Файл: Основы автоматического управления..pdf

§ 4.8. М ЕТОД ЛО ГА РИ Ф М И ЧЕС К И Х Ч А С ТО ТН Ы Х Х А РА К Т Е РИ С Т И К 197

системе координат построены два семейства кривых: семейство кривых постоянного усиления амплитуды замкнутой системы и семейство кривых постоянного сдвига фаз замкнутой системы. Для вывода уравнений этих семейств кривых достаточно поло­ жить в формуле (4.6.8) (гсо) = Ае*Ч> и приравнять постоянным величинам модуль и аргумент полученного выражения. В резуль­ тате получим уравнение первого семейства кривых (т. е. кривых постоянного усиления амплитуды замкнутой системы):

~\/1 -(- 2AJcos яр -|- А2

и уравнение второго семейства кривых (т. е. кривых постоянного сдвига фаз замкнутой системы):

Из номограммы видно, что при значениях амплитудной частот­ ной характеристики разомкнутой системы, меньших —20дБ, амплитудная и фазовая частотные характеристики замкнутой системы практически совпадают с соответствующими характери­ стиками разомкнутой системы, а при ее значениях, больших 20 дБ, амплитудная частотная характеристика замкнутой системы не превышает по модулю 1 дБ, фазовая же характеристика не пре­ вышает ±5°, т. е. практически они совпадают с соответствующи­ ми осями абсцисс. Поэтому номограмму замыкания практически необходимо использовать только в интервалах частот, в которых

I L (ю) I < 20 дБ.

П р и м е р 4.8.1. В качестве примера рассмотрим построение логариф­ мических частотных характеристик системы, схема которой представлена на рис. 4.8.2. При помощи структурного преобразования выносим звено из

цепи обратной связи и таким образом заменяем гибкую обратную связь жесткой (пример 4.7.1). Преобразованная схема представлена на рис. 4.8.3.

Построим частотные характеристики системы, обведенной на рис. 4.8.3 пунктирной линией. Общий коэффициент усиления этой системы к = к2кзТі =

ординату, равную 20 lg к = 12,04 дБ, и через полученную точку А (рис. 4.8.4) проводим асимптоту низких частот с наклоном 20дБ/дек. В точке В наклон становится равным 0, в точке С — 20 дБ/дек и, наконец, в точке D —40 дБ/дек. Фазовая частотная характеристика этой системы получается путем суммирования фазовых характеристик элементарных звеньев.

Рис. 4.8 3.

С помощью номограммы (приложение 2) находим логарифмические частот­ ные характеристики системы, полученной путем замыкания жесткой отри­ цательной обратной связью системы, обведенной на рис. 4.8.3 пунктир­ ным прямоугольником. Логарифмические частотные характеристики этой замкнутой системы отмечены на рис. 4.8.4 индексом «з».

Рис. 4.8.4.

Совершенно так же строятся логарифмические частотные характеристики второй последовательной цепи элементарных звеньев, входящих в состав исследуемой системы. Эти логарифмические частотные характеристики пока­ заны на рис. 4.8.5.

Наконец, логарифмические частотные характеристики всей исследуемой разомкнутой системы, отмеченные па рис. 4.8.5 индексом 0, получаются суммированием найденных характеристик второй последовательной цепи и соответствующих характеристик замкнутой системы, изображенных на рис. 4.8.4.

§ 4.8. М ЕТОД Л О ГА РИ Ф М И Ч ЕСК И Х Ч А С ТО ТН Ы Х Х А Р А К Т Е РИ С Т И К 199

Изложенный метод позволяет быстро строить логарифмические частотные характеристики любых стационарных линейных систем, в том числе и очень сложных. При этом, как мы увидим в главе 6, поправки к асимптотическим характеристикам практически необ­ ходимо вносить только в тех интервалах частот, в которых фазо­ вая характеристика разомкнутой системы близка к ± jt.

Впрочем, существует большой класс стационарных линейных систем, для которых можно обойтись без точного построения фазо­ вых характеристик. А именно для систем, передаточные функции которых не имеют ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной s, называемых обычно минимально-фазо­ выми *), фазовая характеристика полностью определяется ампли­ тудной характеристикой. Эта зависимость фазовой характери­ стики минимально-фазовой системы от амплитудной может быть выражена различными уравнениями. Мы приведем здесь без вывода следующую формулу, справедливую для любой минималь­ но-фазовой системы:

где фазовая характеристика ф (ю) выражена в радианах, а ампли­ тудная характеристика L (ю) в децибелах.

*) Это название объясняется тем, что такие системы имеют минимальное отставание по фазе при любом значении частоты при данном значении ампли­ тудной характеристики. Подробнее об этом см. [8].

Формула (4.8.4) показывает, что фазовая характеристика минимально-фазовой системы при любом значении частоты со выражается через наклон логарифмической амплитудной частот­ ной характеристики dL (co)/d lg со. Из этого можно сделать неко­ торые интересные выводы.

