ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 359
Скачиваний: 15
§ 4.4. СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ ОДНИМ У РА В Н ЕН И Е М |
171 |
|
Формула (4.4.30) примет в этом случае |
вид |
|
|
t-т |
|
Я(*,т) = А . " |
Т . |
(4.4.33) |
Формула (4.4.31) для весовой функции обратной системы, которая представ
ляет собой форсирующее звено |
первого порядка, примет вид |
||||
|
g-(t, т) = -1 |
[ Г б '(« -т ) + |
б (1 -т)]. |
(4.4.34) |
|
П р и м е р 4.4.2. Найти весовую функцию системы, |
поведение которой |
||||
описывается линейным дифференциальным уравнением |
|
||||
|
у + 2ау + |
Ъ2у = keyt (х |
+ |
Ъх), |
(4.4.35) |
где а, Ъ, |
к и у — некоторые постоянные, 0 < |
а < |
Ь. Найти также весовую |
||
функцию |
обратной системы. |
|
|
|
|
Согласно изложенной теории находим сначала весовую функцию g ( t , т) системы, уравнение которой получается заменой всей правой части уравне ния (4.4.35) возмущением xt:
у + 2ау + Ъ2у = хі.
Эта весовая функция может быть определена как интеграл однородного
уравнения
g"t (f, т) + 2ag[ (t, т) + b2g (г, т) = 0,
удовлетворяющий условиям g (т, т) = 0, g't (т, т) = 1.
Этот интеграл находится обычным способом интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В результате,
полагая со0 = ~\/Ь2 — а2, получим
g ( t , Т) = _‘С ? .(<Г Т) [е < м о ( < - т ) _ е - ш о « - т ) ,
или, в действительной форме, |
|
g (<, т ) = — e“ a<*“ T>sin й)0 (< — т). |
(4.4.36) |
Що |
|
Эти формулы определяют весовую функцию колебательного звена. |
|
Для определения весовой функции w (г, т) системы, |
поведение которой |
описывается уравнением (4.4.35), применим формулу (4.4.27). В результате получим
w(t, |
x ) = , - k - L [ ey^g(t,x)] + kbefx g(t, т) = |
= |
^ — e - at+ a^ l ( b - a i + i coo) ex<0°(f ~ т> — (Ь— a t — і щ ) e - i« o ( t - T ) ]t (4.4 .37) |
|
äICOq |
где at = а -г у.
Для определения весовой функции обратной системы будем рассматри вать у в уравнении (4.4.35), как входное возмущение, a t — как выходную переменную и применим тот же метод. Сначала находим весовую функцию Р (і, т) упрощенной системы, уравнение которой получится, если в уравне нии (4.4.35) заменить всю левую часть одним возмущением у,:
кеУ1х + кЬеУ1х =
Это уравнение представляет собой частный случай уравнения (4.4.29), когда
172 |
Г Л . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
а0 («) = kbe{t,at (t) = keyt. Поэтому для определения весовой функции р (t, т) можно воспользоваться формулой (4.4.30). В результате получим
р (г, т) = - ^ е “ м+<ь- ^ т. |
(4.4.38) |
К |
|
Для определения весовой функции w~ (/, т) системы, обратной по отно шению к описываемой уравнением (4.4.35), воспользуемся формулой (4.4.27). Тогда получим
W- (t, %)= px (t, т)—2ар^ (f, т) + Ь2р (t, т). |
(4.4.39) |
При вычислении производных функции р (t, т) необходимо учесть, что фор мула (4.4.38) определяет ее только при t ^ т, а при t < т она тождественно равна нулю. Тогда получим
P'(t, т ) = - іеьі- ^ [ е<ь-ѵ>4 (г —т)]=
= |
е - ы + ф - ѵ)т! (, _ т)_ 1 в-Ы+(Ь-7)т f (г_ т). |
к |
к |
Учитывая, что б (t — т) = 0 при всех т Ф t, можно заменить в последнем слагаемом множитель ѵ>т величиной Ѵ)*, так как эт0 ничег0 не изме нит. В результате получим
P' (t, T)= b z L e-bt+(b-v)rl{t_ x)_ l _ e-yt6{t_ T)
Дифференцируя эту формулу по т, получим |
|
|
