ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 404
Скачиваний: 15
§ 7.3. УСТА Н О ВИ ВШ И ЕСЯ СИСТЕМ АТИЧЕСКИЕ ОШ И БКИ |
283 |
Так как Tj (s) — аналитическая функция в окрестности начала координат и Т"і (0 ) =^=0 , то при достаточно малых s правая часть формулы (7.3.24) может быть представлена в виде сходящейся геометрической прогрессии
s2 h
Ф (*) = 1 |
Ті (») |
|
Дифференцируя эту формулу к раз и полагая в полученных фор мулах и в (7.3.24) s = 0, убеждаемся в том, что
Ф (0) = |
1, Ф'(0) = |
. . . = Ф < й- 1 >(0) = |
0, Ф,к,(0) = - ^ |5Г. |
||
Подставляя |
эти |
выражения в |
(7.3.16), |
убеждаемся в том, что |
|
в данном случае |
с0 = с4 |
= . . . |
= cfe_t = |
0, ch ф 0 , что и доказы |
|
вает высказанное утверждение.
Заметим, что для справедливости формул (7.3.8) и (7.3.10) необходимо, чтобы входной полезный сигнал тх (t) мог быть ■представлен рядом Тейлора (7.3.2), сходящимся при всех значе ниях Поэтому практически формулы (7.3.8) и (7.3.10) приме нимы только для сигналов, представляющих собой полиномы относительно времени. При этом ввиду того, что для сложных систем частотные характеристики обычно определяются прибли женными методами, чаще всего графически, точное определение производных передаточной функции по существу невозможно. Вследствие этого практическое применение формул (7.3.8) и (7.3.10) обычно ограничивается случаями постоянных полезных сигналов или сигналов, представляющих собой полиномы первой или второй степени относительно времени.
Установившиеся систематические ошибки стационарной линей ной системы можно вычислить также другим методом, если извест
на частотная характеристика системы. |
можно |
|
Предположим, что |
входной полезный сигнал тх (t) |
|
приближенно представить тригонометрическим полиномом |
|
|
|
П |
|
тх (t) = |
а„ + 2 («г cos согг+ Ьг sin соTt). |
(7.3.25) |
|
Г = 1 |
|
Тогда на основании принципа суперпозиции установившееся значение математического ожидания выходной переменной систе мы определится формулой
ту (г) = ф (0) а0+ 2 1Ф (icor) I {агcos [cor£ + arg Ф (ісог)] +
г = 1
+ Ьгsin [cür£-f-arg Ф (шг)]). (7.3.26)
Таким образом, зная амплитудную и фазовую частотные характе ристики стационарной линейной системы, можно весьма просто
284 ГЛ . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
находить ее установившиеся систематические ошибки для любых входных полезных сигналов, которые могут быть приближенно представлены тригонометрическими полиномами.
Формула (7.3.26) легко обобщается на случай сигналов, кото рые можно с достаточной точностью представить суммой синусоид
с амплитудами, изменяющимися по показательному |
закону. |
|
В этом случае |
|
|
П |
|
|
тх (t) = 0 0 ^°*+ S |
е>1'1(агcos ®rt + Ьтsin (£>rt) |
(7.3.27) |
r = |
l |
|
и на основании принципа суперпозиции установившееся значение математического ожидания выходной переменной системы опре делится формулой
ГПу (t) = |
П |
|
|
|
{атcos [cor<+ arg Ф (рг+ |
|
|
= Ф (По) |
+ 2 I ф (Нт+ гюг) I |
icor)] -f |
|
|
-J- br sin [o)rt + arg Ф (pr + гсог)]}. |
(7.3.28) |
|
Для практического вычисления установившихся систематических ошибок стационарных линейных систем формулы (7.3.26) и (7.3.28) во многих случаях оказываются удобнее, чем формула (7.3.8).