1)Если в некотором достаточно большом интервале частот наклон логарифмической амплитудной частотной характеристики постоянен и равен 20п дБ/дек, то фазовая характеристика в этом интервале частот близка к гея/2.

2)Наиболее резкое изменение фазовой частотной характери­ стики происходит в области тех частот, где наклон логарифмиче­ ской амплитудной частотной характеристики изменяется интен­ сивно, т. е. вблизи сопрягающих частот со* = 1!Т-г элементарных звеньев.

Класс минимально-фазовых систем очень широк. В частно­ сти, он включает, как нетрудно убедиться, апериодическое, коле­

бательное и форсирующие звенья первого и второго порядка с положительными постоянными времени Т и коэффициентами колебательности £. Поэтому во многих случаях можно выполнить большую часть расчетной работы по одной только логарифмиче­ ской амплитудной частотной характеристике разомкнутой системы, которая, как было показано, строится исключительно просто даже для очень сложных систем.

Г л а в а 5

ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 5.1. Дискретное (импульсное) управление. Способы модуляции импульсов

В § 1.6 было показано, что входные возмущения, в частности, сигналы, несущие информацию о задачах управления, могут действовать в автоматических системах непрерывно или дискрет­ но. Там же были приведены примеры непрерывных и дискретных

систем.

Изложенная в предыдущих главах, за исключением §§ 2.5 и 4.4, общая теория линейных систем применима к любым линейным системам, как непрерывным, так п дискретным. Хотя мы и рас­ сматривали входное возмущение х (t) как функцию непрерывно изменяющегося времени, однако нигде пе делали предположения, что это входное возмущение воспринимается системой непрерыв­ но, в течение всего времени работы системы. Поэтому все изучен­ ные в предыдущих главах характеристики линейных систем

иметоды их исследования, кроме методов, изложенных в §§ 2.5

и4.4, относятся в равной мере как к непрерывным, так и к ди­

скретным линейным системам. И лишь теория, изложенная в §§ 2.5 и 4.4, в которых изучались непрерывные линейные систе­ мы, описываемые дифференциальными уравнениями, неприме­ нима к дискретным системам. Однако дискретные линейные систе­ мы, как частный вид линейных систем, обладают некоторыми специфическими свойствами, которые целесообразно изучить и учи­ тывать при расчете и проектировании дискретных систем.

Для дискретного ввода входных сигналов в систему необходи­ мо изменять некоторые параметры входных импульсов в зависи­ мости от значения входных сигналов. Изменение какого-либо пара­ метра импульсов в зависимости от входного сигнала называется модуляцией импульсов входным сигналом. Устройство, форми­ рующее последовательность импульсов, зависящую от входного сигнала, называется импульсным элементом.

Обычно форма импульсов сохраняется при модуляции неиз­ менной. При этом в принципе возможно изменять в зависимости от значений входного сигнала один из трех параметров импульса: амплитуду, длительность или момент начала действия импульса. В соответствии с этим различают три вида модуляции импульсов:

специфическими свойствами, облегчающими их исследование, вследствие чего их следует изучать общими методами предыдущей главы. Излагаемая в этой главе теория к ним неприменима.

Зависимость модулируемого параметра вырабатываемых им­ пульсным элементом импульсов от соответствующих дискретных значений входной переменной называется характеристикой импульсного элемента. Характеристика импульсного элемента может быть линейной или нелинейной. Импульсный элемент с линейной характеристикой является линейным элементом, а импульсный элемент с нелинейной характеристикой — нелинейным.

Импульсные элементы различаются также по форме и харак­ теру модуляции импульсов, по частоте импульсов и их относи­ тельной длительности.

Обычно импульсные элементы работают периодически, выра­ батывая по одному импульсу за каждый период. Период следова­ ния импульсов Т п называется периодом повторения импульсов или тактом дискретной системы. Величина соп = 2л/7’п пред­ ставляет собой частоту повторения импульсов. Отношение дли­ тельности одного импульса (средней в случае широтной модуля­

§ 5.2. Характеристики дискретных линейных систем

Так как входная переменная х (t) действует на дискретную

времени изначенийх (tj,) (& = 0,+1, ± 2, . . .) входной переменной. Обозначим реакцию дискретной линейной системы на кратко­ временное входное возмущение, равное единице и действующее только в течение времени действия к-го импульса, через gk (t). Тогда ее реакция на кратковременное возмущение, равное х (tk) и действующее только в течение времени действия к-то импульса, будет на основании принципа суперпозиции равна gh (t) х (tk). Реакция дискретной линейной системы на всю последовательность импульсов, модулированных входным возмущением х (t), в силу

принципа суперпозиции определится формулой

Это и есть основная формула, выражающая зависимость выход­ ной переменной дискретной линейной системы от входного сигнала.

Функции gh (t) полностью характеризуют дискретную линей­ ную систему, так как, зная эти функции, можно вычислить реак-