Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 378

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 5.3. СТА Ц И О Н А РН Ы Е Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы

213

При этом на основании изложенного в предыдущем параграфе практически для всех реальных дискретных линейных систем

и w0 = 0.

На основании формул (5.3.3) и (5.3.4) весовые коэффициенты іѵт последовательного соединения импульсного элемента и непре­ рывной стационарной линейной системы определяются формулой

Ти

wm= f w(mTn— o)r\(o)do (т — 0, + 1 , ± 2 , ...) . (5.3.6)

о

Формула (5.2.15), выражающая последовательность значений выходной переменной через последовательность значений входной переменной, для стационарной дискретной линейной системы принимает вид

ОО0 0

Уі— 2

2

(5.3.7)

h = —oo

m = - oo

 

Рассмотрим теперь действие на стационарную дискретную линейную систему показательного возмущения х (t) = est. В этом случае

_ s (l-m )T n

^l-m — *

и формула (5.3.7) дает

» ,= 2 wme « - m'T* = etlT* 2 wme~mTп.

(5.3.8)

Таким образом, реакция стационарной дискретной линейной системы на показательное возмущение est в момент t = ITп равна значению этого возмущения в тот же момент, умножен­ ному на функцию

Ф (*)= 2 wme-mT«,

(5.3.9)

зависящую только от параметра s. Функция Ф (s) является пере­ даточной функцией стационарной дискретной линейной системы.

Полагая в (5.3.9) s = iw, находим частотную характеристику стационарной дискретной линейной системы:

ОО

(5.3.10)

ф(і<й)= 2 w me ~ imTn“.

T 7 l = — o o

 

Эта формула показывает, что частотная характеристика стацио­ нарной дискретной линейной системы является периодической функцией частоты ш с периодом Q = 2пІТп. Формула (5.3.10) определяет частотную характеристику стационарной дискретной линейной системы ее рядом Фурье. Коэффициентами этого ряда

214

ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМЫ

являются “весовые коэффициенты системы. Следовательно, поль­ зуясь известной формулой для коэффициентов ряда Фурье, мы выразим весовые коэффициенты стационарной дискретной линей­ ной системы через ее частотную характеристику:

ß

2п

 

wm= -1- j Ф^ісо) eimT^dxä =

j Ф (ico) eimT^d(ä. (5.3.11)

о

0

В случае физически возможной стационарной дискретной линейной системы интегралы в (5.3.11) равны нулю при т < О и формула (5.3.9) принимает вид

оо

ф (*)= 2 в ^ - " гя.

(5.3.12)

т=0

Формулы (5.3.9) и (5.3.12) показывают, что передаточные функ­ ции стационарных дискретных линейных систем являются функ­ циями величины

z = esTn.

(5.3.13)

Обозначая передаточную функцию физически возможной стацио­

нарнойдискретной

линейной

системы,

рассматриваемую как

функцию

параметра z, через

Y

(z),

можем переписать

форму­

лу (5.3.12)

в виде

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4f (z)=

2

wmz~m.

(5.3.14)

 

 

 

m = 0

 

 

 

 

При этом, конечно, имеют место тождества

 

 

Ф (Я) = Т (е,тп),

¥ (г)

= ф (^ - 1 п г ) .

(5.3.15)

Легко понять,

что все формулы §

4.6

справедливы и для пере­

даточных функций соединений стационарных дискретных линей­ ных систем.

В некоторых случаях передаточную функцию стационарной дискретной’линейной системы удобно рассматривать как функцию параметра

Z — 1 _

/

Г П — 1

(5.3.16)

2 + 1

 

еаТа-|_ 1

 

 

Подставив выражение z из (5.3.16):

 

 

z =

І + и

(5.3.17)

Т^ѵ

’

 

 

в (5.3.15) и обозначив передаточную функцию, рассматриваемую как функция V, через £2 (ѵ), получим следующие соотношения

§ 5.3. С Т А Ц И О Н А РН Ы Е Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы

215

между передаточными функциями £2, Y и Ф:

 

 

 

a W

= 4 ' ( S

) =

® ( i 1» l ± i ) .

