Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 407

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

288 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТО ЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

получим

 

 

 

 

n

№Da

f

das

(7.4.11)

 

Ѵ~ ~ П ~

J

( « 2 + 0)2) ( l + 7 2 w 2)

 

 

Применим для вычисления интеграла формулу (7.4.6). Для этого представим

(7.4.11) в

виде

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

к2Da

dm

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

Uy~ я

J

|Г(іш)2 + (1+ а7’)іо) + а |2 -

Отсюда видно, что в данном случае п — 2,

а0 =

Т,

=

1 + аТ, а2 = а,

Ьо = 0, Ьі

= 1.

Формулы

(7.4.8) дают

 

 

 

 

си — “і = 1 + О.Т, с12 — а0 = Т, с2і = О, С22

а2 = а.

После этого по

формулам

(7.4.7) находим

 

 

 

 

 

Ао =

1 +«Г т

= а(1 + а7’),

D2--

0 Г

Г.

 

 

 

О

а

 

 

 

1

а

 

Подставив

эти

выражения

в

(7.4.6),

получим

окончательно

 

 

n

fr2Da /

л ч я

— Г

_

k2D

 

(7.4.12)

 

 

Ѵу = ~іхГ'(' ~ 1)1г a ( i + a T ) ~ l + aT '

Формулу (7.4.12), конечно, можно получить при Т >

0 из более общей

формулы (7.2.14), полагая в ней t0 =

—оо. Однако в случае неустойчивой

системы, когда Т < 0, формула (7.2.14) дает при t0 = —оо бесконечную дисперсию выходной переменной. Этот факт иллюстрирует высказанное выше утверждение о неприменимости формул (7.4.3) и (7.4.4) к неустойчивым системам.

Формулы (7.2.14) и (7.2.51) могут также служить иллюстрацией нашего утверждения, что выходная переменная стационарной линейной системы, работающей под действием стационарного случайного возмущения в пере­ ходном режиме, является нестационарной случайной функцией, так как ее дисперсия зависит от времени t. Дисперсия выходной переменной практи­

чески становится

постоянной только при достаточно больших значениях

t — t0 и при Т >

0, когда показательная функция ехр | ---- ^ Іо | мала

по сравнению с единицей. В этом случае дисперсия выходной переменной может быть приближенно вычислена по формуле (7.4.11) или (7.4.12). Прак­ тически формулы (7.4.11) и (7.4.12) дают достаточную точность при t — t0+ 37.

Приведенный пример показывает, что изложенная в § 7.2 теория дает общие методы исследования точности линейных систем, в результате применения которых получаются точные формулы, применимые к любым линейным системам, работающим как в установившихся, так и в переходных режимах. В частном случае для устойчивых стационарных линейных систем, работающих под действием стационарных случайных возмущений в установившемся режиме, изложенная теория дает простые формулы (7.4.3) и (7.4.4). Эти формулы определяют точное значение дисперсии выходной переменной системы для случая бесконечно долгого действия возмущения и могут служить для приближенного определения

§ 7.4. О П РЕ Д Е Л Е Н И Е УСТАНОВИВШ ЕЙСЯ ДИ СП ЕРС И И

289

дисперсии выходной переменной системы для моментов времени, удаленных от момента начала действия возмущения t0 больше, чем на время переходного процесса.

П р и м е р 7.4.2. Найти установившуюся дисперсию выходной перемен­ ной следящей системы, рассмотренной в примере 7.3.2, для случая, когда корреляционная функция помехи, накладывающейся на входной полезный сигнал системы, определяется формулой (7.2.11), предполагая, что величи­ на 1/а мала по сравнению с постоянными времени ті5 Tlt Т2 (т. е. интервал корреляции входной помехи мал по сравнению с тІ5 Ти Т2).

Полоса пропускания рассматриваемой следящей системы имеет тот же порядок, что и величины ту1, Т2Х. Диапазон изменения частоты со,

вкотором спектральная плотность входного случайного возмущения sx (со), определяемая формулой (7.2.42), изменяется не больше чем на 10%, имеет порядок 0,3а. Так как по условию величины ту1, Гр1, Т2г малы по сравне­ нию с а, то спектральную плотность входного возмущения можно считать

вданном случае практически постоянной и равной D j n a в пределах полосы пропускания следящей системы. Следовательно, дисперсию выходной пере­

менной можно вычислить по формуле (7.4.9). Для этого находим по формуле (7.4.10) эффективную полосу пропускания следящей системы. Полагая в (7.3.21) ! = ш и подставляя полученное выражение в (7.4.10), после несложных преобразований получим

ДШ=

J

к\к\ [1— xf (too)2] âa>

 

I М* + (1 + М 2тi) ш +{Т і + Т2) (m)z+ TlT2(гш)3 |2 '

Воспользовавшись для вычисления интеграла формулой (7.4.6),

получим

 

 

А(ц— пк1к2______ ___________________

(7.4.13)

 

 

(l + Ä^Ti) (Tl + T2) - k 1k2TlT2

 

Подставляя

это

выражение и выражение D j n a спектральной

плотности

в (7.4.9), получим следующую приближенную формулу для установившейся

дисперсии выходной

переменной рассматриваемой следящей системы:

^

Dxkjk2 _______ Г і-|-Т2-|-kjk2xl______

_ , ...

