ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 368
Скачиваний: 15
186 |
ГЛ . 4. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХ ЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
частотных характеристик получил широкое практическое распро странение.
Вычисления по формулам (4.6.4) и (4.6.5) практически выпол няются графически путем суммирования ординат логарифмиче ских частотных характеристик соединяемых последовательно систем.
Для вычисления частотной характеристики системы с отрица тельной жесткой обратной связью по формуле (4.6.8) обычно пользуются специальными номограммами, которые позволяют находить логарифмические частотные характеристики системы, замкнутой отрицательной жесткой обратной связью, по данным логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой систе мы. Такая номограмма дана в приложении 2.
Для нахождения логарифмических частотных характеристик системы с гибкой обратной связью можно пользоваться той же номограммой. Для этого представим формулу (4.6.7) в виде
CD(ч\ = |
Фі (s) Фг (s) |
1 |
(4.6.9) |
|
К ) |
l + flMs)<D2(s) |
<D2 (s) |
||
|
Таким образом, систему с гибкой обратной связью можно пред ставить в виде последовательного соединения системы с переда точной функцией Фі (s) Ф2 (s), охваченной отрицательной жесткой обратной связью, и системы с передаточной функцией 1/Ф2 (s). К этому же выводу можно прийти чисто структурными преобра зованиями, которые будут рассмотрены в следующем параграфе.
Логарифмические частотные характеристики параллельного соединения двух систем также можно найти при помощи номо граммы, определяющей логарифмические частотные характери стики замкнутой системы по данным логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Для этого достаточно перейти к обратной системе. Мы знаем, что системой, обратной по отношению к параллельному соединению систем с передаточ ными функциями Фі (s) и Ф2 (s), является система, полученная
в результате замыкания системы с передаточной функцией 1/Ф±(s) |
|
отрицательной обратной связью, содержащей систему с передаточ |
|
ной функцией Ф2 (s). Определив при помощи номограммы лога |
|
рифмические частотные |
характеристики этой обратной системы |
и изменив у них знаки, |
мы и получим логарифмические частотные |
характеристики параллельного соединения систем с передаточ ными функциями Ф4 (s) и Ф2 (s). Применяя этот прием последова тельно, можно найти логарифмические частотные характери стики параллельного соединения любого числа стационарных линейных систем.
Практические приемы построения логарифмических частотных характеристик стационарных линейных систем будут изложены в § 4.8.
§ 4.6. С О Е Д И Н Е Н И Я СТА Ц И О Н А РН Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
187 |
Легко видеть, что при всех возможных соединениях стацио нарных линейных систем, описываемых обыкновенными диффе ренциальными уравнениями, в результате всегда получаются стационарные линейные системы, поведение которых также описы вается обыкновенными дифференциальными уравнениями. ’ Дей ствительно, в этом случае передаточные функции всех соединяе мых систем представляют собой дробно-рациональные функции s. Все выведенные формулы для передаточных функций соединений в этом случае определяют передаточную функцию соединения Ф (s) также в виде дробно-рациональной функции s. Представив эту функцию в виде отношения двух полиномов и заменив s опе ратором дифференцирования по времени D, мы найдем операторы F (D) и Н (D) и получим дифференциальное уравнение вида (2.5.15), связывающее входную и выходную переменные х, у рас сматриваемого соединения стационарных линейных систем.
Заметим, что на основании доказанного в конце § 2.5 опреде ляемая любой из выведенных выше формул передаточная функция Ф (s) соединения стационарных линейных систем, описывае мых обыкновенными дифференциальными уравнениями, суще ствует при всех s, действительные части которых больше действи тельных частей всех полюсов функции Ф (s). При этом в случае, когда рассматриваемое соединение содержит цепи обратных свя зей, передаточные функции систем, входящих в соединение, могут и не существовать при всех значениях s, при которых существует Ф (s). Это, очевидно, не мешает пользоваться при вычислении Ф (s) формальными выражениями вида (2.5.12) для передаточных функций всех соединяемых систем. Этим объясняется, в частно сти, возможность пользоваться формальными выражениями частотных характеристик дифференциатора, интегратора, фор
сирующих звеньев |
и неустойчивых апериодических (Т < 0) |
и колебательных (£ < |
0) звеньев для получения частотной харак |
теристики любого соединения стационарных линейных систем. Следует лишь помнить, что полученная в результате частотная характеристика соединения физически существует только в том случае, когда все полюсы передаточной функции этого соедине ния имеют отрицательные действительные части.
