ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 396
Скачиваний: 15
§ 7.2. ОБЩ ИЕ М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ |
265 |
Согласно определению корреляционной функции случайной функции
м [х° (т) х° (т')1 = к х (т, т'), М[У° (t) У° (01 = Ку (г, г')-
Подставляя эти выражения в формулу (7.2.5), получим следующую зависимость между корреляционными функциями входной и выход ной переменных физически возможной линейной системы:
і |
V |
|
|
Ky (t, 0 = j |
j |
T)g(*'> t')K x (x, x')dxdx'. |
(7.2.6) |
io |
io |
|
|
Для определения дисперсии выходной переменной линейной системы достаточно положить в формуле (7.2.6) t' = t. Тогда получим
і |
і |
|
Dy (t) = Ky (t, t)= j |
j g{t, X)g(t, x')Kx (x, x')dxdx'. |
(7.2.7) |
io |
io |
|
Эта формула показывает, что для вычисления дисперсии выход ной переменной линейной системы необходимо знать корреляцион ную функцию входного случайного возмущения. Знания диспер сии входной переменной недостаточно для определения дисперсии выходной переменной.
Общие формулы для математических ожиданий, корреляцион ных функций и дисперсий выходных переменных любых линейных
систем, в |
том числе и физически невозможных, отличаются |
от (7.2.2), |
(7.2.6) и (7.2.7) только тем, что вместо интегралов |
в конечных пределах в них фигурируют интегралы в пределах от —оо до оо.
Таким образом, задача исследования точности линейных систем решается принципиально очень просто. Достаточно знать математическое ожидание и корреляционную функцию входного случайного возмущения и весовую функцию линейной системы. Тогда определение математического ожидания и дисперсии выход ной переменной системы сведется к вычислению интегралов, что может быть сделано любым известным способом, точным или приближенным.
Формулы (7.2.2), (7.2.6) и (7.2.7) справедливы для любых линейных систем. В частности, они справедливы и для дискретных линейных систем. Согласно изложенному в § 5.2 весовая функция физически возможной дискретной линейной системы представляет собой линейную комбинацию б-функций:
g(t, х)= 2 gh(t)b(x — tn). i-sSt
266 г л . 7. М ЕТО ДЫ И СС ЛЕДО ВА Н И Я ТО ЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Подставляя это выражение в формулы (7.2.2), (7.2.6) и (7.2.7), получим соответственно следующие формулы для математиче ского ожидания, корреляционной функции и дисперсии выходной переменной дискретной линейной системы:
my (*) = S 8h (t) тх (th), |
|
(7.2.8) |
= to^th<:i to^th^t’8h (t) §h{t ) &x {thi |
th)i |
(7.2.9) |
|
||
-) — to^th, th<t 8h {t) 8h (t) Kx |
|
(7.2.10) |
|
|
П р и м е р 7.2.1. Найти математическое ожидание и дисперсию выход ной переменной апериодического звена (например, цепочки RC), предпола гая, что на входе этого звена, начиная с момента t0, действует возмущение, представляющее собой стационарную случайную функцию с математическим ожиданием тх и корреляционной функцией
K x (t, i') = fc * (* -0 = ö e - e|f" t'1. |
(7.2.11) |
Подставляя в формулу (7.2.2) выражение (4.4.33) весовой функции апериодического звена, находим математическое ожидание выходной пере менной:
і |
^ І - Х |
_ t-<0 |
|
ту{*) = Щ г - ^ е |
Т dx = kmx {i —e |
1 ). |
(7.2.12) |
*0
Подставляя выражение (4.4.33) весовой функции и выражение (7.2.11) кор реляционной функции в формулу (7.2.7), находим дисперсию выходной пере менной:
kW } Г - - Ц Д - - - Ц £ - - “Іт-т'|
ö» ( 0 = - y r J J e г |
г |
dTdт. |
(7.2.13) |
<0 to |
|
|
|
Для вычисления этого интеграла разобьем интервал интегрирования по пере менной т' на две части: (і0, т) и (т, t). Тогда получим