P'x (t, т )= (Ь~ Т)2 е-ь ж ь -у )т 1(<_ т)_ |
е-ѵ<б(г_ |
т) + _1 e-v* в' (*—X). |
Подставляя полученные выражения р'х |
т) и рт (*> |
т) в (4.4.39), после |
элементарных преобразований найдем следующее окончательное выражение
весовой функции w~ (г, т) |
при t ^ т: |
|
|
u)-(f, т) = 26(5---------------— о) — У£---------------(2Ъ |
2а |
у) е ы+(Ь-ч)т+і |
|
+ -Г |
[(2а—Ь + у) б (г— т)+ б' (1 — т)]. (4.4.40 |
||
К |
|
|
|
Применим теперь изложенную теорию к стационарным систе |
|||
мам. В этом случае по |
доказанному в § |
2.5 все коэффициенты |
|
а0, аи ..., ап, Ь0, Ъи ...,, |
Ът операторов F |
и Н постоянны. При |
этом удобно в явной форме показывать, что операторы F и Н являются полиномами относительно оператора дифференцирова
ния по времени D = d/dt, и писать, как в § 2.5, F(D) |
и H(D) |
вместо F и Н. Тогда уравнение (4.4.3) примет вид |
|
F(D)y = H{D)x. |
(4.4.41) |
Вследствие постоянства коэффициентов Ь0, Ъи ..., Ът формула (4.4.10) дает следующее выражение линейного дифференциального оператора, сопряженного с оператором Н :
т |
т |
H*(D)l= 2 |
( - 1 )hDk (bhl)= 2 bh( - D ) hl. (4.4.42) |
й=0 |
ft=o |
§ 4.4. СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ ОДНИМ У РА В Н ЕН И Е М |
173 |
Сравнивая эту формулу со второй формулой (4.4.4), |
приходим |
к выводу, что |
|
H*{D) = H {-D ). |
(4.4.43) |
Таким образом, для нахождения оператора, сопряженного с ли нейным дифференциальным оператором с постоянными коэф фициентами, достаточно изменить знаки всех коэффициентов перед производными нечетных порядков.
Найдем весовую функцию w(t — т) стационарной линейной системы, поведение которой описывается уравнением (4.4.41). Сначала найдем весовую функцию g(t — т) упрощенной системы, уравнение которой получится, если заменить в уравнении (4.4.41) правую часть возмущением Х\. На основании изложенной теории для этого достаточно найти интеграл уравнения (4.4.14), удов летворяющий условиям (4.4.15). Уравнение (4.4.14) в данном случае представляет собой уравнение с постоянными коэффи циентами:
F d |
) s ( t - ' ) |
= 0- |
(4-4.44) |
Пусть Ѵі, ..., ѵп — корни |
полинома |
F(v), |
которые мы для про |
стоты будем предполагать все различными, предоставляя читателю
самостоятельно рассмотреть случай кратных корней. |
Тогда общий |
интеграл уравнения (4.4.44) выразится формулой |
|
g(t — т) = ctevi‘-f с2еѴ2І + ... + cneV . |
(4.4.45) |
Для нахождения частного интеграла, удовлетворяющего усло виям (4.4.15), подставим выражение (4.4.45) в (4.4.15). Тогда получим следующие уравнения для определения постоянных
*"1 > • • • > с п •
сібѵіТ + с2еѵзТ+ .. . + спеѴпХ —О, c1v1evlT-f c2v2eV2T + . . . + cnvneVnX= О,
(4.4.46)
C iv"~2e vlT + |
с 2ѵ Г 2еѵаТ+ |
. . . + |
c nv l |
= |
c i v ? - ‘ e v i t + |
c2V2_ 1 eV2T+ |
. . . + |
c nVn_ 1 e VnT = - . |
Для решения этой системы уравнений умножим предпоследнее уравнение на ѵп и вычтем из последнего. Этим мы исключим из последнего уравнения неизвестную сп. И вообще, если мы вычтем по очереди из каждого последующего уравнения предыдущее, умноженное на ѵп, то мы исключим сп из всех уравнений, начиная со второго. В результате получим следующую систему п — 1
174 ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
уравнений:
Ci ('Vi— v„) еѵіТ + c2 (v2 — vn) ew + . . . + c„_j (v„_, — v„) ev«-‘T= 0,
с1 (v4— vn) Vjev»T+ c2 (v2 — vn) v2evat + ...
