ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 378
Скачиваний: 15
§ 5.2. Х А Р А К Т Е РИ С Т И К И Д И С К Р Е Т Н Ы Х Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
209 |
где h (I) — функция, отличная от нуля только в интервале 0 ^
^ |
^ V = |
Т я/ т п. Тогда формула |
(5.2.9) даст |
|
|
|
Ги |
|
V |
|
gh(t)= |
j |
gi(t, tk + o )h ( ^ - } d o = Ta ^ gi(t, tk + lTn)h(l)dl. |
|
|
|
о |
п |
0 |
При достаточно малом периоде повторения импульсов Т п весовая функция gt в полученном интеграле будет практически постоян ной в интервале интегрирования, близкой к своему значению gi (£» h + 0). Вынося ее за знак интеграла и полагая
g(t, tk) = gi(t, |
th + 0) j h{l)dl, |
(5.2.19) |
||
|
|
|
о |
|
мы и получим формулу (5.2.17). |
|
|
||
Подставляя выражение |
(5.2.17) |
в (5.2.1), получим |
|
|
У(і)ж |
со |
g(t, |
th)x (tk)At, |
|
2 |
(5.2.20) |
|||
причем относительная ошибка этого равенства стремится к нулю
при At = Т п —»-0. Но при At —* 0 |
сумма |
в (5.2.20) |
стремится |
к интегралу (2.2.3). Следовательно, |
при |
достаточно |
малом Т п |
дискретную линейную систему можно приближенно рассматри
вать как |
непрерывную линейную систему с весовой функцией |
g (t, h) = |
gk (t)/Tn. |
В частном случае последовательного соединения импульсного элемента и стационарной линейной системы, описываемой диффе ренциальным уравнением, условие приблизительного постоянства весовой функции непрерывной части системы на протяжении периода повторения импульсов Т п, как показывает форму ла (4.4.50), равноценно условию близости к единице всех величин еVj Tп, . . ., еV пТ д, Где уІ5 . . ., ѵ„ — корни характеристического уравнения непрерывной части системы. Но, разложив числитель и знаменатель выражения (2.5.12) на множители, мы представим передаточную функцию непрерывной части системы в виде (2.6.1). Таким образом, непрерывная часть системы может быть пред ставлена в данном случае в виде последовательного соединения интегрирующих или дифференцирующих, апериодических, коле бательных и форсирующих звеньев. При этом корни характери стического уравнения ѵ1? . . ., ѵ„ будут обратно пропорциональ ны постоянным времени апериодических и колебательных звеньев, входящих в состав непрерывной части системы. Следовательно, условие малости величин ѵіТ п, . . ., ѵпТ п с физической точки зрения является условием малости периода повторения импуль сов Т п по сравнению с постоянными времени непрерывной части
Н Под ред. В С. Пугачева
210 |
ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ |
системы. Таким образом, последовательное соединение импульсно го элемента и непрерывной стационарной линейной системы можно считать непрерывной стационарной линейной системой, если период повторения импульсов достаточно мал по сравнению
спостоянными времени непрерывной части системы.
Пр и м е р 5.2.1. Найти весовые коэффициенты импульсного запазды вающего звена, для которого у (гг) = х (гг — Т).
Импульсное запаздывающее звено можно представить в виде последова тельного соединения импульсного элемента и непрерывного запаздывающего звена. Подставляя выражение gl (t, т) = б (£ — т — Т) весовой функции запаздывающего звена в формулу (5.2.9), получим
* f t ( 0 = j ö ( t - t h- o - T ) r ) ( o ) d o = r ] ( t - t h- T ) . |
(5.2.21) |
о |
|
Таким образом, импульсное запаздывающее звено повторяет входные импуль сы с запаздыванием Т.
В частном случае единичных прямоугольных импульсов ц (о) = 1 при 0 < а < Ти. Если при этом запаздывание Т равно целому числу периодов повторения Т = пТп, то, полагая в (5.2.21) t = t[ = 1ТП, tk = кТи, получим
ëlk = 8k |
1 |
при |
I— к -f п, |
(5.2.22) |
|
0 |
при |
Iф к -\-п. |
|||
|
|
П р и м е р 5.2.2. Найти весовые коэффициенты дискретной линейной системы, представляющей собой последовательное соединение импульсного элемента, вырабатывающего единичные прямоугольные импульсы длитель ности Ги с периодом повторения Тп, и апериодического звена.
Подставляя в формулу (5.2.9) выражение (4.4.33) весовой функции апе риодического звена и принимая во внимание, что ц (а) = 1 при 0 <; а < Тп получим:
|
‘- ‘я |
|
|
|
|
t - t b |
gk (0 |
- 4 - 1 |
e |
T |
da = k{ 1 — e |
T ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
при |
f f t < / < l f t + r„, |
|
|
|
‘- ‘ft-® |
|
‘- ‘ft |
(5.2.23) |
|
|
|
|
Ти |
|||
gk (t) -- |
4 - 1 e |
|
T |
da = ke |
T (eT — 1) |
|
при t > t h+ Tu. )
П р и м е р 5.2.3. Найти весовые коэффициенты последовательного соеди нения импульсного элемента, вырабатывающего единичные прямоугольные импульсы, и непрерывной системы, описываемой дифференциальным урав нением
у + 2ау + Ь2у = кеуі (х + Ьх),
где а, Ъ, к, у — некоторые постоянные, 0 < a < b. Весовая функция этой системы была найдена в примере 4.4.2 и выражается формулой (4.4.37).
