Файл: Основы автоматического управления..pdf

так как уравнение (4.4.53) получается как частный случай уравнения (4.4.35) при у = 0 .

§ 4.5. Линейная система, описываемая системой дифференциальных уравнений

На практике поведение линейной автоматической системы обычно описывается не одним обыкновенным дифференциальным уравнением, а системой таких уравнений. При этом каждое из уравнений r-го порядка, входящее в систему, можно заменить системой г дифференциальных уравнений первого порядка. Такая замена удобна, например, при решении дифференциальных уравнений на аналоговых или цифровых вычислительных маши­ нах. Таким образом, мы должны рассмотреть методы определе­ ния весовых функций автоматических систем, описываемых систе­ мой дифференциальных уравнений вида

Если автоматическая система описывается уравнениями (4.5.1), то ее можно рассматривать как систему с п входами и п выходами При этом, конечно, не обязательно на все входы должны быть поданы входные сигналы и не обязательно все выходы могут интере­ совать исследователя. Функция хѵ представляет собой входной сигнал на ѵ-м входе, а у^ — выходной сигнал на ц-м выходе.

Покажем прежде всего, каким образом можно заменить одно дифференциальное уравнение r-го порядка системой г дифферен­ циальных уравнений первого порядка, не содержащих производ ных от входного сигнала. Рассмотрим дифференциальное уравнѳ ние

=br. ]xir~v + ... + biX + box (4.5.2)

В этом уравнении коэффициент при старшей производной выход­ ной переменной положен равным единице, что, очевидно, не уменьшает общности, так как если этот коэффициент не равен нулю, то на него можно разделить обе части уравнения. Положим у 1 = у и запишем следующую систему г уравнений первого порядка:

Уі = У2 + Уіх ,

Уг — Уз+ Qzx »

(4.5.3)

У г -2 — У г-1 + Чт-2х і

Ут -і = У т - { - У т - іх ,

У т = — а о У і — а і У г — . . . — а т- і у т+ q Tx ,

где <7v(v = 1, n) — неопределенные пока переменные или постоянные коэффициенты. Определим коэффициенты qv таким образом, чтобы система уравнений (4.5.3) была эквивалентна одному дифференциальному уравнению (4.5.2). Для этого исклю­ чим из уравнений (4.5.3) все переменные, кроме = у. Сначала исключим из последнего уравнения ут. Для этого подставим выра­ жение уг из предпоследнего уравнения (4.5.3) в последнее урав­ нение:

Чтобы исключить переменную уг-і, подставим в (4.5.4) выражение

дем к следующему уравнению, содержащему лишь одну перемен­

12 Под ред. В. С. пУгачева

Левая часть этого уравнения тождественна левой части уравнения (4.5.2). Теперь надо выбрать коэффициенты qv(v — 1, ..., гг) так, чтобы правые части уравнений (4.5.5) и (4.5.2) также совпадали. Для этого следует приравнять коэффициенты при производных входной переменной х одинакового порядка в правых частях (4.5.5) и (4.5.2) и решить полученные уравнения относительно неизвест­

дый последующий коэффициент определяется через предыдущие.

эквивалентной системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Покажем теперь, как определяются весовые функции автомати­ ческой системы, описываемой системой дифференциальных урав­ нений (4.5.1). Так как такая система имеет п входов и п выходов,

то, согласно изложенному в § 2.2, для ее полного описания необ­

При этом весовой функцией ghh (t, т) будет являться переменная на ä;-m выходе системы. Импульсную б-функцию, входящую в h-ю строку системы, можно заменить единичным начальным значе­ нием h-й переменной уи, так как при интегрировании б-функции возникает единичный скачок. Иными словами, для определения весовой функции ghh (t, т) как функции первого аргумента при фиксированном втором надо интегрировать однородную систему дифференциальных уравнений

П

и наблюдать к-ю переменную.

Для определения весовой функции ghh (t, т) как функции вто­ рого аргумента воспользуемся методом сопряженных систем, изложенным в § 4.3. Для простоты рассмотрим сначала систему двух дифференциальных уравнений первого порядка

Уі — а1іУі Н~ а12У2 + хи

(4.5.13)

У2 = О21У1 -Г а22У2 + х2-

Структурная схема такой системы изображена на рис. 4.5.1. Поль­ зуясь правилами, сформулированными в § 4.3, построим сопря­ женную систему (рис. 4.5.2). Как показано в § 4.3, чтобы опре­ делить весовую функцию системы как функцию второго аргумента т, необходимо моделировать сопряженную систему в обрат­ ном времени о = t — т, подав на соответствующий вход единич­ ный импульс б (о). Так, если нас интересует первый’выход систе­ мы, то надо подать б-функцию б (о) на первый вход сопряженной системы. Тогда переменная zt (о) на первом выходе сопряженной системы будет представлять собой весовую функцию gti (t, t — а), связывающую первый вход с первым выходом системы, а z2 (о) — весовую функцию g12 (t, t — а), связывающую второй вход с пер­ вым выходом системы. Если б-функцию б (о) подать на второй вход сопряженной системы, то переменная zx (а) будет представ-

12*