Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 366

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

180

ГЛ . 4. С Т Р У К Т У РН Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

лять собой весовую функцию g2 1 (t, t — о), а z2 (er) — весовую функцию g22 (^, t — а). Естественно, что практически ö-функции на входах сопряженной системы заменяются единичными началь­ ными значениями переменных zt или z2 в зависимости от того, для какого выхода требуется получить весовые функции.

Переходя от структурной схемы сопряженной системы к систе­ ме дифференциальных уравнений в соответствии с рис. 4.5.2, полу­

чаем

dz1

 

.

a21z2t

-fo — allzl +

dzo

=

,

(4.5.14)

 

djjZ! +

a22z2,

где коэффициенты atj рассматриваются как функции переменной а — t — г. На основании изложенного заключаем, что для опре­ деления весовой функции gTh (t, т) (г, h ~ 1, 2), х = t er, необ­ ходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений (4.5.14) при начальных условиях

zr (0) = 1, zft (0) = 0

(к фг).

(4.5.15)

При этом переменная интегрирования а в системе (4.5.14) пробе­ гает значения от 0 до t — t0, в то время как реальное время изме­ няется в обратном направлении от / до t0. Если перейти от обрат­ ного времени о к реальному х = t — о, то уравнения (4.5.14) запишутся в виде

zi — ®llzl — a21z2i

( 4 .5 .1 6 )

2>2 —

^12^1 * ^ 22^ 2 *

§ 4.5.

СИСТЕМА, ОПИСЫ ВАЕМ АЯ СИСТЕМОЙ У РА В Н Е Н И Й

181

а начальные

условия_ (4.5.15) заменятся

граничными

условиями

 

zr (t) = 1,

z h (t)

= 0

(к

ф г ) .

 

(4.5.17)

Система

дифференциальных

уравнений

(4.5.16)

называется

со п р я ж ен н о й

с системой

(4.5.14).

Сравнивая (4.5.14)

и

(4.5.16),

видим, что сопряженная система получается из исходной по сле­ дующим правилам. В исходной системе дифференциальных урав­ нений отбрасываются входные сигналы xh, знаки перед коэффи­ циентами ahi заменяются на обратные, а матрица коэффициентов транспонируется, т. е. коэффициенты, стоящие в к - й строке, заме­ няются коэффициентами, стоящими в к - м столбце.

Покажем, что сопряженная система уравнений, построенная по этим правилам, определяет весовые функции исходной системы как функции второго аргумента и в общем случае, т. е. в случае

системы п дифференциальных уравнений первого порядка.

Систе­

ма, сопряженная с системой (4.5.1), будет иметь вид

 

П

 

 

 

Zfe=— 'Z

a:hZi

(k = l , . . . , n ) .

(4.5.18)

г= 1

 

 

 

Умножим к - е уравнение

(4.5.18)

на g hh (t , т), а к - е

уравне­

ние (4.5.11)

на z h (t ), заменив для удобства дальнейших выкладок

аргумент t на о, и сложим все полученные уравнения:

П

 

 

 

 

 

2 [gkfc ( о ,

т) ±

z h (о) + Zh (о) - L

ghh (ст,

Т )]

=

h—1

 

 

 

 

 

п

п

 

п

п

 

= — 2

2

а ‘Ъ(а ) z i И Shh ( о ,

т) + 2

2

(а ) Zft (а ) 8ih (<П т).

к=і г=і

 

й=і г=1

 

 

 

 

 

(4.5.19)

Так как значения сумм не зависят от того, какой буквой обозна­ чить индексы суммирования, то в одной из двойных сумм в правой части полученной формулы можно поменять обозначения I на к , а к на I. Тогда сразу будет видно, что обе двойные суммы тожде­ ственны п вся правая часть формулы (4.5.19) равна нулю, и мы получим

П

 

 

2

T)zh(o)] = 0.

(4.5.20)

ft=i

Интегрируем полученное равенство в пределах от т до t:

П

2 [ghh(t, T)zh(t) — ghft(T, т) zk (т)] = 0. ( 4 .5 .2 1 )

h=l

182

Г Л . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Имея в виду, что система (4.5.11) интегрируется при начальных условиях (4.5.12), получаем из (4.5.21):

Zh(t)= 2 ghh(t, r)Zk(t).

(4.5.22)

ь=1

 

Теперь видно, что если сопряженную систему уравнений интегри­ ровать при граничных условиях при х = t:

zT(t) = 1, zh (t) = 0 при к ф г ,

(4.5.23)

то будем иметь

Ч (*) = grh (t, т)

(/і = 1 , . . . , re).

