается из основной системы путем замены составляю щих ее систем соответствующими сопряженными системами. При этом, изображая сопряженные системы с обратным направле нием прохождения сигналов, как это сделано на рис. 4.3.3, 4.3.4, 4.3.5 и 4.3.6, мы должны будем заменить точку разветвления сумматором и наоборот.
На основании изложенного можно дать следующую сводку правил построения сопряженных систем:
1.При моделировании сопряженной системы в отрицательном времени все элементарные звенья (усилители, дифференциаторы, интеграторы, форсирующие, апериодические, колебательные и запаздывающие звенья), а также все стационарные системы сохра няют свои функции. Все прочие линейные звенья заменяются соответствующими сопряженными.
2.Направление всех связей на структурной схеме изменяется на противоположное. При этом точки разветвления заменяются сумматорами, а сумматоры — точками разветвления.
Эти правила дают возможность весьма просто и быстро нахо дить сопряженные системы для любых систем, составленных из идеальных систем, осуществляющих основные операции анализа,
истационарных систем. А именно необходимо наложить на струк турную схему данной системы лист прозрачной бумаги, перерисо вать на него все системы, входящие в состав данной системы, заме нить сумматоры точками разветвления и наоборот, а направление всех связей заменить противоположным. В результате получим структурную схему сопряженной системы *).
*) Эти правила нахождения сопряженных систем были впервые выве дены для частного случая систем, состоящих из конечного числа идеальных интеграторов, усилителей и сумматоров, Лэнингом и Бэттином. Для про извольных линейных систем эти правила были установлены А. В. Солодовым [66] и Н. М. Сотским, получившими их независимо друг от друга различными методами.
§ 4 . 3 . М ЕТОД СО П РЯ Ж ЕН Н Ы Х СИСТЕМ |
163 |
Итак, для определения весовой функции данной линейной системы в зависимости от второго аргумента т при фиксирован ном значении первого аргумента t следует построить структурную схему этой системы и, пользуясь выведенными правилами, постро ить структурную схему соответствующей сопряженной системы. Найденную таким образом сопряженную систему следует модели ровать в обратном времени, начиная с интересующего нас момента t, моделируя при этом действие на систему в момент t единичного импульса. При этом все стационарные звенья исследуемой системы останутся в сопряженной системе неизменными. Это дает возмож ность включать в схему моделирования сопряженной системы реальные стационарные звенья, входящие в состав исследуемой системы.
П р и м е р 4.3.1. Найти систему, сопряженную с системой, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением
а-гУ + 0.1 У + а0у — х. |
(4.3.13) |
Составим для этой системы схему моделирования, после чего найдем струк турную схему сопряженной системы, пользуясь выведенными правилами.
Легко проверить, что уравнению (4.3.13) соответствует структурная схема системы, изображенная на рис. 4.3.7, где треугольниками обозначены инте граторы, а кружочками—безынерционные усилители (блоки коэффициентов) и сумматоры. Согласно сформулированным выше общим правилам чертим те же элементарные звенья, которые входят в состав рассматриваемой систе мы: два интегратора и три блока коэффициентов, сумматоры заменяем точ ками разветвления, а точки разветвления — сумматорами; направление всех связей изменяем на обратное. В результате получим схему моделирования сопряженной системы, изображенную на рис. 4.3.8.
Для составления дифференциального уравнения сопряженной системы обозначим через и отрицательное время: и = —t, через 'Q— выходную переменную первого интегратора и через со — выходную переменную второго интегратора. Тогда из схемы рис. 4.3.8 будут следовать уравнения
dt, r |
da» |
-о1Д |
_ 0) |
|
Ж = 5 - вот>- |
* Г |
а2 |
||
|
Дифференцируя второе уравнение по и и заменяя в полученном равенстве dtjdu и со их выражениями из остальных двух уравнений, исключим
11*
164 |
ГЛ . 4. |
С Т Р У К Т У Р Н Ы Е |
СХЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х |
СИСТЕМ |
переменные £ и |
ш и в результате получим уравнение |
|
||
|
|
- J ^ ( “2P) + |
- ^ ( « i1l) + ao11=£* |
(4.3.14) |
Это и есть уравнение, связывающее входную и выходную переменные сопря женной системы при моделировании ее в отрицательном времени. Переходя
к натуральному |
времени, получим уравнение сопряженнойсистемы в виде |
||
|
-^-(ягЛ) — |
і )+аоЧ = і. |
(4.3.15) |
§ 4.4. Линейная система, |
описываемая одним |
|
|
|
дифференциальным уравнением |
|
|
Применим |
изложенную в предыдущихпараграфах |
общую |
|
теорию линейных систем к часто встречающемуся на практике случаю, когда поведение физически возможной системы описы вается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением *)
п т
2 |
= 2 Ъкхт |
(4.4.1) |
й= 0 |
ft= 0 |
|
или, в развернутом виде,
апУ(П) + вп-1г/<п"1) + ••• + аіУ' + «оУ =
= Ътх<т >+ Ъп^ т-ь + ... + Ъ,х' + box.] (4.4.2)
Коэффициенты этого уравнения а0, at, ..., ап и b0, bit ..., Ът в об щем случае могут быть произвольными функциями времени.
