Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл (24,30Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 402

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

274 ГЛ . 7. М ЕТО ДЫ И СС ЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

g (t, т) и принимая во	внимание,		что х (т, со) = еш ,		получим
t	і-т	+гшт		t - t o • +ІС0І0
	1			к[еШ — е	]	(7.2.44)
			dx=	І + Ггсо

Подставляя это выражение в (7.2.43), найдем дисперсию выходной перемен ной У (t):

оо	t - t o	, . .
оо	гші_ ----- —----'1	f-гиіо \|2
w - * ? - j	(а2+ со2) (1+ Т2а>2) da>'		(7.2.45)

Наконец, выразив показательные функции по формуле Эйлера через триго нометрические функции, приведем формулу (7.2.45) к действительной форме:

		(-<о				t - t o
	(cos (ät— е	т	cos <Щ0)2 +	(sin cot— e		T sin ай0)2 ^ _
			(a2 + (02)(l + r 2 m2 )
		t - t p		_ 2 ( t - t p )
k2Da	1 — 2e	T	COSO)(f— fo) + «		T	(7.2.46)
n		(а2+ со2) (1 +		T2(o2)		(7.2.46)
n		(а2+ со2) (1 +		T2(o2)

В результате вычисления интеграла в этой формуле снова получается фор

мула (7.2.14).

Координатные функции у (t, со) на основании изложенного можно также определить как интеграл уравнения рассматриваемой системы, в котором входная и выходная переменные заменены соответствующими координатными функциями X (t, со) и у («, со). В результате получаем дифференциальное

уравнение
Ty[(t, со)+ у (t, (0) = ксш .	(7.2.47)

Функция у (t, со) представляет собой интеграл уравнения (7.2.47) при нулевом начальном условии у (<„, со)= 0. Этот интеграл выражается формулой (7.2.44), выведенной ранее другим способом.

П р и м е р 7.2.5. Для изучения поведения системы, рассмотренной в пре дыдущем примере, при случайном начальном условии У (г) = У0, шуо = О

необходимо к движению системы, исследованному в предыдущем примере, добавить свободное движение, определяемое соответствующим однородным уравнением и случайным начальным условием

ГУ<2>+У<2>= 0, У<2>(г0) = У0.		(7.2.48)
Интеграл этого уравнения, удовлетворяющий начальному условию,		опреде
ляется формулой	<-*»
_	<-*»
у (2) (t) = Y 0e	т .	(7.2.49)

Дисперсия этого интеграла определяется формулой

- 2

ß„«*.(0 = ^ o*

т .

(7.2.50)

§ 7.2. ОБЩ ИЕ М ЕТО ДЫ И ССЛЕД О ВА Н И Я ТОЧН О СТИ

275

Дисперсия D (1) («) выходной переменной системы под действием вход

ного случайного возмущения при нулевом начальном условии определяется формулой (7.2.45), выведенной в предыдущем примере. Суммируя дисперсии Ь уШ и Dy m , получим следующее выражение дисперсии выходной перемен

ной рассматриваемой системы при случайном начальном условии:

- 2 t- t о	k2Da	«-«о	+ico«o
		\eiat		(7.2.51)
Dy ( 0 =- D V 0 e		(«2+0)2) (1 + Г2ш2) da.

П р и м е р 7.2.6. Найти математическое ожидание и дисперсию выход ной переменной апериодического звена, на которое действует нестационар ное случайное возмущение X («), представляющее собой произведение данной функции / (г) на стационарную случайную функцию времени Хі (<) с показа тельной корреляционной функцией, которая выражается формулой (7.2.11), и математическим ожиданием тХі. В данном случае легко находится интег

ральное каноническое представление входного случайного возмущения. Так как любая стационарная случайная функция выражается интегральным кано ническим представлением в виде интеграла Фурье (7.2.41), то случайная функ ция X (і) выражается интегральным каноническим представлением вида

оо
X («) = mxif («)+ j V(a)f(t)eiatda,	(7.2.52)

— ОО

Координатные функции этого интегрального канонического представления определяются формулой

	г («, со) = /	(«) еш ,	(7.2.53)
т. е. представляют	собой произведения	показательных	функций на одну
и ту же функцию	/ («).