^

а

(1-f- к±к2Ті) {ТI -[-Т2)— к^к2Т1Т2

 

Для дальнейшего нам понадобится еще вывести формулу для взаимной корреляционной функции выходной переменной Y ста­ ционарной линейной системы с другой случайной функцией Z. Предположим, что случайная функция Z стационарна и стацио­ нарно связана со входной стационарной случайной функцией X стационарной линейной системы. Выразим случайные функции Y и Z интегральными каноническими представлениями. Принимая во внимание (7.4.1) и (7.4.2), можем написать интегральное кано­ ническое представление выходной переменной системы Y в виде

оо

 

Y(t) = mv -f- ^ V (со) Ф (гео) еш dw.

(7.4.15)

19 Под род. В. С. Пугачева

290 г л . 7. М ЕТО Д Ы И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Интегральное каноническое представление стационарной случай­ ной функции Z имеет вид

о о

 

Z (£) = mz -f- j U (а)еш da,

(7.4.16)

— ОО

где U (со) — некоторый белый шум аргумента со. Так как действи­ тельная случайная функция Z совпадает со своей комплексной сопряженной величиной, то на основании (7.4.16) можем написать

ОО

 

 

Z(t) = mz-\- j U (со) e~iaida.

 

(7.4.17)

— о о

 

 

Из (7.4.15) и (7.4.17) следует, что

 

 

Kyz(t,t') = M[Y°(t)Z° (?)] =

 

 

= j J М[Ѵ (со) U (со')] Ф (гео) е*

da da'.

(7.4.18)

— ОО — о о

 

 

Но взаимная корреляционная функция белых шумов V и U выра­ жается через взаимную спектральную плотность sxz (со) случай­ ных функций X и Z формулой (см. [54], § 5.6 или [53], § 78)

Кѵи(со, а') = М [V(со)Z77®7)] = s;cz(со) 6 (со — со').

(7.4.19)

Подставляя это выражение в (7.4.18), получим

 

ОО

00

 

Kyz(t, t')= I sxz (со)Ф (гео) еш da j е-і“'Гб (со — co')dco'

— ОО

— о о

 

или, выполняя интегрирование по со',

 

 

о о

 

 

Kyz(t,t')= J

со.

(7.4.20)

— о о

 

 

Формула (7.4.20) показывает, что взаимная корреляционная

функция случайных функций 7 и 2

зависит только от разности

аргументов t — t' и, следовательно,

случайные функции

7 и 2

стационарно связаны.

 

 

Сравнивая (7.4.20) с известным выражением взаимной корре­

ляционной

функции

стационарных

и

стационарно

связанных

случайных

функций

Y ж Z через

их

взаимную спектральную

плотность ([54], § 5.6

или [53],

§ 78):

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

kyz(t — ? )=

£

SyZ(со) еі

м da,

 

получим

 

 

—ОО

 

 

 

 

S y Z (а)

=

sxz (со) Ф (гео).

(7.4.21)

 

 

§ 7.5. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е У СТАНОВИВШ ЕЙСЯ ДИ СП ЕРС И И

291

Таким образом, взаимная спектральная плотность выходной переменной Y стационарной линейной системы с любой стацио­ нарной (и стационарно связанной со входной переменной X) слу­ чайной функцией Z равна взаимной спектральной плотности входной переменной X со случайной функцией Z, умноженной на частотную характеристику системы. Аналогично находим

szy (ca) = szx (а) Ф (гео) = szx (со) Ф (—гео). (7.4.22)

Формулы (7.4.20), (7.4.21) и (7.4.22) также применимы только к устойчивым системам и к моментам времени, удаленным от начального момента больше чем на время переходного процесса.

Из формул (7.4.21) и (7.4.22) можно, в частности, получить выражения взаимных спектральных плотностей входной и выход­ ной переменных стационарной линейной системы. Для этого достаточно принять случайную функцию Z тождественно совпа­ дающей со входной случайной функцией X. Тогда получим

Syx (®) — sx (со) Ф (іа),

(7.4.23)

sxy (со) = sx (ю) Ф (іео) = sx (со) Ф (— іа).

§ 7.5. Определение установившейся дисперсии выходной переменной стационарной дискретной линейной системы

Все формулы предыдущего параграфа справедливы как для непрерывных, так и для дискретных линейных систем для значе­ нии ( и f , совпадающих с моментами действия импульсов tk = = кТи (к = 0, ± 1, ± 2, . . .). Однако для определения устано­ вившейся дисперсии выходной переменной стационарной дискрет­ ной линейной системы удобнее воспользоваться интегральным каноническим представлением стационарной случайной функции X (0 в дискретном ряде равноотстоящих точек:

2Я/ТП

 

X (th) = X (кТп) = тх + j Vd(a)eiakTn da

(7.5.1)

о

(/e= 0, ± 1 , dr 2, ...),

гДе Vd (со) — белый шум, интенсивность которого равна спек­ тральной плотности (со) стационарной случайной последова­ тельности X (tk), а Т п — период повторения импульсов (такт) исследуемой дискретной линейной системы (см. [54], § 5.7). Диск­ ретные координатные функции входного случайного возмущения выражаются в данном случае формулой

xh (a) = x(th, a) = ei(ähT*

(к = 0, ± 1 , ± 2, ...) . (7.5.2)

19*

Смотрите также файлы