|
21 |
t |
% т+т' |
. „ |
t х+х' |
|
dx' |
^ dx- |
Dy^t) = ~ e |
T |
j |
I j Г ^ " |
аТ'"X)dx'+ j e T |
|
|||
|
|
|
|
|
X |
|
•'} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kW |
|
|
(4 + « )(* -‘o) |
- |
-=r(<-to) |
}. |
(7.2.14) |
|
|
{l —aT — 2e |
|
+ (1+ аТ)е |
r |
||||
Для исследования точности линейных систем можно так же применить метод канонических представлений случайных функций. Если выразить входное случайное возмущение X (t)
§ 7.2. ОБЩ ИЕ М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ |
267 |
каким-либо каноническим разложением *):
X (t) = шх (t) -)- 2 Vvxv (t), |
(7.2.15) |
V
то на основании принципа суперпозиции выходная переменная линейной системы выразится таким же каноническим разложе нием:
Y(t) = mJI(t) + '2i Vvyv{t), |
(7.2.16) |
V
где функции ту (I), уѵ (t) представляют собой соответственно результаты преобразования рассматриваемой системой функций тх (t), z v (t). Таким образом, обозначая оператор линейной систе мы буквой А, можем написать
my (t) |
= Апгх (t), |
(7.2.17) |
Уѵ (t) |
= A x v (0- |
(7.2.18) |
После нахождения координатных функций уѵ корреляционная функция и дисперсия выходной переменной Y определяются по известным общим формулам теории случайных функций:
Ky(t, <') = |
2Яѵг/ѵ(г)уЖ)> |
(7.2.19) |
Я»(*) = |
2VД,І0ѵ(<)Г- |
(7.2.20) |
|
V |
|
Для нахождения функций my (t) и уѵ (<) можно пользоваться различными методами в зависимости от того, какие характеристи ки линейной системы заданы. Если известна весовая функция системы, то математическое ожидание и координатные функции выходной переменной системы можно определить, пользуясь общей формулой (2.2.5), связывающей входную и выходную пере менные линейной системы. В результате получим для математиче ского ожидания выходной переменной ту (t) формулу (7.2.2), а для координатных функций y v (t) получим аналогичную формулу:
уѵ (t)= jі |
g(t, x)xv (x)dx. |
(7.2.21) |
to |
|
|
Если весовая функция системы неизвестна и оператор системы задан уравнениями, описывающими поведение системы (диффе ренциальными, разностными или любыми другими), то теми же самыми уравнениями на основании принципа суперпозиции опре деляются математические ожидания и соответствующие коорди-
*) См. учебник по теории вероятностей В. С. Пугачева [54], § 6.2 или
[53], гл. 9.
268 ГЛ . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
натные функции входящих в уравнения переменных. Иными сло вами, для определения математических ожиданий выходных пере менных линейной системы следует заменить в уравнениях этой системы все переменные, как известные, так и неизвестные, их математическими ожиданиями и решить полученные уравнения. Для определения координатных функций выходных переменных линейной системы следует заменить в уравнениях этой системы все переменные соответствующими координатными функциями п решить полученные уравнения.
При практическом применении этого метода необходимо иметь в виду, что если в уравнения, описывающие поведение системы, входят в виде слагаемых известные функции времени (т. е. дей ствующие на систему неслучайные возмущения), то их следует рассматривать как случайные функции с нулевыми дисперсиями и нулевыми координатными функциями. Поэтому при составлении уравнений для определения координатных функций выходных переменных необходимо отбрасывать все неслучайные возмуще ния, т. е. известные функции времени, входящие в уравнения системы в виде слагаемых. В уравнениях для математических ожиданий переменных все такие неслучайные функции времени необходимо сохранить.
