ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 409
Скачиваний: 15
292 ГЛ . 7, М ЕТОДЫ И ССЛЕДОВАН ИЯ ТОЧНОСТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Координатные функции выходной переменной системы в устано вившемся режиме выразятся аналогичной формулой
УкИ = У (tk, со) = ф (гео) eiahT*= ¥ (еіаТп) е™кТ* (7.5.3)
(& = 0, + 1, ± 2 , ...) .
Подставляя это выражение в формулы (7.2.39) и (7.2.40) и прини мая во внимание, что в данном случае
?t= oo, a*= 0, Я2 = -1^п , |
G(cö) = s£(со), |
получим следующие формулы для |
корреляционной функции |
и дисперсии выходной переменной дискретной линейной системы:
2 я /Т п
ку (0і — ti) = ку {{h— 1)ТП)= J |
^(со )|Ф (ш )ре{“ <л- г>Гп ^ , |
(7.5.4) |
о |
|
|
2я/Тп |
|
|
Du = j |
(со) I Ф (гео) |
(7.5.5) |
о |
|
|
Интегрирование в формулах (7.5.4) и (7.5.5) производится вдоль отрезка мнимой оси на плоскости комплексной переменной
s от 0 до точки 2яі/Тп. При переходе к переменной z = е5Тп этот отрезок перейдет в единичную окружность С4 плоскости z. Поэтому
при замене переменных z = ег<оТп формулы (7.5.4) и (7.5.5) при мут вид
кѵ(mTn) = ± J а* (z) I ¥ (z) I2 zm-i dz, |
(7.5.6) |
Ci |
|
D y = \ o i ( z ) \ ^ ( z ) \ ^ , |
(7.5.7) |
Ci |
|
где
а интегрирование производится вдоль единичной окружности. Если перейти в формулах (7.5.4)—(7.5.7) к переменной К =
= ѴІІ = (z — 1)li (z + 1) = (егшТп — i)/i (ешТп -f 1), то, учиты вая, что единичной окружности плоскости комплексной перемен ной z соответствует вся мнимая ось плоскости переменной ѵ,
294 гл. 7. М ЕТО Д Ы И ССЛЕДО ВА Н И Я ТО ЧН О С ТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
К этому же виду приводится формула (7.5.10) заменой переменных z =
= |
е |
п = |
егф. Выполняя интегрирование в |
формуле |
(7.5.14), полудим |
||
|
|
|
Dy = Dk4\ {Z\1—Zj1)2 ■ |
|
|
(7.5.15) |
|
Если |
воспользоваться формулой (7.5.10), то, |
принимая |
во внимание, что |
||||
в |
данном |
случае |
|
|
|
|
|
|
Q(v) = v |
1 -Г |
|
~ . |
D |
(7.5.16) |
|
|
( r ^ ) = fcz‘ (zr v- 1) iz : *i+ (l + *i)»* |
S*() |
я |
||||
|
|
||||||
цолучим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dk |
|
|
(7.5.17) |
|
|
|
I т т з zi + (l + |
zi) ik |
I2 |
||
|
|
|
|
||||
Применив для вычисления интеграла формулу (7.4.6), снова получим форму лу (7.5.15).
§ 7.6. Применение теории линейных систем для нахождения интегральных канонических представлений случайных функций
Из теории случайных функций известно, что для нахождения интегрального канонического представления случайной функции X (t) в данном интервале (/0? h) изменения аргумента t достаточно найти три функции х (t, к), а (t, к), G (к), удовлетворяющие усло
виям (см. [54], § 6.5 или [53], § |
67) |
|
|
«1 |
|
k')dt = ö(k — k’), |
|
j x(t, |
k)a(t, |
(7.6.1) |
|
*0 |
|
|
|
J x(t, |
k)a{t', |
k)dk = 8 (t — t'), |
(7.6.2) |
Ki |
ti |
|
|
|
|
|
|
г(і,к) = Щ£}<\ |
Kx (t, t') а (t', к) dt'. |
(7.6.3) |
|
|
to |
|
|
Если такие функции найдены, то случайная функция |
|
||
|
ц |
|
|
V(k)= j |
a (t, к) Х° (t) dt |
(7.6.4) |
|
|
<0 |
|
|
будет представлять собой белый шум, интенсивностью которого является функция G (к), а случайная функция X (t) выразится через белый шум V (к) интегральным каноническим представле нием
X ( t ) ^ m x ( t) + ^ V ( k )x (t, k)dk (t0< W i ) . |
(7.6.5) |
ii |
|
§ 7.6. П РИ М ЕН Е Н И Е ТЕО РИ И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
295 |
Корреляционная функция белого шума V (А,) определяется фор мулой
К в (Я, X') = G (Я) б (Я — Я'). |
(7.6.6) |
В общей теории интегральных канонических представлений параметр Я может быть произвольной величиной и в соответствии с этим V (X) является белым шумом не в физическом, а в обобщен ном, математическом смысле. Однако в приложениях часто оказы вается возможным рассматривать случайную функцию времени как результат прохождения некоторого физического белого шума, представляющего собой случайную функцию времени, через некоторую линейную систему. В этом случае параметр X пред ставляет собой время, а функцию х (t, X) можно рассматривать как весовую функцию системы, формирующей данную случайную функцию времени из белого шума. Функция а (t, Я) в этом случае может рассматриваться как весовая функция обратной системы, преобразующей данную случайную функцию в белый шум. Эти соображения наводят на мысль попытаться применить для нахож дения интегральных канонических представлений случайных функций теорию линейных систем. Как будет видно из дальней шего, это во многих случаях приводит к положительным резуль татам.
В § 4.2 было показано, что весовые функции двух взаимно обратных физически возможных линейных систем в любом интер вале (г0> h) связаны соотношениями (4.2.10) и (4.2.11), которые можно переписать в других обозначениях в виде
н
J |
н>(*, Я)ыг(Я', *).Л = 6(Я —Я') |
(t0<X, X'< h), |
(7.6.7) |
to |
|
|
|
ti |
w (t, X) w~ (X, t') dX= 8 (t —1') |
(t0*Ct, t' C ^). |
|
j |
(7.6.8) |
to
Здесь мы произвольно расширили пределы интегрирования, имея в виду, что вследствие условия физической возможности подынте гральная функция в первой формуле отлична от нуля только при Я < Я ' в интервале (Я, Я'), а подынтегральная функция во второй формуле отлична от нуля только при t > t' в интервале (t', t). Соотношения (7.6.7) и (7.6.8) по существу не отличаются от (7.6.1) и (7.6.2). Поэтому, если известны весовые функции w и w~ двух взаимно обратных линейных систем, то, принимая во внимание, что эти весовые функции действительны, можно удовлетворить условиям (7.6.1) и (7.6.2), приняв
ж (t, X) = w (t, Я), a (t, Я) = W- (Я, t). |
(7.6.9) |
Таким образом, весовые функции двух взаимно обратных линей ных систем всегда удовлетворяют двум условиям (7.6.1) и (7.6.2)
