ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 401
Скачиваний: 15
270 ГЛ . 7. М ЕТО ДЫ И СС Л ЕД О ВА Н И Я ТО ЧН О С ТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
ниях переменных, равных математическим ожиданиям случайных начальных значений соответствующих переменных, а уравнения для координатных функций решаются при нулевых начальных условиях. После нахождения координатных функций корреля ционные функции и дисперсии интересующих нас переменных вычисляются по формулам (7.2.19) и (7.2.20) соответственно.
Второе движение, вызываемое случайными отклонениями начальных условий от их математических ожиданий, исследуется путем решения соответствующих однородных уравнений, т. е. уравнений, описывающих поведение исследуемой системы при отсутствии входных возмущений, с учетом случайных началь ных условий. В результате все переменные, входящие в уравне ния системы, определятся как линейные функции начальных значений переменных и их производных или конечных разностей, которые являются обычными случайными величинами. Поэтому дисперсии и корреляционные функции интересующих нас перемен ных легко вычисляются по известным формулам теории вероят ностей для линейных функций случайных величин.
Для определения дисперсий и корреляционных функций переменных, соответствующих суммарному движению системы, следует воспользоваться формулами для дисперсии и корреля ционной функции суммы двух случайных функций. Так как случайные начальные условия в задачах практики обычно всегда независимы от входных случайных возмущений, то для вычисле ния дисперсий и корреляционных функций интересующих нас переменных в суммарном движении системы под действием вход ных случайных возмущений и случайных начальных условий достаточно сложить соответственно дисперсии и корреляционные функции переменных в движении под действием входных случай ных возмущений и тех же переменных в движении, вызываемом случайными отклонениями начальных условий от их математи ческих ожиданий.
П р и м е р 7.2.3. В условиях примера 7.2.2, рассматривая движение самолета или крылатой ракеты при заданных неслучайных начальных условиях
t = t0, у = Уо, Ѳ = ѳ0, а = а 0, а = а 0, |
(7.2.25) |
мы должны, согласно изложенному, интегрировать уравнения (7.2.23) для математических ожиданий переменных при тех же начальных условиях:
<= <0, тпу = у0, т ѳ = Ѳ0, ma = a0, т . = а 0. |
(7.2.26) |
а
Уравнения (7.2.24) для координатных функций всегда необходимо интегри ровать при нулевых начальных условиях:
t = t0, уѵ = Ѳѵ = а ѵ = а ѵ = 0 |
(ѵ=1, 2, ...) . |
(7.2.27) |
Если начальные значения переменных у, Ѳ, а, а случайны, то движение самолета или ракеты следует рассматривать как сумму двух движений: дви
§ 7.2. ОБЩ ИЕ М ЕТО ДЫ И ССЛЕД О ВА Н И Я ТОЧН О СТИ |
271 |
жения, определяемого дифференциальными уравнениями (7.2.22) с заменой в них переменных у, 0, а переменными і/*1), Ѳ(1>, а (1) при начальных условиях
t = t0, У а ) = туо, Ѳ<і) = т 0о, а (1>= т ао, а ^ = т , (7.2.28)
и свободного движения, определяемого соответствующими однородными уравнениями
j(2) |
= l?0<2)) 0<2) = |
лаа<2), |
а<2>+ с.і<2> + саа<2>==0 |
(7.2.29) |
|
|
|
а |
|
при центрированных случайных начальных условиях |
|
|||
< = |
/„, j,<2)= „o, |
Ѳ<2)= 0°, |
a<2) = a«, â<2>= â». |
(7.2.30) |
Для исследования первого движения следует интегрировать уравне ния (7.2.23) для математических ожиданий при начальных условиях (7.2.28).
Врезультате будут определены математические ожидания переменных у, 0,
ав суммарном движении, так как математические ожидания переменных г/(2>, Ѳ<2>, а<2) в свободном движении при начальных условиях (7.2.30) равны нулю. После интегрирования уравнений (7.2.24) для координатных функций
при нулевых начальных условиях (7.2.27) дисперсии интересующих нас пере менных, например, отклонения по высоте г/(1>(г), определяются по фор муле (7.2.20):
ö iy< i) ( 0 = S ö v](/vW I2- |
(7.2.31) |
V
Для исследования второго движения необходимо проинтегрировать урав нения (7.2.29) при начальных условиях (7.2.30). В результате получим инте ресующие нас переменные, папример отклонение по высоте гД2) (г), как линейные комбинации начальных значений переменных:
У<2) (0 = УоУу (0 + ѲЦі/о («) + ajjy0 (f) + а%у. (г), |
(7.2.32) |
а
где уу (<), уѳ (t), уа (і), у • (г) — некоторые вполне определенные функции вре
мени t. Пользуясь известными формулами теории вероятностей для линей ных функций случайных величин, находим дисперсию величины г/<2>(t), счи
тая для простоты начальные значения yg, 0J[, а[], а§ некоррелированными:
^ ( 2 , ( 0 = D y * ( 0 + ^Ѳцг/ѳ №+ D a j i a (0 + D • г/2- (0 • |
(7.2.33) |
cto а
Считая случайные начальные значения переменных у0, 00, а 0, а 0 незави симыми от случайной скорости ветра W, найдем дисперсию отклонения по высоте в суммарном движении с учетом как действующего на самолет или ракету ветра, так и случайных начальных условий по формуле
Dy(0 = Dy(»(t)+DyW (0- |
(7.2.34) |
Совершенно аналогично, выразив входное случайное возму щение интегральным каноническим представлением (см. [54], § 6.5 или [53], § 67)
Ä-2 |
(7.2.35) |
X (t) = тх (і) + j V (^) X (t, X) dX, |
Яі
272 ГЛ . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
получим в силу принципа суперпозиции в интегральной форме аналогичное интегральное каноническое представление выходной переменной линейной системы:
?.2 |
|
|
Y (/) = ту (t) + j |
V (к) у (t, к) dk, |
(7.2.36) |
и |
|
|
где у (t, к) при каждом данном значении параметра к есть резуль тат прохождения через данную систему соответствующей коорди
натной функции X (t, к): |
|
у (t, к) = A tx (t, к). |
(7.3.37) |
В зависимости от того, как задан оператор линейной системы, функции у (t, X) определяются различными изложенными выше
способами. В частности, если задана |
весовая |
функция системы |
||||
g (t, г), координатные |
функции |
у (t, |
^) |
определяются |
формулой |
|
|
t |
|
|
|
|
|
y(t, |
к)= j g(t, |
т)х(т, |
k)dx, |
|
(7.2.38) |
|
io
аналогичной формуле (7.2.21).