§ 7.4. Определение установившейся дисперсии выходной переменной стационарной линейной системы
Из теории случайных функций известно, что любая стационар ная случайная функция X (t) выражается интегральным канони ческим представлением, координатными функциями которого являются функции еш , описывающие гармонические колебания всех возможных частот:
оо
X(t) = mx+ j V (а>) da, |
(7.4.1) |
—оо
где V (со) — белый шум (т. е. случайная функция ю с некоррели рованными значениями при различных значениях (о), интенсив ность которого равна спектральной плотности sx (со) случайной функции X (t) (см. [54], §§ 5.2, 5.3 и 6.5 пли [53], § 76). Вследствие этого для исследования точности стационарной линейной системы, работающей в установившемся режиме под действием входного возмущения, представляющего собой стационарную случайную функцию времени, естественно воспользоваться методом инте гральных канонических представлений и методом частотных характеристик.
§ 7.4. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е УСТА Н О ВИ ВШ ЕЙ СЯ Д И СП ЕРС И И |
285 |
Координатная функция у (t, со) выходной переменной, как установившаяся реакция стационарной линейной системы на гар монические колебания еш , определяется формулой
у (іt, со) = Ф (гео) еш , |
(7.4.2) |
где Ф (гео) — частотная характеристика системы. Подставляя выражение (7.4.2) в формулы (7.2.39) и (7.2.40) и принимая во вни мание, что интенсивность G (со) белого шума V (со) в данном слу чае равна спектральной плотности sx (со) стационарной случайной функции X (t), получим следующие формулы для корреляцион ной функции и дисперсии выходной переменной стационарной линейной системы:
|
ОО |
|
|
Ky(t,t')— ^ |
sx (со) Ф (гео) еіи*Ф (гео) е~ш ' da — |
|
|
|
— ОО |
|
|
|
ОО |
|
|
= |
j |
Мсо)ІФ(йо) |2 *<»<«-*'> d(o, |
(7.4.3) |
|
— ОО |
|
|
|
ОО |
|
|
Dy (t) = |
f |
sx (со) 1Ф (гео) I2 den. |
(7.4.4) |
—ОО
Эти формулы показывают, что при неограниченно долгом дей ствии стационарного случайного возмущения на стационарную линейную систему дисперсия ее выходной переменной постоянна, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Следовательно, выходная переменная стационарной линейной системы, работающей неограниченно долго под действием стацио нарного случайного возмущения, является стационарной случайной функцией времени. Из формул (7.4.3) и (7.4.4) следует, что спек тральная плотность выходной переменной стационарной линейной системы равна произведению квадрата модуля ее частотной харак теристики и спектральной плотности входного стационарного случайного возмущения:
Sy (о) = s* (со) I Ф (гео) I2. |
(7.4.5) |
Для вычисления установившихся дисперсий выходных сигна лов стационарных линейных систем по формуле (7 .4 .4 ) в случае рациональных функций sx («в) и Ф (s) удобно пользоваться фор мулой
00
Г Ь о ( г ю ) 2 п ~ 2 + Ь і ( і ( о ) 2 п ~ 4 + - . . + Ь п - 2 ( і й ) ) 2 + Ь п - і , |
, |
» |
Р п |
1 I ао(1ш)п+ аі (ко) 7 1 - 1 + .. • + °п-і (ссо)-)-ап р аш |
\ 1) |
а0 |
Ап ’ |
(7.4.6)
286 ГЛ . 7. М ЕТО ДЫ И СС ЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
где
С ц |
Cf2 |
■ |
* |
^ І п |
bo |
С1 2 |
• • • |
C in |
|
|
А » = C21 |
с 22 |
• |
• |
С2п I |
D n = b f |
С22 |
• • • |
^2 п |
(7.4.7) |
|
Сп 1 |
£ п 2 • |
• С пп |
b n - 1 |
Сп2 |
* • ■ |
Спп |
|
|||
C p q = a2p-q |
при |
0 < 2 p — q*Cn, |
|
|
|
(7.4.8) |
||||
Срд = 0 |
приТ;2 р — g< 0 |
и при |
2 р — q > n . |
|||||||
|
||||||||||
Для применения формулы (7.4.6) следует представить знаменатель дроби sx (со) I Ф (гео) I3 в виде квадрата модуля полинома относи тельно гсо с неотрицательным» коэффициентами (см. § 7.6), а числитель в виде полинома отно сительно гео (который всегда содержит только четные степени гео). При этом определятся коэф
фициенты а0, Uff |
. . ., ап, Ь0, |
|
bf, . . ., |
1 , после чего можно |
|
будет |
применить |
формулы |
(7.4.6)—(7.4.8). |
|
|
