ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 412
Скачиваний: 15
§ 7.6. П РИ М ЕН Е Н И Е ТЕО РИ И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
297 |
Параметр А, в данном случае имеет смысл времени. Поэтому белый шум V (А,) в данном случае является случайной функцией времени, т. е. представляет собой белый шум в обычном, а не в обобщенном смысле. Это дает возможность перейти в форму лах (7.6.11), (7.6.12) и (7.6.13) к обычным обозначениям теории линейных систем. Тогда, учитывая, что весовые функции w и w~ удовлетворяют условию физической возможности, перепишем формулы (7.6.11), (7.6.12) и (7.6.13) в виде
|
t |
|
|
V (t) = |
^ w~ (t, т) Х° (т) dx, |
(7.6.14) |
|
|
*0 |
t |
|
|
|
|
|
X (t) = |
mx (t) -j- j w (t, т) V (t) dx, |
(7.6.15) |
|
|
min [i, <'] |
<o |
|
Kx {t,t')= |
G(x)w(t, x)w (t', x)dx, |
|
|
j |
(7.6.16) |
||
|
<0 |
|
|
где через min [t, t'\ обозначено наименьшее из чисел t |
и f . |
||
Таким образом, мы видим, что проблема отыскания интеграль ного канонического представления случайной функции времени сводится к нахождению двух взаимно обратных физически воз можных линейных систем, одна из которых преобразует данную случайную функцию в белый шум, а другая формирует эту слу чайную функцию из белого шума. В соответствии с этим иногда линейную систему с весовой функцией w (t, т), формирующую данную случайную функцию из белого шума, называют форми рующим фильтром.. При этом задачу нахождения интегральногоканонического представления случайной функции времени ставят более конкретно как задачу нахождения формирующего фильтра.
П р и м е р 7.6.1. В примере 4.4.1 мы видели, что функции
f — у ^ е х р |
( — f ° ° - d a \ п р и |
« > т , |
||
(*, х) = t а,. (X) |
р |
\ |
J аі (а) / |
|
ІО |
|
|
при |
t <[ X |
в
w~ (t , т) = аI (г) б' (t — г) + а0 (г) б (г — т)
являются весовыми функциями двух взаимно обратных линейных систем. Предположим теперь, что функции а, (t) и а0 (<) при всех t положительны и ограничены, и рассмотрим случайную функцию X (t), корреляционная Функция которой определяется формулой
к а |
/ ?i W 92(0 |
при |
t > t ', |
(7.6.17) |
ж( ’ |
U l (О «2(0 |
при |
t < t ' , |
|
298 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДОВАН ИЯ ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
4-де
|
|
|
|
9 і(і) = ехр { |
_ |
j |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
fr |
|
dt |
|
|
|
|
(7.6.18) |
|
|
|
|
92 (<)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
’■» |
і |
if (Г) 9? (т) ■ |
|
|
||||||
в |
данном |
случае |
при любых 1 < |
І! и |
( < (і |
|
|
|
|
|||||
h |
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
Кх (t, t') w- (X, t') dt' = |
j |
Kx (t, |
t') w- (X, |
t') dt' =- |
|
|
|||||||
—oo |
|
|
X |
|
—oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 9 * W |
J |
9 1 ( t ' ) [ « l ( * ) в ' № |
- * ' ) + |
« o f t ) |
в ( X - * ' ) ] * ' = |
|
||||||
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
при t < |
|
|
|
|
= 92(*Наі(М 9ПМ + ао(М9і(М] |
Я,, |
|
||||||||||
О |
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
Kx (t, t')w~(X, |
t')dt' =• j |
Kx (t, t’)w~(X, |
t')dt’ = |
|
|
||||||||
—oe |
|
|
X |
|
—oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= 9i W |
j |
?2 (*')[M ^)ö'ft-<') + aoM Ö(X -0]<2t'“ |
||||||||||
Но |
из формул (7.6.18) |
|
= 91 (г) [«1 |
(X) 92 (M+ ao (M92 (X)] |
при t > X. |
|||||||||
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
MM |
|
|
|
|
9і (А.) d ln gj ( X ) __ d_ Г a0 (а) |
|
|
|
|
|||||||||
|
9i (X) |
dX |
|
dX J в* (а) da - |
|
«1 (M’ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9г (X) _ d ln q2 (X) |
|
d ln qj (X) |
, |
d |
|
|
dt |
|
|
||||
|
q2 (X) |
dX |
|
dX |
|
^ dX ІП j |
|
a\ (M 9 ? |
(M |
|
||||
|
|
|
MM_l |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.6.19) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ai (M |
a? (M9? (Mj |
^ (Mdt9? (M |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
