ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 361
Скачиваний: 15
§ 4.4. СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ О Д Н И М У РА В Н ЕН И Е М |
167 |
|||||||
в выражении п-й производной весовой функции g\m (t, |
т). Этому |
|||||||
слагаемому |
соответствует |
скачкообразное |
изменение |
п — 1-й |
||||
производной |
gtn~v (t, т) при t = |
т на величину 1/а„(т). |
При этом |
|||||
производные gT~^ (t, т), ..., |
g\(t, |
т) |
и сама функция g(t, т) оста |
|||||
ются непрерывными в точке < = |
т. А так как при t «< т функция |
|||||||
g(t, т) тождественно равна |
нулю |
в |
силу |
условия физической |
||||
возможности, |
то |
функции |
g(t, т), |
g't(t, т), |
..., gtn~2'(t, |
т) равны |
||
нулю при t = т. |
Функция gtn_1)(f, т) |
также равна нулю при всех |
||||||
t < т. Следовательно, при t |
= т она скачком изменяется от нуля |
|||||||
до 1/ап(т) вследствие действия на рассматриваемую систему еди
ничного импульса б(t — т).
Изложенное показывает, что весовую функцию рассматривае мой системы можно определить как интеграл однородного линей
ного |
дифференциального уравнения |
|
|
|
|||
|
|
Ftg(t, |
т) = |
0, |
|
|
(4.4.14) |
удовлетворяющий начальным |
условиям |
|
|
|
|||
|
g (т, т) = |
g't(x, т) = |
. . . = |
g(tn~2>(т, |
т) = О, |
(4.4.15) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
а п (т) |
’ |
|
J |
где |
для краткости |
положено |
|
_ Г dkg (t, т) 1 |
|
||
|
|
|
|
(4.4.16) |
|||
|
|
|
|
L |
dtk |
Jf=T* |
|
Таким образом, действие единичного импульса на линейную систему, описываемую дифференциальным уравнением (4.4.6), можно моделировать начальными условиями (4.4.15) в точке t = = т, и все трудности, связанные с непосредственным вводом в систему единичного импульса, отпадают.
Для нахождения системы, сопряженной с системой, поведение которой описывается уравнением (4.4.6), достаточно заметить, что эта система является обратной по отношению к системе, осущест вляющей над входным возмущением линейную дифференциаль ную операцию F. Системой, сопряженной с этой обратной систе мой, по доказанному выше является система, осуществляющая над входной переменной сопряженную линейную дифференциаль
ную операцию F*: |
|
П |
|
F * = % { - i ) h^ (а,-). |
(4.4.17) |
й=0 |
|
Переходя к обратной системе, приходим к заключению, что системой, сопряженной с описываемой уравнением (4.4.6), является система, поведение которой описывается линейным
168 |
гл, 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х |
СИСТЕМ |
дифференциальным уравнением |
(4.4.18) |
|
|
^*т)=£. |
|
Это уравнение на основании формулы (4.4.17) может быть пере писано в развернутом виде:
П |
|
S ( - l ) ft^ s (a k4) = É. |
(4.4.19) |
ь=о |
|
Уравнение (4.4.18) или (4.4.19) называется в теории дифферен циальных уравнений сопряженным с уравнением (4.4.6).
Для определения весовой функции сопряженной системы достаточно заменить в уравнении (4.4.18) входную переменную | единичным импульсом б(£ — т). Тогда получим для весовой функ ции сопряженной системы уравнение
Т) = 6 ( г - Т ) . |
(4.4.20) |
Поменяв здесь местами аргументы t и т, можно после этого заменить весовую функцию £*(т, t) сопряженной системы весовой функцией g(t, т) основной системы. Тогда весовая функция g(t, т) основной системы, как функция второго аргумента т при фикси рованном значении t, определится дифференциальным уравнением
F%g(t, т) = 6 (* -т ), |
(4.4.21) |
где индекс т указывает, что все коэффициенты оператора F рас сматриваются как функции т и дифференцирование производится по переменной т при фиксированном значении t. На основании формулы (4.4.17) уравнение (4.4.21) может быть переписано в раз
вернутом виде следующим образом:
П
2 |
(*)*(*, т)] = 6 (* -т ). |
(4.4.22) |
ь=о |
|
|
Это уравнение представляет собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение относительно весовой функции g(t, т), рассматриваемой как функция т при фиксированном зна чении t. Поэтому мы и пишем производные по т как обыкновен ные производные, а t рассматриваем как параметр, имеющий
данное |
фиксированное значение. |
||
Импульсную б-функцию в правой части уравнения (4.4.22) |
|||
также |
можно заменить соответствующими условиями в точке |
||
т = t. |
Для этого заметим, что если принять за независимую пере |