П р и м е р 4.6.1. Физическое последовательное соедішение двух цепо чек RC, рассмотренное в примере 4.1.1, с точки зрения теории автоматиче ского управления представляет собой последовательное соединение этих двух элементов, замкнутое обратной связью, содержащей дифференцирующее звено с передаточной функцией RiC^s (рис. 4.6.6). Действительно, вычислив изложенным в § 3.11 методом передаточную функцию физического последо вательного соединения двух цепочек RC (рис. 4.1.5), получим
1
ф (5І= _____________ 1___________________(7У+1) (Г2«+1)
и ( т у + ін т ѵ + іэ + д , ^ |
RjC2s |
’ |
^(7У + 1) (7V+1)
188 |
ГЛ . 4 , С Т Р У К Т У Р Н Ы Е СХЕМ Ы Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
где Т1 = |
RiCt, Т2 — R 2C2. Сравнивая это выражение с (4.6.7) и принимая |
во внимание (4.6.1), убеждаемся в справедливости высказанного утверждения. И только при очень малой емкости С2 (и пропорционально большом сопро тивлении Л2>чтобы произведение Т2 = R 2C2 оставалось неизмен ным) это соединение можно рас сматривать как чистое последо вательное соединение без обрат
ной связи.
|
Интересно |
отметить, |
что |
|
|
не только в |
рассмотренном |
||
Рис. 4.6.6. |
примере, но и вообще физи |
|||
ческое |
присоединение |
лю |
||
|
бого |
элемента к выходу |
||
любого другого элемента практически всегда добавляет к по следовательному соединению ту или иную обратную связь. Иными словами, присоединение к выходу любого элемента другого элемента, представляющего собой нагрузку на выходе первого элемента, дает не только эффект последовательного соединения, но и дополнительный эффект обратной связи. Это легко просле дить на примерах исполнительных устройств и длинной линии, рассмотренных в предыдущей главе. Учет сил, действующих на исполнительное устройство со стороны приводимого им в дви жение механизма, в уравнениях работы исполнительного устрой ства равноценен подаче на вход исполнительного устройства дополнительного сигнала, зависящего от его выходного сигнала, т. е. обратной связи. Точно так же учет нагрузки на конце длин ной линии в уравнениях, описывающих процесс в длинной линии, равноценен охвату ее обратной связью, содержащей звено с пере даточной функцией (eß(s>* — e_ßts>f)/2Zn (s) у (s). Это непосред ственно следует из выражений (3.15.15) и (3.15.16) для переда точных функций длинной линии с учетом и без учета нагрузки и формулы (4.6.7).
§ 4.7. Структурные преобразования линейных систем
Мы видели, что структурная схема автоматической системы определена неоднозначно, одной и той же системе соответствует бесчисленное множество структурных схем. Это дает возмож ность выбирать наиболее простые и удобные для исследования структурные схемы и тем самым значительно сократить объем необходимых вычислений. Для нахождения наиболее простых и удобных структурных схем линейных систем необходимо научиться преобразовывать структурные схемы линейных систем.
Так как всякая структурная схема представляет линейную систему в виде соответствующего соединения более простых линейных систем, сумматоров и точек разветвления, то любое пре
§ 4.7. С Т Р У К Т У Р Н Ы Е П РЕО БРА ЗО В А Н И Я Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
189 |
образование структурной схемы сводится к поочередной попарной перестановке ее соседних звеньев. Поэтому достаточно научиться переставлять различные соседние звенья структурной схемы — точки разветвления, которые мы будем называть для краткости узлами, сумматоры и линейные системы.
Ясно, что все преобразования в структурной схеме и, в част ности, перестановки соседних звеньев должны производиться так,
чтобы все |
Рис. 4.7.1. |
Рис 4.7.2’. |
|
входные и выходные сигналы каждого преобразуемого |
|
участка схемы оставались неизменными. В этом состоит основной принцип структурных преобразований, который обеспечивает равноценность исходной и преобразованной схем в том смысле,
что обе они соответствуют одной и той |
|
|
|
||||
же линейной системе. |
общего |
|
|
|
|||
Из |
сформулированного |
|
|
|
|||
принципа вытекают следующие пра |
X , |
|
|
||||
вила |
структурных |
преобразований: |
|
|
|
||
1) |
Два узла всегда можно менять |
t/j-X j |
Хг |
||||
местами (рис. 4.7.1). |
можно |
|
|
|
|||
2) |
Два сумматора всегда |
X-, |
|
y2-Xj+X£ |
|||
менять местами (рис. 4.7.2). |
|
Т |
|||||
3) |
При переносе узла через сум |
|
|
||||
матор по ходу сигнала (или сумма |
х г |
У ;~х 1 |
|||||
тора через узел против хода сиг |
|
|
|||||
нала) следует добавить связь между |
Рис. 4.7.3. |
||||||
линией |
второго |
входа сумматора |
|||||
и ответвлением, направленную по ходу сигнала в прямой цепи и содержащую усилитель скоэффициентом усиления —1 (рис. 4.7.3).
4)При переносе узла через сумматор против хода сигнала (или сумматора через узел по ходу сигнала) следует добавить связь между линией второго входа сумматора и ответвлением, направ ленную против хода сигнала в прямой цепи (рис. 4.7.4).
5)При переносе узла через линейную систему по ходу сигнала необходимо включить в ответвление обратную линейную систему
(рис. 4.7.5).