(5.3.18,

Используя

(5.3.16),

получим

еще

соотношения

 

 

 

 

■

ф ^ = а ( е^ г,

1і ) -

<5'зл9>

П р и м е р 5.3.1.

Найти передаточные функции f

(г)

и Й (ѵ) запазды­

вающего импульсного

звена.

 

 

 

 

Весовые коэффициенты запаздывающего импульсного звена на основа­

нии (5.2.22)

определяются

формулой

 

 

 

 

wm ёп (П)

Г 1

при т = 1— к = п,

 

 

 

| д

ПрИ

т —-і— к ф п.

 

 

Подставляя

это

выражение

в формулу (5.3.14),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч (z) = z-n.

 

 

(5.3.20)

Подставляя

сюда

выражение

(5.3.17)

переменной z через ѵ,

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

’ 1 — 17

 

 

(5.3.21)

 

 

 

 

 

 

 

» «

- ( і З )

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

5.3.2. Найти передаточную функцию замкнутой дискретной

системы (рис. 5.3.2), импульсный

 

 

 

 

 

элемент

которой

вырабатывает

 

 

 

 

 

прямоугольные

импульсы

дли­

 

 

 

 

 

тельности

Ти с

периодом повто­

 

 

 

 

 

рения

Тп.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем передаточную функ­

 

 

 

 

 

цию

1 (z)

разомкнутой системы.

 

 

 

Рис. 5.3.2

 

Подставляя

в

формулу

(5.3.14)

 

 

 

 

 

выражение

(5.2.23) для

весовых

 

 

 

 

 

коэффициентов разомкнутой импульсной системы и учитывая, что I — к = тп,

получим формулу для передаточной

функции Ч^ (z):

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵтп

 

mT„

 

 

 

 

 

 

 

4f1(2)=

k (e

1

i) S

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m—1

 

 

или,

суммируя

геометрическую

прогрессию

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч,1 (z) =

kzi ■

 

zi= e

T

(5.3.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

Z —

Z i

 

 

 

Подставляя выражение (5.3.22) в формулу (4.5.8), найдем передаточную

функцию замкнутой

системы:

 

 

 

 

 

*(*) = l

J'lW

 

kzj (zt v— 1)

v)

(5.3.23)

 

 

2 — 2l(fe+l- ■kzt

 

Замена переменной z

переменной v по формуле (5.3.17) в (5.3.22) дает для

 

+

4ri(z)

 

 

 

 

разомкнутой системы

 

 

 

 

 

 

 

Qi (i7)= fczj (z~v—1)

------ VT"

■

(5.3.24)

' 1 — Z1 + ( 1 + Z , ) I 7

216

ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы

Передаточная функция Q (ѵ) замкнутой системы определяется формулой

Q (,) Qi W'

-------------------- k z l ( z ^ - 1) ( 1 - г ) --------- -----------

. (5.3.25)

1 + й і (ѵ)

1 — Zj + A^Zj (zt Ѵ— 1) — [1 — Zi — fczj (zx V— 1)] V

 

Для определения значений выходных переменных стационар­ ных линейных систем с непрерывно изменяющимися выходными переменными в промежутке между импульсами можно пользо­ ваться общей формулой (5.2.1), заменив в ней весовые коэффициен­ ты gh (t) их выражением (5.3.2). При этом практически удобно определять момент времени t между двумя соседними импульсами относительным приращением времени после каждого импульса е. Иными словами, любой момент времени в интервале между импульсами 1ТП<; t < (Z + 1) Т п удобно определить формулой

t = l T п + еГп (0 < е < 1).