||
менную — т, то |
старшим |
членом в уравнении (4.4.22) будет |
|
ап(т) |
dP-. ■g{t,i). Следовательно, действие единичного импульса |
||
а\ |
х)п |
изложенному выше равноценно скачкообраз- |
|
8 (t — т) согласно |
|||
ному |
изменению |
п — 1л -и- |
производной” d n ~lyn_i g(t,и т)\ в точке |
§ 4.4. СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ ОДНИМ У РА В Н ЕН И Е М |
169 |
Т = t на - і - . Поэтому, учитывая, что при т > t функция g(t, т)
ап \ Ч
ивсе ее производные равны нулю, приходим к заключению, что действие единичного импульса на сопряженную систему равноценно скачкообразному изменению п — 1-й производной g™~1) (t, т) от нуля до (— 1)п_1/'ап(і), когда т переходит через точку t, убывая, а производные g?~2)(t, т), ..., g'x (t, т) и сама весовая функция g(t, т) непрерывны и равны нулю при т = t. Таким образом, весовая функция g(t, т), рассматриваемая как функция т при фиксиро ванном t, представляет собой интеграл однородного линейного
дифференциального |
уравнения| |
|
|
|
|
||
|
|
F%g{t, |
т)= 0 , |
|
|
(4.4.23) |
|
удовлетворяющий |
условиям |
|
|
|
|
|
|
g(t, t) = gx(t, |
t)= ... |
|
|
t)= 0, 1 |
|
||
|
„ ( n - i ) o |
t ) _ І Т І І Г І |
’ |
f |
(4 A 2 4 > |
||
|
gx |
V’ |
ч - |
an (t) |
j |
|
|
где, как и раньше, положено |
|
|
|
|
|
||
«?> ('• <) = lg ? (<. |
|
|
|
<4-4-25> |
|||
Перейдем к определению весовой функции w(t, т) системы, поведение которой описывается уравнением (4.4.3). Как уже было сказано, эта система представляет собой последовательное соеди-
Рис. 4.4.3. |
Рис. 4.4.4. |
дифференциальную |
операцию Н, и системы, описываемой |
дифференциальным уравнением (4.4.6). На рис. 4.4.3 эта вторая система обозначена F~. Согласно результатам предыдущего параг рафа сопряженная система представляет собой последовательное соединение системы, описываемой дифференциальным уравне нием (4.4.18), и системы, осуществляющей линейную дифферен циальную операцию Н* (рис. 4.4.3). Изменяя роли аргументов t и т и подавая на вход сопряженной системы единичный импульс, мы получим на выходе первой системы весовую функцию g(t, т), рассматриваемую как функция т при фиксированном t, а на выходе всего последовательного соединения — весовую функцию w(t, т) системы, описываемой уравнением (4.4.3), рассматриваемую как функция т при фиксированном t (рис. 4.4.4). Следовательно,
w(t x)=H*g(t,x). |
(4.4.26) |
170 |
Г Л . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
|
Подставляя сюда выражение (4.4.10) оператора Н*, получим
771 |
|
w (t, т) = 2 ( '- О* [bfc W * (*, t)l. |
(4.4.27) |
ь=о |
|
Заметим, что формулу (4.4.27) можно получить и непосредст венно применением формулы (4.2.4) для весовой функции после довательного соединения двух линейных систем. В результате, принимая во внимание (4.4.8), полупим
оо |
т |
оо |
V) (і, т) = j g(t, |
o)h(a, %) d a = y |
j g(t, a) bk (a) ö(h) (a — r) da. |
—oo |
k= Q |
—oo |
|
|
(4.4.28) |
Отсюда, применяя формулу (2.1.10), получаем формулу (4.4.27).
П р и м е р 4.4.1. Найти весовую функцию линейной системы, поведение которой описывается уравнением
«1 (О У+ «о (О У = X. |
(4.4.29) |
Согласно изложенному весовая функция рассматриваемой системы опре деляется как интеграл однородного линейного дифференциального уравнения
ot (<) g't (t, т) + a0 (г) g(t, т) = О,
удовлетворяющий условию
е(х, х)=-
а і (т ) '
Легко проверить, что этот интеграл выражается формулой
g ( t , т) = |
|
|
|
t |
|
1 |
|
Г |
Г а 0 ( о ) |
|
|
а і (т) |
ехр |
|
|
(4.4.30) |
Эту весовую функцию можно также рассматривать как функцию второго аргумента т при фиксированном t и определить как интеграл сопряженного линейного дифференциального уравненияl
lai т)Н -а0 (т)g(t, т) = 0,
удовлетворяющий условию
1 g(t, t) ai(f)
Весовая функция обратной системы получится, если в уравнении (4.4.29) рассматривать у как входную переменную, а х как выходную переменную
и |
заменить входную переменную |
у единичным импульсом б (t |
— т): |
|
g- (t, т) = аі (t) б' |
(t — т) + a0 (i) 6 (t — т). |
(4.4.31) |
at |
В частном случае постоянных коэффициентов а0 и а„, полагая |
а0 = 1/к, |
|
— Т/к, приведем уравнение (4.4.29) к обычному виду уравнения апериоди |
|||
ческого эвена: |
+ у = к х . |
(4.4.32) |
|
|
Т у |
||
|
|
||