Вдальнейшем нам будет удобно записывать уравнение (4.4.1)
всокращенном виде:
Fy = Нх, |
(4.4.3) |
где через F и Н обозначены линейные дифференциальные опера торы:
пга
F = ’% a hD \ h=0
H = Y > b hDh. |
(4.4.4) |
h—0 |
|
Эти операторы представляют собой полиномы относительно опера тора дифференцирования по времени D = dldt, в общем случае с переменными коэффициентами.
Очевидно, что система, описываемая дифференциальным урав нением (4.4.3), представляет собой последовательное соединение двух линейных систем: системы, осуществляющей линейную дифференциальную операцию Н над входным возмущением х и
*) Естественно, что поведение линейной системы может описываться только линейными уравнениями, так как принцип суперпозиции применим только к линейным уравнениям.
§ 4.4. СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ ОДНИМ У РА ВН ЕН И ЕМ |
165 |
дающей на выходе функцию |
|
хі = Нх, |
(4.4.5) |
и системы, описываемой линейным дифференциальным урав нением
Fy = Хі. |
(4.4.6) |
Определив весовые функции этих двух систем, мы можем найти весовую функцию системы, описываемой уравнением (4.4.3), по формуле (4.2.4).
Для определения весовой функции системы, осуществляющей линейную дифференциальную операцию Н над входным возму щением, достаточно заменить в уравнении этой системы (4.4.5)
входное возмущение х единичным импульсом б(< — т). Тогда получим для весовой функции h(t, т) этой системы формулу
h(t, т) = H tb(t—x), |
(4.4.7) |
где индекс t у оператора Н указывает, что все коэффициенты этого оператора рассматриваются как функции t и дифференцирование осуществляется по переменной t при фиксированном т. Подставляя в формулу (4.4.7) выражение (4.4.4) оператора Н, получим развер нутую формулу для весовой функции h(t, т):
т |
|
h (t, т) = 2 bk (t) 6(h) (< — т). |
(4.4.8) |
ft=0 |
|
Для определения сопряженной системы воспользуемся выведен ными в предыдущем параграфе общими правилами нахождения сопряженных систем. Для этого начертим структурную схему системы, осуществляющей над входным возмущением линейную дифференциальную операцию Н (рис. 4.4.1). Сопряженная система получится, если мы заменим дифференцирующие звенья звеньями, выполняющими дифференцирование по отрицательному времени, сумматор — точкой разветвления и наоборот и изменим направ ление всех связей на обратное. Полученная в результате схема сопряженной системы представлена на рис. 4.4.2. Связь между
166 ГЛ 4 С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
выходной переменной т] этой системы и ее входной переменной как следует из рис. 4.4.2, имеет вид
т
ч - 2 <-*>*-£<*»!)• |
(4.4.9) |
h= 0 |
|
Линейный дифференциальный оператор |
|
h=0 |
(4.4.10) |
|
где точкой заменена входная функция, над которой этот оператор действует, называется сопряженным с оператором Н. При помощи сопряженного оператора уравнение (4.4.9) перепишется в виде
т] = Я*£. |
(4.4.11) |
Для определения весовой функции g(t,i) системы, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением (4.4.6), заменим входное возмущение x t этой системы единичным импульсом 6(г — т). Тогда получим для весовой функции g(t, т) уравнение
Fig(t, т) = 6(* - т), |
(4.4.12) |
где, как и раньше, индекс t у оператора F означает, что все коэф фициенты этого оператора рассматриваются как функции t и диф ференцирование производится по переменной t при фиксирован ном т. Подставляя в (4.4.12) выражение (4.4.4) оператора F, можно представить дифференциальное уравнение (4.4.12) в раз вернутом виде:
2 1 ak (t)gf)(t,T) = Ö(t-%). |
(4.4.13) |
h=О |
|
Это уравнение представляет собой обыкновенное линейное диф ференциальное уравнение, определяющее весовую функцию рас сматриваемой системы как функцию первого аргумента t при фиксированном значении второго аргумента т. Весовая функция g(t, т) определяется как интеграл уравнения (4.4.12), равный, нулю при всех t <; т.
Покажем теперь, что б-функцию в правой части уравнения (4.4.12) или (4.4.13) можно заменить соответствующими началь ными условиями. Для этого заметим, что единичный импульс в пра вой части уравнения (4.4.12) вводит б-функцию б(£—т) в старший член уравнения an(t) gtm) (t, т), что равноценно слагаемому
1
ап (т) б (t — т)
