Файл: Основы автоматического управления..pdf

280 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

называется коэффициентом статической ошибки или коэффициен­ том ошибки по положению. Системы, для которых с0 ф 0 , отра­ батывают постоянный сигнал с установившейся постоянной ошиб­ кой, отличной от нуля. В самом деле, при тх (t) = х0 = const формула (7.3.12) дает е = СоХ0.

Системы, для которых с0 = 0, называются астатическими. Астатические системы отрабатывают любой постоянный сигнал

вустановившемся режиме без систематической ошибки. • Величина

Cj ф 0, то система отрабатывает сигнал, изменяющийся с постоян­ ной скоростью, с постоянной установившейся ошибкой. Действи­ тельно, при тх (і) = х 0 + vt, с0 — 0 , Сі Ф 0 установившаяся систематическая ошибка системы согласно (7.3.12) равна е = с4і;.

с постоянным ускорением, с постоянной установившейся ошиб-

кой, так как при тх (t) = х0 + vt-\- at2, с0 = су = 0 , с2 фО

установившаяся систематическая ошибка системы согласно (7.3.12) равна е = с2а.

Для следящей системы Фт (s) = 1 и формулы (7.3.13), (7.3.14),

в начале координат должно быть равно единице.

Формула (7.3.12) показывает, что если первые к + 1 коэф­ фициентов ошибок равны нулю: с0 = = . . . = Ck = 0 , то систе­ ма отрабатывает без установившейся ошибки любые входные сигналы, представляющие собой полиномы не выше чем к-й сте­ пени. Чем большее количество первых коэффициентов ошибок равно нулю, тем более разнообразные полезные сигналы система отрабатывает без установившейся ошибки, т. е. тем совершеннее система с точки зрения передачи полезных сигналов при отсут­ ствии помех. Поэтому среди астатических систем различают астатические системы различных порядков.

Астатической системой первого порядка называется система, для которой с0 = 0, с, ф і . Астатической системой второго порядка называется система, для которой с0 = = 0 , с2 =5^=0 .

И вообще астатической системой к-го порядка называется система,

для которой с0 = Сі = . . . = ch_I = 0, cs ф. 0. Астатические системы первого порядка отрабатывают без установившейся ошибки любые постоянные сигналы. Астатические системы второго порядка отрабатывают без установившейся ошибки любые постоянные сигналы и любые линейные функции времени. Вообще астатиче­ ские системы /і -го порядка отрабатывают без установившейся ошибки любые сигналы, представляющие собой постоянные или полиномы относительно времени не выше к — 1 -й степени.

П р и м е р 7.3.1. Фильтр RC с постоянной времени RC = Т предна­ значен для отфильтровывания от помехи различных полезных сигналов, представляющих собой постоянные величины, или линейные функции вре­ мени, или квадратные трехчлены относительно времени. Найти коэффициенты

ошибок фильтра и установившиеся систематические ошибки. Передаточная функция фильтра определяется формулой

Дифференцируя эту формулу и полагая после этого s = 0, получим Ф (0) = 1, Ф' (0) = —Т, Ф" (0) = 2Т2.

По своему назначению рассматриваемый фильтр является следящей системой.

Поэтому коэффициенты ошибок определяются для него по формулам (7.3.16). В результате находим

Таким образом, рассматриваемый фильтр является астатической системой первого порядка. Для случая полезных сигналов, представляющих собой квадратные полиномы относительно времени:

где величины х0, ѵ и а представляют собой соответственно начальное значе­ ние, начальную скорость (т. е. начальное значение первой производной) и начальное ускорение (т. е. вторую производную) полезного сигнала, фор­ мула (7.3.12) дает следующее выражение установившейся систематической ошибки фильтра:

Пр и м е р 7.3.2. Найти коэффициенты ошибок по положению, скорости

иускорению для следящей системы, исполнительное устройство которой представляет собой двигатель постоянного тока с электромеханической

постоянной времени Т2, а корректирующее дифференцирующее устройство включено в прямую цепь. В этом случае система состоит из последовательно соединенных дифференцирующего звена с передаточной функцией

1 -[- TtS

Ф і («) = * ! 1 + 7V ’

282 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТО ЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

апериодического звена с передаточной функцией

°2(s)= r f e

иинтегрирующего звена, охваченных жесткой отрицательной обратной связью (рис. 7.3.1). Первое из этих звеньев преобразует параметр управления следящей системы, представляющий собой разность между входной и выход­ ной переменными системы. Второе вырабатывает скорость изменения выход­ ной переменной по данному преобразованному (скорректированному) пара­

метру управления. Третье звено вырабатывает выходной сигнал следящей

Рис. 7.3.1.

системы путем интегрирования скорости его изменения. Само собой разу­ меется, второе и третье звенья физически представляют собой одно целое — исполнительное устройство следящей системы.

Передаточная функция рассматриваемой следящей системы, согласно формулам § 4.6, равна

Дифференцируя эту формулу дважды, полагая s = 0 и пользуясь форму­ лами (7.3.16), находим коэффициенты ошибок рассматриваемой следящей системы:

Наконец, пользуясь формулой (7.3.12), находим установившуюся системати­ ческую ошибку рассматриваемой следящей системы для случая входного полезного сигнала, представляющего собой квадратный трехчлен (7.3.19) относительно времени t:

Легко видеть, что для того, чтобы замкнутая следящая система была астатической к-то порядка, достаточно, чтобы передаточная функция разомкнутой системы Ф4 (s) имела в начале координат полюс к-го порядка:

Действительно, из (4.6.8) следует, что передаточная функция замкнутой следящей системы в данном случае выражается фор­ мулой