ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 372
Скачиваний: 15
204 Г Л . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы
дию дискретной линейной системы на любое входное возмущение X (t). Функции gk (t) определяют долю, или удельный вес, значе ний входной переменной, действующих в различные моменты времени th, в формировании выходной переменной системы в лю бой момент времени t. Вследствие этого функции gh (t) называются весовыми коэффициентами дискретной линейной системы.
Любая физически возможная система может реагировать в данный момент времени t только на возмущения, действующие на нее в предшествующие моменты времени. Поэтому для любой физически возможной дискретной системы
gh (t) = 0 при t < t h (А = 0, ± 1 , ± 2, . , .). (5.2.2)
Для физически возможной дискретной линейной системы, нахо дящейся в покое до момента t0, формула (5.2.1) может быть пере писана в виде
У(і)= S gh(t)x{th). |
(5.2.3) |
to^th^t |
|
где неравенство под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется только на моменты действия импульсов th, заключенные в интервале [f0, t].
Для определения весовой функции g (t, т) дискретной линей ной системы достаточно найти ее реакцию на единичный импульс, действующий в момент т. Полагая в формуле (5.2.1) х (t) =
= б (t |
— т), получим следующую формулу для весовой функции |
g (t, т) |
дискретной линейной системы: |
|
ОО |
|
g (t,x )= |
2 gh(t)ö(th— т). |
(5.2.4) |
h= |
— о о |
|
Таким образом, весовая функция любой дискретной линейной системы представляет собой линейную комбинацию 8-функций. Наоборот, всякая линейная система, весовая функция которой является линейной комбинацией б-функций, дискретна. Действи тельно, подставляя выражение (5.2.4) в формулу (2.2.3) и при нимая во внимание правило интегрирования б-функций, полу чим формулу (5.2.1). Из этой формулы следует, что входное воз мущение X (t) действует на систему только в моменты времени th, т. е. что система дискретна.
Определив весовую функцию дискретной линейной системы формулой (5.2.4), можно найти по формулам § 2.3 ее характери стику реакции на показательное возмущение и частотную харак теристику. Полагая в формулах § 4.2 весовые функции равными линейным комбинациям б-функций, получим формулы для весо вых коэффициентов различных соединений дискретных линейных систем. Наконец, формулы § 4.3 определяют системы, сопряжен
§ 5.2. Х А Р А К Т Е РИ С Т И К И Д И С К Р Е Т Н Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
205 |
ные с дискретными линейными системами. При этом выведенные в § 4.3 правила моделирования сопряженных систем дадут воз можность определять значения всех весовых коэффициентов си стемы в определенный момент времени t однократным моделирова нием сопряженной системы.
Рассмотрим дискретную xßj линейную систему, представ ляющую собой последователь ное соединение импульсного элемента и непрерывной ли
нейной системы с весовой функцией gi (t, т) (рис. 5.2.1). Обозначим функцию, описывающую форму импульсов, выраба тываемых импульсным элементом, через ц (t) (рис. 5.2.2). Тогда
в случае амплитудной модуляции выходной сигнал линейного импульсного элемента z (t) выразится формулой *)
оо |
|
z{t)= 2 x(th)r\{t — th). |
(5.2.5) |
k—~oo |
|
Эта функция является входной переменной непрерывной линей ной системы с весовой функцией gi (t, т). Следовательно, на осно вании общей формулы (2.2.3) выходная переменная рассматри
ваемой |
дискретной системы |
ОО |
выражается формулой |
|
|
00 |
|
ОО |
|
1 / ( 0 = |
\ gi (t, x)z(x)dx = |
|
2 |
j gl ( о " О л С г — tk)dx. ( 5. 2. 6) |
— 00 |
k = |
— оо |
— оо |
|
*) Очевидно, что без потери общности функцию т) (t) можно выбрать так, чтобы при входном возмущении х (<), тождественно равном единице, импульсы, вырабатываемые импульсным элементом, были равны і] (t — th) (к = 0, ±1, ±2, . . .).
206 ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы
Так как функция г) (т — tk) |
отлична от нуля только в интервале |
||||
th < т < tk + Ти, |
где |
Тя — длительность импульса, |
то фор |
||
мулу (5.2.6) можно переписать в виде |
|
|
|||
|
0 0 |
|
< Ь + Т И |
|
|
y(t)= |
2 |
х (*ь) |
j |
T) Л (T — th) dx. |
(5.2.7) |
|
k ——0O |
|
tfr |
|
|
Сравнивая эту формулу с (5.2.1), получаем следующую формулу для весовых коэффициентов рассматриваемой дискретной линей ной системы:
|
г* + Ги |
|
|
|
gk(t)= |
j |
gl 0, |
т)т](т — th)dr. |
(5.2.8) |
|
lh |
|
|
|
Производя замену переменных |
о = т — th, приведем |
форму |
||
лу (5.2.8) к виду |
|
|
|
|
gh (t) = |
Ги |
gi (t, tk + o) г) (o) da. |
|
|
j |
(5.2.9) |
|||
|
b |
|
|
|
Эта формула показывает, что весовые коэффициенты последова тельного соединения импульсного элемента и непрерывной линей ной системы зависят от формы импульсов, вырабатываемых импульсным элементом, и весовой функции непрерывной части системы.
Из формулы (5.2.9) видно, что практически для любой физиче ски возможной дискретной линейной системы начальные значе
ния |
весовых |
коэффициентов gh (t) |
равны пулю: gk (th) = О |
(к = |
О, 1, 2, |
. . .), так как при t = |
tk подынтегральная функция |
тождественно равна нулю в интервале интегрирования. Началь ные значения весовых коэффициентов gk (th) могут быть отлич ными от нуля только в случае, когда весовая функция непрерыв
ной части системы gt (t, т) |
содержит линейную |
комбинацию |
б- |
функции и ее производных: |
б (t — т), 6' (t — т), |
б" (t — т), . . |
., |
или в теоретическом случае идеализированного импульсного элемента, вырабатывающего без запаздывания мгновенные им пульсы: г) (а) = б (а), если при этом gt (t, t) фО.