§ 5.3. СТАЦИОНАРНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 211
Подставляя в (5.2.9) выражение (4.4.37) и учитывая, что tj (а) = 1 ори О< о < Ги, получим
т
« « ) = f e- “'+ai<tfc+e> l{*—а , + too)
О |
|
|
|
,, |
■ , |
-гшоЦ-tb^o), |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
— (о — а1 — іао)е |
в |
] аст=> |
||
= _ f c _ - « f + « i t k |
Г |
а іТ И Г Ъ -С Ц + ІЩ |
ісо0( і - І к - Г н > |
|
|
|
|||
2г'<о0 |
\ |
L |
aj — го)0 |
|
|
|
|
|
|
6 — |
ai — і щ |
-i<*o(.t-th - T u ) 1 |
6 — a j - L j d v . |
lU)0( i - t ft) |
|
||||
— ------ ;—:------ e |
|
J |
------------ :------ |
e |
|
|
|||
аі + гшо |
|
<4 — ico„ |
|
|
|
||||
|
|
.•6 — a, — г'й>о |
—ia,o(t—tk) T |
ПРИ |
|
+ |
(5-2-2 ) |
||
|
|
+ |
aj + itoo |
* |
} |
|
|||
где a>o = У*2 —a2, ai = a + у. Предоставляем читателю самостоятельно привести найденные выражения весовых коэффициентов к действительной
форме, а также найти их выражения при tk < t < th +. Ги.
§ 5.3. Стационарные дискретные линейные системы
Строго говоря, никакая дискретная система не может быть ста ционарной в смысле данного в § 1.6 определения, так как при лю бом сдвиге входного возмущения во времени на величину, не рав ную целому числу периодов пов
торения импульсов (кривая 2 на x(tj рис. 5.3.1), значения входного воз мущения X (th), действующие на систему, изменяются (точки на кривой 2) и вследствие этого выходной сигнал системы не только сдвигается во времени, но и изме няет свою форму. Однако если пренебречь интервалами времени, меньшими периода повторения им пульсов Т j,, и рассматривать толь
ко сдвиги во времени, кратные периоду повторения импульсов, то можно говорить о стационарных или нестационарных дискретных системах. В соответствии с этим мы
дадим следующее определение стационарной дискретной системы:
дискретная |
система называется стационарной, если |
при |
сдвиге |
во времени |
входного возмущения без изменения |
его |
формы |
на интервал времени, кратный периоду повторения импульсов, выходная переменная сдвигается во времени на такой же интер вал без изменения своей формы. Из этого определения следует, что дискретная система может быть стационарной только в том
14*
212 ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы
случае, когда действующие на систему значения входного возму щения следуют друг за другом через равные промежутки времени. Если значения входной переменной вводятся в систему через неравные интервалы времени, то дискретная система нестацио нарна.
Весовой коэффициент gh (t) линейной дискретной системы по определению есть ее реакция на кратковременное возмущение (т. е. возмущение длительности, меньшей периода повторения импульсов Т п), равное единице в момент th = hTa. Если линейная дискретная система стационарна, то при сдвиге кратковременного единичного возмущения во времени на интервал кТи ее реакция сдвинется во времени на тот же интервал кТп, не изменяя формы, т. е. будет равна gh (t — кТ п). С другой стороны, реакция системы
на |
единичное |
возмущение, |
действующее в момент |
= |
= |
(h + к) Т п, |
будет равна |
ее весовому коэффициенту |
gh+b (t). |
Следовательно, для стационарной дискретной линейной системы при любых к и h
gh+h (t) = |
gh ( t - |
kT n). |
(5.3.1) |
|
Полагая здесь h = 0, |
получим при любом к |
|
||
gh (t) = go (t |
- кТп) |
(к = |
0, ± 1, ± 2, . . .). |
(5.3.2) |
Таким образом, весовые коэффициенты стационарной дискретной линейной системы представляют собой одну и ту же функцию, сдвинутую во времени на интервалы, кратные периоду повторения импульсов. В частности, для дискретной линейной системы, пред ставляющей собой последовательное соединение импульсного элемента, вырабатывающего последовательность равноотстоящих импульсов, и непрерывной стационарной линейной системы с весо вой функцией w (t — т), формула (5.2.9) дает следующее выраже ние весовых коэффициентов:
•^и |
|
|
|
|
gh (0 ~ go (t — кТп) = ^ |
w(t —кТи— а) г] (а) da. |
(5.3.3) |
||
о |
|
|
|
|
Полагая в (5.3.2), в частности, |
t = |
tt = 1ТП, |
получим |
|
gih = gh (ti) = go ((I — к) Т п) |
(к, |
I = 0, ± 1 , |
± 2 , . . .) |
(5.3.4) |
Таким образом, весовые коэффициенты glk для стационарной ди скретной линейной системы зависят только от разности индексов.
Мы в дальнейшем будем обозначать их wm |
(m = 0, ± 1, ± 2, |
. . .). |
|
Для физически возможных стационарных |
дискретных линейных |
||
систем go (t) ~ 0 при t <С. О |
и, следовательно, |
|
|
wm = |
0 при пг < 0. |
(5.3.5) |
|
