Файл: Основы автоматического управления..pdf

произвольное возмущение в один определенный момент времени t необходимо знать весовую функцию системы как функцию второго аргумента т при фиксированном значении первого аргумента, т. е. как функцию момента действия на систему единичного импуль­ са т при фиксированном рассматриваемом моменте времени t. Иными словами, для вычисления реакции линейной системы на произвольное возмущение в момент времени t необходимо знать одно сечение поверхности, изображающей весовую функцию систе­ мы, параллельное оси т (рис. 4.3.1). Это сечение можно, конечно, приближенно определить, если найти достаточно большое число

сечений поверхности, параллельных оси t. Однако во многих задачах практики нас интересует лишь конечный момент работы системы, т. е. результат работы системы в один определенный момент времени. В подобных случаях для вычисления по формуле (2.2.3) достаточно знать только одно сечение поверхности, изобра­ жающей весовую функцию, параллельное оси т. Для приближен­ ного определения этого сечения по точкам путем непосредствен­ ного моделирования действия на систему единичного импульса необходимо многократно производить моделирование для различ­ ных значений момента действия импульса т, и при этом каждое моделирование дает лишь одну точку интересующего нас сечения поверхности, изображающей весовую функцию. Чтобы избежать многократного моделирования данной системы при определении ее весовой функции, естественно попытаться заменить данную систему другой системой, имеющей ту же весовую функцию, но с измененными ролями аргументов. Иными словами, заменить данную систему такой системой, для которой весовая функция изображается той же поверхностью, что и весовая функция дан­ ной системы, но оси координат меняются местами: ось t становится осью т, и наоборот (рис. 4.3.2). Если такую систему можно найти,

то, давая на ее вход единичный импульс, мы получим на выходе сечение поверхности весовой функции основной системы, парал­ лельное оси т. Таким образом, основная идея заключается в том, чтобы в весовой функции поменять роли аргументов, заменить данную систему такой системой, которая имеет ту же весовую функцию, но с измененными ролями аргументов. Тогда первый аргумент стал бы играть роль момента подачи импульса, а второй — роль текущего момента времени и мы могли бы определить необхо­ димое сечение поверхности, изображающей весовую функцию данной системы, параллельное оси т, одним моделированием дейст­ вия единичного импульса на некоторую другую линейную систему.

Линейная система, весовая функция которой совпадает с весовой функцией данной линейной системы при изменении ролей аргумен­ тов t и т, называется системой, сопряженной с данной линейной системой. Иначе это можно сформулировать так: линейная систе­ ма, весовая функция которой получается из весовой функции данной линейной системы перестановкой аргументов, называется системой, сопряженной с данной линейной системой.

Весовые функции сопряженных систем мы будем отмечать звездочкой в виде верхнего индекса. Таким образом, если дан­ ная линейная система имеет весовую функцию g(t, т), то весовая функция сопряженной системы будет g*(t, т). В этом обозначении первый аргумент, как всегда, представляет собой текущее время, а второй — момент действия единичного импульса. Согласно определению сопряженной системы

взаимно сопряженных систем изображаются одной и той же поверхностью в координатах, различающихся обозначением осей t и т (рис. 4.3.2).

Очевидно, что система, сопряженная с физически возможной системой, является физически невозможной системой. На первый взгляд это кажется серьезным затруднением. Однако это затруд­ нение легко преодолевается. Действительно, вследствие условия (2.2.4) физической возможности данной системы сопряженная система в каждый данный момент t должна реагировать только на возмущения, которые следуют за данным моментом t, и не может реагировать на предшествующие возмущения. Если изме­ нить направление течения времени на обратное (реверсировать время), то понятия «предшествующий» и «последующий» поме­ няются местами и сопряженная система станет физически воз­ можной. Следовательно, сопряженную систему можно моделиро­ вать, изменив направление отсчета времени, т. е. моделируя отрицательное время натуральным физическим временем. Это обстоятельство делает метод сопряженных систем исключительно

цательном времени, можно получить как раз то сечение весовой функции данной системы, которое необходимо для расчетов по формуле (2.2.3).

Для практического применения метода сопряженных систем необходимо уметь находить системы, сопряженные с данными. Для этого достаточно, во-первых, научиться определять системы, сопряженные с некоторыми элементарными системами, во-вторых, научиться находить системы, сопряженные с системами, полу­ ченными из элементарных систем путем различных соединений.