(4.5.24)

Итак, мы доказали, что и в общем случае системы п дифферен­ циальных уравнений первого порядка сопряженная система опре­ деляет весовые функции как функции второго аргумента т при фиксированном значении первого аргумента t. Таким образом, для определения весовой функции системы grh (t, т) как функции т необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений

 

П

 

 

 

 

 

 

Щ ~ Х) =

- % a lh (г) gTl(t,x)

(h =

1,

.. . ,

re)

(4.5.25)

 

i=1

 

 

 

 

 

 

при граничных условиях при х =

t:

 

 

 

 

 

grr (t, t)

= 1, gTh (f,

t) = 0,

когда

h

ф г .

 

(4.5.26)

Интегрирование сопряженной системы с заданными граничны­ ми условиями не представляет никаких практических трудно­ стей, так как путем замены переменной интегрирования по фор­ муле X = t — о заданные конечные значения (4.5.23) переменных zj, . . ., zn при X = t заменяются начальными значениями (4.5.15) при а = 0.

П р и м е р 4.5.2. Найти весовые функции gH (г, г) и gi2 (t, х) как функции т при фиксированном г для системы, описываемой системой диффе­ ренциальных уравнений

У1=

«12 (О У2 + *1,

(4.5.27)

 

 

Уі — а 21 (О У1 "Та 22 (О У2 4" *2-

На основании изложенного искомые весовые функции определяются системой дифференциальных уравнений

dgii (t,

т)

— a2i(x)gl2(t, T),

dx

 

 

 

 

(4.5.28)

dg12 (t, x)

 

 

 

(x)g12

(t, x)

dx

- = — a 12( T ) g u ( f , T) — a 22

§ 4.6. С О Е Д И Н ЕН И Я СТА Ц И О Н А РН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

183

при граничных условиях при т — t:

 

 

gn (i, t) =

1,

£12 (t, t) = o.

(4.5.29)

Если сделать

замену

переменной интегрирования по

формуле т = t — а

и рассматривать переменные как функции ст, то будем иметь

dgti (t, t— o) =

 

 

 

a2i(f —а)

* — <*)> "I

da

 

 

 

 

 

(4.5.30)

dgi2 (t, {

g) __ д

(г —а) gn (t, i —ст)+а2 2 (* —'a) 812 (*> t— °)- J

do

 

 

 

 

 

 

В этом случае условия (4.5.29)

выполняются при начальном значении ст = 0.

§ 4.6.

Соединения

стационарных линейных систем

Выведем теперь зависимости между передаточными функциями

соединений

стационарных

линейных систем

и передаточными

■функциями соединяемых систем.

Рассмотрим последовательное соединение двух стационарных

линейных

систем

с передаточными

функциями Ф4(s)

и Ф2 (s)

(рис.

4.6.1). Предположим, что

 

^

 

 

1

на входе

этого последователь-

 

 

 

ного соединения неограниченно

g S t j

Ф/ S )

0 / s ) e st

Ф(з)еи

 

г

Ф/ S )

 

долго

действует

возмущение,

 

 

 

 

 

1

 

Ф(в)

 

представляющее собой показа­

 

L

 

 

тельную

функцию

времени est.

 

 

 

Рис. 4.6.1.

 

Это возмущение при прохожде­

 

 

 

 

нии через первую систему умно­

 

(s). Таким образом, на вы­

жается на передаточную функцию

 

ходе первой системы и на входе второй будет функция

(s) est.

В силу линейности второй системы ее выходная переменная будет равна произведению ее реакции на показательное возмущение est на постоянный множитель Фі (s ), т . е. Фі (s ) Ф2 (s)esi. Таким образом, последовательное соединение стационарных линейных систем дает стационарную линейную систему, передаточная функция которой Ф (s) равна произведению передаточных функ­ ций соединяемых систем:

Ф (s) = Ф4 (s) Ф2 (s).

(4.6.1)

Формула (4.6.1) легко распространяется на последовательное соединение любого числа стационарных линейных систем. А имен­ но, если передаточные функции п соединяемых последовательно систем равны Фі (s), . . ., Фп (s), то передаточная функция соеди­ нения ф (s) определяется формулой

Ф (s) = Фі (s) Ф2 (s) . . . Фп (s).