Подставляя выражение (4.4.33) весовой функции апериодического звена и выражение mxJ (t) математического ожидания входной переменной в фор-

МУЛУ (7.2.2), находим математическое ожидание выходной переменной У:

кт.	* - <~т	(7.2.54)
	т / (X) dx.	(7.2.54)

Подставляя выражение (4.4.33) весовой функции и выражение (7.2.53) коор

динатных функций X («, со) в формулу (7.2.38), находим координатные функ ции выходной переменной У:

к	«	«—т
к	С	-----+шт	/ (т) dx.	(7.2.55)
y(t,a) = y	j e	т	/ (т) dx.	(7.2.55)

Эти координатные функции можно также определить как интеграл диффе ренциального уравнения

Ty't (t, со) + y(t, со)= к} (t) ei(at,	(7.2.56)
Удовлетворяющий нулевому начальному условию у («0, со) =	0.
Чтобы дать пример аналитического решения задачи до конца, рассмотрим
теперь частный случай, когда
f («) =	(7.2.57)

18*

276 гл. 7.	М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х				СИСТЕМ
Подставляя	это выражение в формулы			(7.2.54) и (7.2.55),	получим
	кт,		t-x +цт	t-t о +ц<о
	кт,		t-x +цт	km [е^ — е	(7.2.58)
тѵ (t) = -			d x = -	І + Уіі	(7.2.58)
				І + Уіі
	t	t - x	(ц+ІО))тл _	t-t 0 +-(д+ш)(о
			(ц+ІО))тл _	T

l+ y ((AH-ioj)

«о

(7.2.59)

Подставляя последнее выражение в формулу (7.2.43), получим следующую формулу для дисперсии выходной переменной Y :

				t—to		■+(H+«0)tO
	k z D a		, ( \ i + i a > ) t _ e	Т		■+(H+«0)tO
	k z D a	С 1e'					dü>
D y (t) — ■			(а2+ со2) [ ( \ + Т ^ + Т ^ \				dü>
	*	)	(а2+ со2) [ ( \ + Т ^ + Т ^ \
		— ТО
	f e2*“ —2e		t-tn +ЩІ+(о)				- 2 -L JSL +2nto
k 2 D a	f e2*“ —2e		1		COSü>(£— / o ) + e			iw. (7.2.60)
Л	)		(а2 +	со2) [(1 + 7 ’p.)2 +			7’2co2J	iw. (7.2.60)
Л	)		(а2 +	со2) [(1 + 7 ’p.)2 +			7’2co2J

— OO

Дисперсия выходной переменной системы характеризует слу чайный разброс выходной переменной этой системы и может слу жить мерой случайных ошибок системы. Для оценки систематиче ской ошибки системы необходимо вычесть из математического ожидания ее выходной переменной требуемый выходной полез ный сигнал. Предположим, что система должна выполнять задан

ную линейную	операцию	L над входным полезным сигналом
mx (t). Тогда	требуемым	выходным сигналом системы будет

Lmx (t) и систематическая ошибка системы определится формулой

е (t) = т у ( t ) — Lmx ( t ) .

(7.2.61)

В частном случае следящей системы требуемый выходной сигнал системы тождественно равен полезному входному сигналу тх (t) и формула (7.2.61) принимает вид

е (t) = ту (<) — тх (t).

(7.2.62)

Изложенные методы исследования точности линейных систем применимы и к многомерным системам. Если па входах многомер ной линейной системы действуют независимые случайные возму щения, то следует определить одним из изложенных методов математические ожидания и дисперсии выходных переменных для каждого входного возмущения в отдельности. Тогда матема тическое ожидание и дисперсия каждой выходной переменной

§ 7 .2 . ОБЩ ИЕ М ЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ

277

при одновременном действии всех входных случайных возмущений будут равны соответственно сумме математических ожиданий и сумме дисперсий составляющих выходной переменной, вызван ных действием различных входных возмущений.