Если оператор системы задан уравнениями, то координатные функции у (t, Я) определяются теми же уравнениями, в которых все переменные заменены соответствующими координатными функциями при данном значении к, при нулевых начальных условиях.
После нахождения координатных функций у (t, к) корреля ционная функция и дисперсия выходной переменной исследуемой линейной системы определяются на основании известных общих формул теории случайных функций (см., например, [54], § 6.5)
следующими формулами: |
|
|
|
Ку (t, t') = j G (к) у (t, |
к) y(t', |
к) dk, |
(7.2.39) |
Ь-l |
|
|
|
Dy (t)= ^G(k)\y(t, |
k)\*dk, |
|
(7.2.40) |
Xl |
|
|
|
где G (k) — интенсивность белого шума V {к) |
в формуле (7.2.35). |
||
При практическом применении метода интегральных кано нических представлений для исследования точности линейных систем часто оказывается невозможным определить функции у (<, к) аналитическими методами для всех значений параметра к. В таких случаях интегралы (7.2.39) и (7.2.40) приходится находить численными или графическими методами. При этом необходимо предварительно определить функции у (t, Я.) для конечного числа
§ 7.2. ОБЩ ИЕ М ЕТО ДЫ И СС Л ЕД О ВА Н И Я ТО ЧН О СТИ |
273 |
значений параметра X, что можно сделать, пользуясь теми же методами, с помощью которых находятся координатные функции канонического разложения уѵ (t).
Метод канонических разложений дает возможность использо вать для исследования точности линейной системы саму систему, или ее действующий макет, или модель. Подавая на вход системы по очереди в достаточно большом масштабе функции mx (t) и хѵ (t)
[или х (t, Я,)], |
получим на выходе соответствующие |
функции |
ту (t) и y v (t) [или у («, Я)]. |
в случае |
|
Аналогично |
определяются функции my {t), y v (t) |
|
задания других характеристик линейной системы. Так, например, если задана частотная характеристика линейной системы, то функ ции ту (t), y v (t) могут быть определены по формулам (2.3.2) и (2.3.13), в которых функция x(t) должна быть заменена соответ ствующей функцией тпх (f), х ч (t), а у (t) — функцией тпу (t),
Уѵ (*)•
Мы видим, таким образом, что функции тпу (t) и yv (t) опреде ляются различными способами в зависимости от того, как задан оператор исследуемой линейной системы.
П р и м е р 7.2.4. Решить задачу, рассмотренную в примере 7.2.1, методом интегральных канонических представлений.
Входное случайное возмущение X (t) в данном случае представляет собой стационарную случайную функцию времени t. Следовательно, оно
может быть выражено интегральным каноническим представлением (см. [54], §§ 5.3 и 6.5)
ОО |
|
X(t) = mx + j P(<o)eia tdt, |
(7.2.41) |
— ОО
координатными функциями которого являются показательные функции еіа<, выражающие гармонические колебания всех возможных частот. При этом интенсивность белого шума V (со), представляющая собой спектральпую плотность случайной функции X (I), определяется формулой
G(со) = sx (со) = — —2~?—л |
• |
(7.2.42) |
' |
я а 2+со2 |
|
|
Подставляя это выражение в (7.2.40) и принимая во внимание, что частота со, играющая в данном случае роль параметра X, изменяется в пределах (—оо, сг.), получим следующую формулу для дисперсии выходной перемен ной системы:
ОО
I у (t, (о) I2 cfco |
|
(7.2.43) |
|
ос2 + со2 |
’ |
||
|
где функция у (f, со) представляет собой реакцию рассматриваемой системы
на гармонические колебания еші, действующие на нее начиная с момента t0. Для определения функций у (t, со), соответствующих всем возможным значениям частоты ы, можно, согласно изложенному, применить различные методы. Подставляя в формулу (7.2.38) выражение (4.4.33) весовой функции18
18 Под ред. В. С. П угачева