В задачах практики стацио нарная линейная система часто имеет полосу пропускания, уз кую по сравнению с полосой
частот входного возмущения. В таких случаях часто оказывается возможным считать спектральную плотность входного возмущения sx (со) постоянной в пределах полосы пропускания системы и равной,
например, ее значению sx (сор) |
при |
резонансной частоте системы |
|
Юр. Для иллюстрации на рис. |
7.4.1 |
приведены графики функций |
|
I Ф (гео) I2 и sx (о) для этого случая. |
В этом случае формула (7.4.4) |
||
может быть заменена приближенной формулой |
|
||
Dy |
sx ((Op) Aw, |
(7.4.9) |
|
00 |
|
|
|
Дсо= [ |
1Ф (іоо) |2 cZ(o. |
(7.4.10) |
|
Эта величина обычно называется эффективной полосой пропускания
стационарной линейной системы. Таким образом, во многих зада чах исследование точности стационарной линейной системы прак тически сводится к определению ее эффективной полосы пропу скания А со. I» и )-■
Заметим, что применение формулы (7.4.9) по существу равно ценно замене действующего на систему стационарного случайного возмущения белым шумом с постоянной спектральной плот
§ 7.4. |
О П РЕ Д Е Л Е Н И Е У СТАНОВИВШ ЕЙСЯ ДИ СП ЕРС И И |
287 |
ностью sx (сор) |
и интенсивностью 2nsх (а»р) *). Таким |
образом, |
при исследовании действия широкополосного шума на узкополос ную стационарную линейную систему можно с достаточной для практики точностью считать широкополосный шум белым.
Заметим, что формула (7.4.2) справедлива только для случая бесконечно долгого действия гармонических колебаний ега>і на устойчивую стационарную линейную систему. Поэтому и фор мулы (7.4.3), (7.4.4) и (7.4.9) применимы только к случаю беско нечно долгого действия стационарного случайного возмущения на устойчивую стационарную линейную систему. Практически это означает, что формулы (7.4.2), (7.4.3), (7.4.4) и (7.4.9) можно применять только к устойчивым стационарным линейным систе мам, проработавшим под действием ■стационарных случайных возмущений достаточно долго (в течение времени, превосходящего время переходного процесса). К неустойчивым системам, а также к устойчивым стационарным линейным системам, работающим в переходных режимах, формулы (7.4.2), (7.4.3), (7.4.4) и (7.4.9)
неприменимы. Во всех подобных случаях следует пользоваться общими методами, изложенными и проиллюстрированными при мерами в § 7.2. При этом, если поведение стационарной линейной системы описывается дифференциальными уравнениями, то и коор динатные функции выходной переменной у (t, со) будут представ лять собой интегралы дифференциальных уравнений, полученных путем замены входного возмущения в уравнениях системы гармо ническими колебаниями еш , удовлетворяющие нулевым началь ным условиям. Эти интегралы будут представлять собой не чистые гармонические колебания, а результат наложения свободных колебаний на соответствующие гармонические колебания. При этом выходная переменная рассматриваемой системы, как мы видели на примерах § 7.2, уже не будет стационарной случайной функцией. Поэтому теория стационарных случайных функций принципиально недостаточна для исследования точности стацио нарных линейных систем, работающих под действием стационар ных случайных возмущений. Это принципиальное ограничение теории стационарных случайных функций является ее существен ным недостатком и вызывает необходимость изучения и практиче
ского применения теории |
нестационарных случайных функций. |
|
П р и м е р 7.4.1. Решить |
задачу, рассмотренную в примерах |
7.2.1 |
и 7.2.4, для случая неограниченно долгого действия возмущения (<0 = |
—оо). |
|
Подставляя в формулу (7.4.4) выражение (2.6.4) частотной характеристики апериодического звена и выражение (7.2.42) спектральной плотности sx (ш),
*) Из теории случайных функций известно, что стационарная случайная Функция с постоянной спектральной плотностью, равной s0, является ста ционарным белым шумом времени і, интенсивность которого равна 2пч0
(см. [54], § 5.4 или [53], § 76, пример 1).