Найдем сначала системы, сопряженные с элементарными звенья­ ми. Будем по-прежнему обозначать входной сигнал системы бук­ вой X , а выходной сигнал — буквой у. Входную переменную сопряженной системы будем обозначать буквой £, а выходную —

буквой Т].

1. Усилителъ с коэффициентом усиления k(t) имеет весовую функцию gy (t, т) = k(t)8(t — т) (формула (2.2.9)). Согласно опре­ делению (4.3.1) весовая функция сопряженной системы опреде­ лится формулой

g* (<. т) = gy (т, t) = k (т) б (т —*)■

Поскольку 6-функция равна нулю при t ф т, можно заменить к(т) на k{t), ничего не изменяя. Тогда, принимая во внимание четность б-функции, получим

Таким образом, системой, сопряженной с усилителем, является тот же усилитель. Иными словами, усилитель представляет собой самосопряженную систему. В частности, идеальная следящая систе­ ма, представляющая собой усилитель с к — 1, является само­

Рассмотрим соотношение между входной и выходной перемен­

Таким образом, операцией, сопряженной с операцией дифферен­ цирования по времени, является дифференцирование по отрица­ тельному времени. Или иначе: системой, сопряженной с идеаль­ ным дифференциатором, является система, производящая диффе­ ренцирование по отріщательному времени. При моделировании сопряженной системы в отрицательном времени систему, сопряженную с дифференциатором, следует моделировать тем же дифференциатором.

3. Интегратор имеет в качестве весовой функции единичную ступенчатую функцию, 1(£ —т). Следовательно, сопряженная система имеет весовую функцию

Рассмотрим связь между входной и выходной переменными этой системы. На основании общей формулы (2.2.3) имеем

ОО 0 0 о о

так как единичная ступенчатая функция равна нулю при отри­ цательном аргументе и единице при положительном аргументе. После замены переменной интегрирования т-= —о (4.3.7) примет

вид

-(

— о о

Эта формула показывает, что операцией, сопряженной с интегриро­ ванием по времени, является интегрирование по отрицательному времени. Таким образом, при моделировании в отрицательном времени интегратор в сопряженной системе сохраняет свою роль.

4. Запаздывающее звено с временем запаздывания- I имеет весовую функцию g3 (t, т) = 8(t — т — I) (формула (2.2.8)). Весовая функция сопряженной системы на основании (4.3.1) определяется формулой

Сравнение этой формулы с (2.2.7) показывает, что запаздывающее звено п экстраполятор с тем же параметром I являются взаимно сопряженными системами. При моделировании сопряженной системы в отрицательном времени запаздывающие звенья и экстраполяторы сохраняют свою роль.

Таким образом, при моделировании сопряженных систем в отрицательном времени усилители, дифференциаторы, интегра­ торы и запаздывающие звенья сохраняют свои роли, т. е. усили­ тели моделируются усилителями, дифференциаторы — диф-

при моделировании сопряженной системы при обратном течении времени остаются неизменными. Действительно, пусть g{t, т) = = w(t — т) — весовая функция стационарной линейной системы. Весовой функцией соответствующей сопряженной системы будет, согласно определению, g* (t, т) = w(х— t). Для моделирования сопряженной системы в отрицательном времени необходимо сде­

фициентами усиления сохраняют свою роль, т. е. моделируются теми же самыми звеньями. При этом, само собой разумеется, все переменные коэффициенты усиления следует программиро­ вать в отрицательном времени.

Найдем теперь систему, сопряженную с последовательным соединением двух систем, имеющих весовые функции gt и g% (рис. 4.3.3). Весовая функция последовательного соединения выражается через весовые функции соединяемых систем форму­ лой (4.2.4). Весовая функция сопряженной системы, по опреде­

Сравнивая эту формулу с (4.2.4), приходим к заключению, что системой, сопряженной с последовательным соединением линей­ ных систем, является последовательное соединение соответствую­ щих сопряженных систем, взятых в обратном порядке (рис. 4.3.3).

При параллельном соединении линейных систем, как мы ви­ дели, их весовые функции суммируются. Поэтому, переставляя