В случае широтной модуляции мы будем для простоты счи тать, что импульсный элемент вырабатывает прямоугольные импульсы постоянной величины а, длительность которых пропор циональна значениям входного сигнала в соответствующие момен ты времени. Тогда входной сигнал z (t) непрерывной части системы будет равен а в интервалах времени [th, th + хх (4)] и нулю вне этих интервалов. Следовательно, применяя формулу (2.2.3), мы получим следующее выражение для выходной переменной рас-
§ 5.2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Д И С К Р Е Т Н Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
207 |
сматриваемой дискретной линейной системы:
y(t) = a 2 |
j |
Si (t,x)d%. |
(5.2.10) |
k=—00 |
tk |
|
|
Очевидно, что система, у которой зависимость между входной II выходной переменными определяется формулой (5.2.10), нели нейна. Однако при малой длительности импульсов ее можно при ближенно рассматривать как линейную. Действительно, при доста точно малой длительности каждого импульса весовую функцию gi (t, т) можно считать в каждом интеграле в (5.2.10) практически постоянной и равной ее значению gі (t, t^) в начале интервала интегрирования. Тогда, вынося ее за знак интеграла, можем выполнить интегрирование и переписать формулу (5.2.10) в виде
ОО
y(t)ttaK 2 Si (t, h )x (tk). (5.2.11) k=—oo
Отсюда видно, что при широтной модуляции кратковременных прямоугольных импульсов последовательное соединение импульс ного элемента и непрерывной системы с весовой функцией gi it, т) можно считать линейной дискретной системой, весовые коэффи циенты которой определяются формулой
gh (t) = axgi (t, tk). |
(5.2.12) |
Величина ак, представляющая собой произведение амплитуды импульса на его длительность при единичном входном сигнале, определяет интенсивность импульсов.
Аналогично можно прийти к заключению, что при временной модуляции импульсов произвольной формы последовательное соединение импульсного элемента и непрерывной линейной систе мы лишь приближенно можно рассматривать как линейную ди скретную систему, если максимальный возможный временной сдвиг импульса достаточно мал, чтобы весовую функцию непре рывной части системы g{ (t, т) можно было считать приблизитель но линейной функцией т в диапазоне возможных значений вре
менного |
сдвига. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В некоторых случаях выходная переменная дискретной ли |
|||||||||||
нейной |
системы |
интересует |
нас лишь |
в определенные моменты |
|||||||
времени |
t\ |
(I = |
0, ± 1 , |
± 2, |
. . .) |
или |
система дает |
выходную |
|||
переменную |
только |
в |
определенные |
моменты времени t\. |
|||||||
Полагая |
в |
формуле (5.2.1) |
t = |
t\, |
найдем |
значения выходной |
|||||
переменной |
системы |
в |
интересующие |
нас |
моменты |
времени |
|||||
<і(* = 0 ,± 1 ,± 2 , . ..); |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
(t'i) = h——oo2 |
S h |
( t'l) X |
( t h) . |
|
( 5 .2 .1 3 ) |
||
|
|
|
|
|
|||||||
208 |
ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМЫ |
|
||
Полагая для краткости |
|
|
|
|
|
xk = x(th), |
yi = y(t'i), |
gh(t\) = gik, |
(5.2.14) |
можем переписать формулу (5.2.13) окончательно в виде |
|
|||
|
Уі= 2 gikXk |
(1 = 0, |
± 1 , ± 2 , ...) . |
(5.2.15) |
|
ft——оо |
|
|
|
Аналогично в случае, когда последовательность моментов фикса ции выходной переменной системы совпадает с последовательно стью моментов действия импульсов t\ = ti(l = 0, ± 1, ± 2 , . . .), формула (5.2.3) при t — tt даст следующее выражение значений выходной переменной физически возможной дискретной линейной системы:
Уг= 2 SihXh |
(1= 0, 1, 2, ...) . |
(5.2.16) |
ft=U |
|
|
Формула (5.2.16) и аналогичные формулы для дискретных систем с несколькими входами и выходами .описывают, в частно сти, работу цифровой математической машины в случае, когда результаты вычислений линейно зависят от исходных данных, т. е. цифровой машины с линейной программой. В этом случае исходные данные для вычислений, вводимые в каждом шаге вы числений, являются входными сигналами, а результаты вычисле ний — выходными переменными. Весовые коэффициенты glk опре деляют программу вычислений.
Формула (5.2.16) на простейшем примере показывает, что динамические характеристики цифровой (так же, как и непре рывной) математической машины полностью определяются про граммой вычислений, т. е. решаемой задачей.
Легко сообразить, что при достаточно большой частоте повто рения импульсов всякую дискретную систему можно приближен но рассматривать как непрерывную. Действительно, реакция любой системы на кратковременное единичное возмущение, дей ствующее в течение одного периода повторения импульсов Т л, при бесконечно малом Т п является бесконечно малой порядка Т п.
Поэтому функцию gh (t) |
при малом Тп = At можно |
выразить |
формулой |
(t, th) Т л — g (t, th) At, |
(5.2.17) |
gh (t) |
где g (t, tk) — некоторая функция, не зависящая от Гп. Так, например, в случае последовательного соединения импульсного элемента и непрерывной линейной системы с весовой функцией gi (t, т) мы можем выразить зависимость импульсов данной формы от периода повторения импульсов, приняв функцию т) (t) в виде
( 5 .2 .1 8 )