(4.6.2)

Так как модуль произведения комплексных чисел равен про­ изведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргу-

184

ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

ментов сомножителей, то из (4.6.2) вытекают следующие формулы для амплитудной и фазовой частотных характеристик последова­ тельного соединения:

| Ф ( г м ) | =

П

| Ф й (ісо) | ,

(4.6.3)

Ä=1

 

 

 

П

 

 

а^Ф(і<в) =

2

а^Фь(ісо).

(4.6.4)

k—i

 

 

Логарифмируя формулу (4.6.3),

получим

 

lg 1Ф (ico) I =

2

lg 1Фй(i<ö) |.

(4.6.5)

Ä = 1

 

 

Формулы (4.6.4) и (4.6.5) показывают, что при последователь­ ном соединении стационарных линейных систем их фазовые частотные характеристики и логарифмические амплитудные ча­ стотные характеристики суммируются.

Формула (4.6.2) показывает, что результат последовательного соединения стационарных линейных систем не зависит от поряд­ ка их соединения.

Рассмотрим теперь две взаимно обратные стационарные линей­ ные системы. В результате их последовательного соединения получается идеальная следящая система, передаточная функция которой по доказанному в § 2.4 равна единице. Поэтому из формулы (4.6.1 следует, что передаточные функции двух взаимно обратных стационарных

 

линейных

систем являются взаимно

 

обратными величинами. Если данная

 

система

имеет передаточную

функ­

 

цию Ф (s),

то передаточная функция

 

обратной системы будет

1/Ф (s).

 

Для

определения

передаточной,

стационарных

функции

параллельного соединения

линейных систем с весовыми

функциями

Ф4 (s)

и Ф2 (s) (рис.

4.6.2) предположим,

что на

входе

этого

соеди­

нения неограниченно долго действует возмущение, представляю­ щее собой показательную функцию времени еѣ1. В результате выходные переменные соединяемых систем будут равны соответ­ ственно Фі (s) esl и Ф2 (s) est. Выходная переменная соединения будет равна сумме этих выражений. Следовательно, передаточная функция параллельного соединения стационарных линейных систем равна сумме передаточных функций соединяемых систем:

ф (s) = Ф і (s) + Ф 2 (s).

( 4 . 6 . 6 )

§ 4. 6, С О Е Д И Н Е Н И Я С ТА Ц И О Н А РН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

185

Эта формула, очевидно, также распространяется на любое число соединенных параллельно систем.

Переходим к определению передаточных функций стационар­ ных линейных систем, замкнутых обратными связями. Рассмотрим

Рис. 4.6.3.

Рис. 4.6.4.

систему, состоящую из стационарной

линейной системы с пере­

даточной функцией Фі (s), замкнутой

отрицательной обратной

связью, содержащей стационарную линейную систему с пере­

даточной функцией Ф2 (я)

(рис. 4.6.3).

 

 

Для определения передаточной функ­

і

 

ции Ф (s)

этой системы

 

рассмотрим

1

^

обратную систему,

которая по доказан­

I

Ф/ s )

4

ному

имеет

передаточную

функцию

1

 

\0(S)

l/®(s).

На

основании

изложенного

в § 4.2 эта обратная система представ­

 

Рис. 4.6.5.

ляет

собой

параллельное

 

соединение

 

системы с передаточной функцией 1/Ф4 (s)

(s) (рис. 4.6.4). Поэтому,

и системы с передаточной функцией Ф2

пользуясь формулой (4.6.6),

получаем

 

 

 

 

1

 

 

Ф2 (8):

l-f-Ф і (s) д >2 (s)

 

 

Ф(»)

Фі(*)

 

 

Ф1(»)

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда находим передаточную функцию интересующей нас системы с обратной связью (рис. 4.6.3):

 

 

ф (s) — ------ -------------

(4.6.7)

 

 

к ' і+Фі(«)Ф2(»)

:

В частном

случае

жесткой

отрицательной обратной связи

(рис. 4.6.5)

Ф2 (s) =

1 и формула’ (4.6.7)

принимает вид

 

 

Ф(*)

Фі(»)

(4.6.8)

 

 

1 + Фі (в) '

Мы видим, что при любых соединениях стационарных линей­ ных систем всегда получаются стационарные линейные системы, передаточные функции и частотные характеристики которых'определяются при помощи элементарных алгебраических действий по данным передаточным функциям (соответственно частотным характеристикам) соединяемых систем. Вследствие этого метод

Смотрите также файлы