Если случайные возмущения, действующие на различных входах, коррелированы, то, учитывая сказанное в конце § 2 .2 , векторный выходной сигнал Y (t) следует выразить через вектор ный входной сигнал X (t) и матрицу весовых функций системы g (t, т) той же формулой (7.2.1). Отсюда следует справедливость формулы (7.2.2) для математического ожидания выходного сигнала для многомерных линейных систем. Повторив почти буквально выкладки, приведшие нас к формуле (7.2.6) (с учетом особен ностей матричной алгебры), легко убеждаемся в том, что матрица корреляционных и взаимных корреляционных функций составляю

щих выходного сигнала многомерной линейной системы				К v (t, t')
определяется формулой
	t	t'
Ky(t,	t') = j	j g(t, x)Kx (x, x')g(t',	x'fdxdx',	(7.2.63)
где K x (t, t')	<0	to	взаимных	корреля
где K x (t, t')	— матрица корреляционных и		взаимных	корреля

ционных функций составляющих входного сигнала, а верхний индекс «т» означает операцию транспонирования матрицы [83]. Как и следовало ожидать, в частном случае одномерной системы формула (7.2.63) совпадает с (7.2.6).

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что формулы (7.2.6) и (7.2.63) остаются справедливыми, если заменить в них центральные моменты второго порядка К х (т, т') и К у (t, t') начальными моментами второго порядка Гж(т, т') и Гй (t, t') соответственно.

Аналогично обобщается формула (7.2.9) на многомерные дискретные линейные системы.

Совершенно так же убеждаемся в том, что формулы (7.2.17)— (7.2.19), (7.2.21), (7.2.37)—(7.2.39) справедливы для многомерных линейных систем, если понимать в них векторные координатные функции жѵ (t), у ѵ (t), X (t, X), у (t, X) как матрицы-столбцы, а чер ту как операцию транспонирования матрицы с одновременной заменой всех ее комплексных элементов соответствующими сопря женными величинами.

Заметим в заключение, что все выведенные формулы легко распространяются на физически невозможные линейные системы.

Для	этого достаточно заменить	интегрирование	по переменным
т> х'	по конечному интервалу	интегрированием	по всей число
вой оси.
Более полное изложение методов исследования точности
многомерных линейных систем		читатель может	найти в книге
В- С.	Пугачева [53].

27 8 Г Л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

§ 7.3. Определение установившихся систематических ошибок стационарных линейных систем

Применим изложенный в предыдущем параграфе метод опре деления математических ожиданий выходных переменных линей ных систем к устойчивым стационарным линейным системам, работающим в установившемся режиме (т. е. когда переходный процесс закончился).

Для определения установившегося математического ожида ния стационарной линейной системы следует положить в форму ле (7.2.2) t0= —оо. Тогда, принимая во внимание, что весовая функция стационарной линейной системы зависит только от раз ности ее аргументов, получим

	ОО
ту (t) = j	w(t — x)mx (r)dx = j w(Qmx (t — l) dl. (7.3.1)
—oo	0

Разложим функцию mx (t — £) в ряд Тейлора с центром в точке t\

(7.3.2)

r = 0

Подставляя это выражение в (7.3.1), получим

	(7.3.3)
Величины
ОО
(г = 0, 1, 2, ...)	(7.3.4)
и

обычно называются моментами весовой функции стационарной

линейной системы.

Покажем, что моменты весовой функции очень просто выра жаются через значения передаточной функции системы и ее произ водных в начале координат. Для этого воспользуемся форму лой (2.4.6), на основании которой

ОО

(7.3.5)

Полагая здесь s = О, находим момент нулевого порядка весовой функции стационарной линейной системы:

оо

Р о = j ш ( £ ) ^ = Ф ( 0 ) .

( 7 .3 .6 )