П р и м е р 7.2.2. Движение самолета или крылатой ракеты в верти кальной плоскости в режиме прямолинейного горизонтального полета с уче том ветра описывается приближенными дифференциальными уравнениями
••
у= ѵѲ, Ѳ=Ааа-\-Аа
► (7.2.22)
а -jj- + c 0 — cfiS,
а
где W — вертикальная составляющая вектора скорости ветра, а остальные обозначения — те же, что в § 3.16. При полете в неспокойной атмосфере (а она практически всегда неспокойна в той или иной степени) действующая на самолет или ракету вертикальная скорость ветра, вызывающая «болтанку», является случайной функцией времени *). Вследствие этого и все остальные переменные, входящие в уравнения движения (7.2.22), являются случайными функциями времени. Если скорость полета ѵ считать известной функцией времени, что обычно всегда возможно, то все коэффициенты при переменных
Ѳ, а , а, б, W, W в уравнениях (7.2.22) будут известными функциями времени (в частном случае при ѵ = const — постоянными). Слагаемое —g/v во втором уравнении и слагаемое с0 — cgб в третьем уравнении при полете с закреплен ным рулем (б = const) будут также известными функциями времени, играю щими роль неслучайных возмущений. Согласно изложенному, для матема-
*) Строго говоря, скорость ветра является случайной функцией времени и координат точки пространства. Однако при полете летательного аппарата его координаты являются функциями времени. Вследствие этого действую щий на летательный аппарат ветер можно рассматривать как случайную функцию времени.
§ 7.2. ОБЩ ИЕ М ЕТО ДЫ И С С Л ЕД О В А Н И Я ТОЧН О СТИ |
269 |
тпческих ожиданий элементов движения самолета или ракеты получаем уравнения
|
.= i>mg, |
тѳ= Аата -)-Аа - |
|
|
||
|
|
/ Ar* * |
|
W'UI л |
О I |
► (7.2.23) |
• ■ |
• |
\ |
s |
|||
m a + |
c .m a -\-ca m a = |
^ —— г — caJ |
— ----- Aa —- |
(-c0— c60 . |
||
В уравнениях для координатных функций переменных уѵ (г), Ѳѵ (г), а ѵ (г) следует отбросить неслучайные возмущения —g/v и с0 — сбб, так как их координатные функции равны нулю. В результате получим уравнения
У ѵ — г Ѳ ѵ , — A a C C v ~ { ~ A a ^ ,
, |
• . |
/ A„a • |
\ wv |
. wv |
>■ (7.2.24) |
|
(V = l, 2, ...)• |
||||||
«V + |
c.® v + ca a v - |
\ ~~v~ V |
C“ / ------ " a ~ v~ |
|||
|
||||||
>
В случае, когда оператор системы задан уравнениями, для полного определения поведения системы необходимо задать еще начальные условия, т. е. начальные значения переменных и их производных или конечных разностей определенных порядков.
Если начальные условия заданы и не являются случайными, то их следует учитывать только при решении уравнений, опре деляющих математические ожидания переменных. А именно урав нения для математических ожиданий переменных всегда следует решать при тех же неслучайных начальных условиях, при кото рых рассматривается поведение системы. Уравнения для коорди натных функций всегда должны решаться при нулевых начальных условиях. Это видно непосредственно из формулы (7.2.16). Началь ные значения функции Y (і) и ее производных или конечных разно стей до определенного порядка в момент t0 могут быть неслу чайными только в том случае, когда начальные значения всех координатных функций у ѵ (t) и их производных или конечных разностей соответствующих порядков равны нулю.
Если поведение системы рассматривается при случайных начальных условиях, то движение системы в силу принципа супер позиции можно рассматривать как сумму двух движений: движе ния, вызываемого постоянным действием входных случайных возмущений, при начальных значениях переменных и их произ водных или конечных разностей, равных математическим ожида ниям случайных начальных значений соответствующих пере менных, и свободного движения, вызываемого случайными откло нениями начальных значений переменных от их математических ожиданий.
Первое движение исследуется так же, как движение системы при неслучайных начальных условиях: уравнения для математи ческих ожиданий переменных решаются при начальных значе