(5.3.26)

Подставляя это выражение в формулу (5.2.1) и полагая для крат­ кости

У {ITп + бДп) — Уі (б),

(5.3.27)

gh (ІТп 4" &TU) = go {{I — к) Та-|- еТи) = wi_h(е),

получим для физически возможной стационарной дискретной

линейной системы

I

 

 

Уі(ь)=

2 Wi-h{z)xh.

(5.3.28)

 

 

 

fc=—оо

 

 

 

Заменой индекса m = I — к приведем эту формулу к виду

 

оо

 

 

 

 

 

 

Уі (е) = 2

wm(s)xi-m

(0 -< е < 1;

Z= 0, ± 1, ±

2, ...) .

 

т=О

 

 

 

 

 

(5.3.29)

 

 

 

 

 

 

 

В

случае

показательного

входного

возмущения

х (t) = est,

Xi-rn. =

es(I-m)rn, и формула (5.3.29)

дает

 

 

 

 

Уі (г) = е°1Т» 2

(е) e~smTn.

(5.3.30)

Функция

оо

 

771=0

 

 

 

 

Ф($, е) = 2

wm(е) e_smrn

(0 < е < 1 )

(5.3.31)

 

 

7 7 1 = 0

 

 

 

 

 

называется передаточной функцией стационарной дискретной линейной системы с непрерывным выходом. При s = ісо форму­ ла (5.3.31) определяет частотную характеристику стационарной дискретной линейной системы с непрерывным выходом. Зависи­ мость передаточной функции и частотной характеристики от е отражает тот факт, что дискретная система может быть стацио-

§ 5.3. СТА Ц И О Н А РН Ы Е Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы

2 1 7

нарной лишь по отношению к

сдвигам во

времени, кратным

периоду повторения импульсов,

и не может

быть стационарной

в полном смысле, т. е. по отношению к любым сдвигам во вре­

мени.

на основании

второй формулы

(5.3.27) wm (0) =

Так как

= go (тТп) =

wm, то при

8 = 0 передаточная

функция стацио­

нарной дискретной линейной системы совпадает с ранее введен­

ной передаточной функцией,

определяемой формулой

(5.3.12):

Ф (s,

0) = Ф (s).

(5.3.32)

Рассматривая передаточную функцию стационарной дискрет­ ной линейной системы с непрерывным выходом как функцию

параметра z = esTn, можно

переписать

формулу

(5.3.31)

в виде

 

СО

 

 

 

 

W ( Z , е)=

2

Wm (е) z-m

(0 ^ 8 < 1 ).

(5.3.33)

 

т = 0

 

 

 

 

Формула (5.3.12)

может быть получена из

общей

форму­

лы (2.4.6), если заменить в ней весовую функцию w (|)

линейной

комбинацией 6-функций:

 

СО

 

ш (|)= 2 wm8 (l— mTn).

(5.3.34)

7 7 1 = 0

 

Иными словами, и для дискретной стационарной линейной систе­ мы передаточная функция является преобразованием Лапласа ее весовой функции. Преобразование Лапласа линейной комбина­ ции (5.3.34) 6-функций, которое, само собой разумеется, является частным случаем преобразования Лапласа, называется дискрет­ ным преобразованием Лапласа числовой последовательности wm. По аналогии функцию (z), определяемую формулой (5.3.14), обычно называют z-преобразованием последовательности весовых коэффициентов wm. Для нахождения передаточных функций ста­ ционарных дискретных линейных систем по их весовым коэффи­ циентам и наоборот можно пользоваться имеющимися таблицами дискретного преобразования Лапласа и z-преобразования [72].

П р и м е р 5.3.3. Найти весовые коэффициенты wm (е) и передаточную функцию ¥ (z, е) дискретной системы, рассмотренной в примере 5.2.2.

Полагая в формуле (5.2.23) t = 1Тп + еТп, tk — kTn, I — к = т, полу­ чим выражение для весовых коэффициентов wm (е):

f

&(1 —zf)

при

о <; e

у,

 

wo(e) = gh (kTa + ETn) = \

\

'

 

 

 

 

I

fczf(*rv- 1)

при

у < e <

1,

(5.3.35)

wm (e) = gft (lTn + еГп) = fczf+E (zf7- 1 ) (m= 1, 2, ...).

Смотрите также файлы