• . • + |
cn_! (v„_i — v n) ѵп_!еѵ« -іт = |
0 , |
Ci(vi — v„) v"~2ev‘T-j- c2 (v2 — v„) v2 |
V *T+ . .. |
|
•. • + |
Cn-i (v„-i — vn) \n-\eVn~iX= |
иП . |
Вычитая из каждого последующего уравнения, начиная с послед него, предыдущее уравнение, умноженное на ѵп-і, мы исключим из полученных уравнений величину сп_іПри этом в коэффициен
тах при неизвестных си |
с 2, ..., сп_2 появятся соответственно |
дополнительные множители |
vt — vn_t, v2 — vn_j, ..., v„_2 —vn_t. |
Продолжая этот процесс, мы по очереди исключим все неизвестные
сп, сп_і, |
сп_2 , |
. .. , с 2 и получим в результате одно уравнение с одной |
||||
неизвестной с4: |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
сі (vj — vn) (Vj— Vn-i) •. • (vi — v3) (v, — v2) eViT = — . |
|
||||
|
|
|
|
un |
|
|
Решая |
это |
уравнение, |
находим |
|
||
|
|
Ci |
|
.-Ѵ іТ |
|
|
|
|
a n (V1 |
Vn) (Vj v n _ 1) . . . (vt — Vo |
|
||
Ho |
|
|
|
|||
an(vi — vn)(v! — vn_j) ... (vt — v2) = F'(Vi). |
(4.4.47) |
|||||
|
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно разложить полином
F(v) на |
множители, продифференцировать |
полученное |
выраже |
ние по |
V и после этого положить ѵ = ѵ4. |
Пользуясь |
формулой |
(4.4.47), |
можем переписать полученную для |
формулу в виде |
е - ѵ іт
Cl “ F’ (vj) •
А так как уравнения (4.4.46) совершенно симметричны относи тельно неизвестных си . .. , сп, то из полученной формулы выте
кает следующая общая формула |
для |
коэффициентов |
'Cj, . .. , сп: |
|
е-ѵгт |
|
. . . , п). |
(4.4.48) |
|
сг “ Г ( ѵ г) |
(г = 1, |
|||
Подставляя выражение (4.4.48) в (4.4.45), получим |
|
|||
П |
1 evKt-T)_ |
(4.4.4Ѳ) |
||
|r(f_T) = 2 |
||||
F’ (vr) |
|
|
§ 4.4. СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ ОДНИМ У РА В Н Е Н И Е М |
175 |
Для нахождения весовой функции w(t — т) системы, описываеемой уравнением (4.4.41), воспользуемся формулой (4.4.26). Тогда, принимая во внимание (4.4.43), получим
И < - . ) = я ( — £ ) * < < - т ) = 3 |
(4-4.50) |
Т—і |
|
При пользовании формулами (4.4.49) и (4.4.50) следует иметь
ввиду, что при тѣ<У п они определяют весовые функции g(t — т)
иw(t — т) только при £>т, а при t <у т эти весовые функции равны нулю. Если ттг>п, то формула (4.4.50) выражает w(t — т) только при t > т. Чтобы определить w(t — т) и при t = т, в этом
случае |
необходимо добавить линейную комбинацию функций |
б(t — т), |
б'(t — т),..., б'"-”1’ (t — т) с соответственно определен |
ными коэффициентами. Для нахождения этих коэффициентов достаточно применить общую формулу (4.4.27), выполнив в ней дифференцирования с учетом разрывов дифференцируемых функ ций, как это сделано в примере 4.4.2.
|
|
П р и м е р |
4.4.3. Найти по формуле (4.4.49) весовую функцию колеба |
||||||||||||||
тельного |
звена. |
Подставляя |
в формулу |
(4.4.49) |
выражение |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
F (s) = -^ (s2 + 2as+62) |
|
|
|
|
|||||||
и имея в виду, |
что корни этого |
полинома |
равны |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
V, = |
—а + ісо0, |
ѵ2 = |
—а — ісо0, |
где ш0 = |
У Ь 2 — а2, |
|
||||||||
и что |
|
|
|
|
2ісо0 |
|
|
|
|
2іщ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
F' |
|
|
F ' (v2) = |
— |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(ѵі) = |
|
|
|
ИГ ’ |
|
|
||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g |
(f . |
|
k |
e-o (i-T ) |
rei(00(i-T) |
_ |
e~ |
ішо(і-т), |
= |
|
|
|
|
||||
|
т)' — 2іш0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Это выражение при к = 1 |
|
|
|
|
|
(D0k g-a(t-T) |
s in (O0(t — T). |
(4.4.51) |
|||||||||
совпадает с найденным в примере 4.4.2. Полагая |
|||||||||||||||||
в соответствии с § 2.6 Ъ = |
1/Т, |
|
а = У Т и включая множитель Тг в коэффи |
||||||||||||||
циент к, |
приведем формулу |
(4.4.51) к |
виду |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
к |
|
—ѵ ^ -т) |
|
т/ l — гг |
{ t - т). |
(4.4.52) |
|||||
|
|
|
g ( |
t - т) = -------- т |
= = |
- е |
1 |
sin ѵ \ |
ь |
||||||||
|
|
|
|
|
т Ѵ i - S 2 |
|
|
|
|
|
т |
|
|
||||
|
|
П р и м е р |
4.4.4. |
Найти |
|
весовую функцию |
стационарной линейной |
||||||||||
системы, |
поведение которой описывается |
уравнением |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
у |
а у |
|
+ |
Ь2у = к (х |
|
Ьх), |
|
|
(4.4.53) |
||
где |
6 > |
а > 0. |
Замечая,+ |
что |
|
в |
данном |
случае |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Н (s) = |
к (s + Ъ), |
|
F (s) = |
s2 + 2as + b2, |
|