Файл: Основы автоматического управления..pdf

Подставляя эти выражения в формулу (5.3.33), находим передаточную функцию системы:

Y(*, е) = к (l- zb + k zU z ^ - i) 2 =

7П= 1

—у .

= к (1—zf) + fczj+e ^ — -— при 0 < е < ѵ ,

(5.3.36)

оо

m=0

при y < s < l .

Полагая в первой формуле (5.3.36) е = 0, получим ранее выведенную формулу (5.3.22).

§ 5.4. Стационарные дискретные линейные системы, описываемые разностными уравнениями

Рассматривая входную и выходную переменные дискретной системы только в определенные моменты времени th = кТа (к = 0, ± 1, ± 2 , . . .), мы лишаемся возможности давать времени бесконечно близкие значения и совершать предельные переходы, неограниченно сближая эти значения. Вследствие этого стано­ вится неудобным характеризовать скорость изменения функции ее производной. Поэтому, изучая поведение дискретных систем лишь в определенные равноотстоящие моменты времени, целе­ сообразно вместо производных ввести конечные разности

функций.

Разностью первого порядка или первой разностью функции / (t)

называется ее приращение при изменении аргумента на данную величину Тп:

Таким образом, пользуясь понятием конечной разности функции, можно определить ее разности любых порядков рекуррентным

§ 5.4. СИСТЕМ Ы , ОПИСЫ ВАЕМ Ы Е РА ЗН О С ТН Ы М И У РА В Н ЕН И Я М И 219

соотношением

Очевидно, что все разности функции могут быть выражены через ее значения fh, fh+i, /м-2 > • • • Действительно, из (5.4.4) и (5.4.3) следует, что

A2/fc = fh+2 — 2fk+i + fh-

Подставляя это выражение в формулу (5.4.5) при 1 — 3, находим

А3fk — fh+3 — 3fk+2 + 3/fe+i — fh-

Пользуясь методом полной математической индукции, легко получаем следующую общую формулу:

где С1} — биномиальные коэффициенты.

Соотношение, связывающее значения неизвестной функции fk и ее разностей различных порядков Afh, А2/ ь, . . ., называется

уравнением в конечных разностях или разностным уравнением.

Если это соотношение линейно, то оно представляет собой линей­

ное разностное уравнение.

Разностное уравнение может содержать или значения неиз­ вестной функции и ее разностей различных порядков при одном и том же значении аргумента t = кТ п, или значения неизвестной функции при различных равноотстоящих значениях аргумента. При помощи формул (5.4.3), (5.4.5) и (5.4.6) можно преобразовать разностное уравнение из одной формы в другую.

Разностное уравнение, содержащее разности неизвестной функ­ ции до порядка п или значения неизвестной функции от fh до fh+n, называется разностным уравнением п-го порядка.

Если поведение дискретной линейной системы описывается разностным уравнением, то на основании изложенного это урав­

чтобы дискретная линейная система, описываемая разностным уравнением (5.4.7), была стационарной, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты уравнения (5.4.7) были постоянными.

Разностное уравнение (5.4.7) может быть записано в оператор­ ной форме. Для этого введем оператор сдвига V» определяющий

Полагая в этой формуле t = кТп, получим Ѵ/ь = fk+i и вообще

На основании этой формулы уравнение (5.4.7) можно предста­ вить в компактной форме:

где Р (V) и Q (V) — полиномы относительно оператора сдвига:

Найдем передаточную функцию стационарной дискретной линейной системы, описываемой разностным уравнением (5.4.10). По определению передаточной функции Y (z) стационарной дискретной линейной системы ее реакция на показательное воз­

мущение X (2) = est, xk = eshTn определяется формулой

yh = W(z)eshTп.

Подставляя это выражение и соответствующее выражение входной переменной хк = eshTn в уравнение (5.4.10), приведем его к виду

Но

Ve*ftTn= Ves<ft= es(tfe+Tn) = esTnesftTn

или, вследствие (5.3.13),

Таким образом, применение операции сдвига к показательной функции сводится к умножению ее на величину z, и мы получаем

На основании формулы (5.4.14) мы можем заменить в уравне­ нии (5.4.12) оператор сдвига V величиной z. Тогда получим сле­ дующее линейное алгебраическое уравнение для искомой переда­ точной функции Т (z):

W(z)P(z) eahT*=:Q(z)eshTп.

Сокращая это уравнение на еs k T п и решая его, получим следую­ щую формулу для передаточной функции системы, описываемой разностным уравнением (5.4.10):

§ 5.4. СИСТЕМ Ы , О ПИСЫ ВАЕМ Ы Е РА ЗН О С ТН Ы М И У РА В Н ЕН И Я М И 221

Таким образом, передаточная функция стационарной дискрет­ ной линейной системы, поведение которой описывается разност­ ным уравнением, всегда является дробно-рациональной функцией переменной z =' esTn.

Мы видим, что передаточные функции стационарных дискрет­ ных линейных систем, описываемых разностными уравнениями, определяются совершенно так же, как и передаточные функции непрерывных стационарных линейных систем, описываемых диф­ ференциальными уравнениями. В случае непрерывной системы оператор дифференцирования в дифференциальном уравнении заменяется параметром показательной функции s, а в случае дискретной системы оператор сдвига в разностном уравнении заменяется величиной z = esTn. В обоих случаях в результате получается алгебраическое уравнение для передаточной функции системы. Заметим, что операторы дифференцирования и сдвига

В данном случае еТи° является сокращенной формой записи тех операций, которые необходимо произвести над значением функ­

Сравнивая эту формулу с (5.3.13), убеждаемся в том, что опера­ торы сдвига и дифференцирования связаны тем же соотношением, что и величины z и s.

Определим теперь передаточную функцию Т (z) стационарной дискретной линейной системы, представляющей собой последова­ тельное соединение импульсного элемента и непрерывной ста­ ционарной линейной системы, описываемой дифференциальным