a0 (M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
a l ( M |
« i ( M 9 l ( M 9г ( M ’ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(X ) <7г (М; а |
|
||||
|
a l (M 9i (M + “ О (М9l (М= Oial(М9a (М+ « о |
|
||||||||||||
|
^ |
Kx (t, |
t') w~ (X, t') dt'=0>*=u> (t, |
X) |
при t <X , 1(X) gi (X) |
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
VI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
9l (*) |
|
|
|
|
|
||
|
j |
Kx (t, |
t')u>-(X, |
t')dt'* |
|
|
=u> (<, X) |
при |
1 >• X. |
|||||
|
ai(X) 9t (X) |
|||||||||||||
§ 7.6. П РИ М ЕН Е Н И Е ТЕО РИ И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
299 |
Таким образом, функции х (t, X) = w (t, X), а (t, X) — w~ (X, t) и G (X) = 1
удовлетворяют всем трем условиям (7.6.1), (7.6.2) и (7.6.3), если принять t0 = Хі = —оо, Xi = ti, где fi — произвольный момент времени. Следова тельно, рассматриваемая случайная функция X (f) выражается интеграль ным каноническим представлением (7.6.15) при fo = —°о в любом полубескоаечном интервале времени (—оо, ti).
К сожалению, в настоящее время не существует общих методов нахождения такой линейной системы, которая преобразует дан ную случайную функцию в белый шум, и соответствующей обрат ной системы — формирующего фильтра. Однако в некоторых частных случаях эта задача решается сравнительно просто. В частности, эта задача легко решается для любой стационарной случайной функции X (t), спектральная плотность которой является дробно-рациональной функцией.
Предположим, что спектральная плотность стационарной слу чайной функции X (t) выражается формулой
(7-6-20)
где Р (со) и Q (со) — некоторые полиномы относительно со. Так как sx (со) — четная функция, то полиномы Р (со) и Q (со) содержат
только |
четные |
степени частоты со. При этом в задачах |
практики |
|||
степень |
2т числителя Р (со) |
всегда |
бывает |
меньше |
степени |
|
2?г знаменателя |
Q (со), так как |
только |
в этом |
случае |
интеграл |
|
от спектральной плотности, определяющий дисперсию случайной
функции X, может сходиться и дисперсия |
случайной функции |
||||
X может быть конечной. Кроме того, для |
сходимости интеграла |
||||
от |
спектральной |
плотности |
необходимо, |
чтобы знаменатель |
|
Q (со) в выражении спектральной плотности (7.6.20) не обра |
|||||
щался |
в нуль ни при каком действительном значении часто |
||||
ты |
со. |
Наконец, |
вследствие |
того, что спектральная плотность |
|
существенно положительна при действительных значениях часто ты со, полином Р (со) обычно также не имеет действительных кор ней и все коэффициенты полиномов Р (со) и Q (со) действительны. Из этих свойств полиномов Р (со) и Q (со) следует, что корни каждого из них являются попарно сопряженными комплексными величинами и каждому корню соответствует корень того же поли нома, противоположный по знаку. Иными словами, корни каж дого из полиномов Р (со) и Q (со) расположены в плоскости ком плексной переменной со симметрично относительно действитель ной и мнимой осей (рис. 7.6.1).
Разложим теперь полиномы Р (со) и Q (со) на множители и отбе рем в полученных разложениях множители, соответствующие корням, расположенным в верхней полуплоскости комплексной переменной со. Добавив к таким множителям в разложении поли
нома Р (со) корень квадратный |
из коэффициента А 2т при согп> |
в этом полиноме и множитель іт, |
мы получим полином степени т |
300 ГЛ . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
относительно со, все корни которого расположены в верхней полу плоскости. Обозначим этот полином # (ісо). Легко видеть, что все коэффициенты полинома # (ісо), рассматриваемого как полином относительно ісо, положительны. Действительно, возьмем какойнибудь один корень полинома Р (со), расположенный в верхней полуплоскости (таких корней полином Р (со) имеет то). Пусть этот
корень будет cc + iß, где ß > 0 . Если а ф 0 , то |
полином Р (со) |
по доказанному |
имеет корень |
—а + iß, также расположенный в верхней полуплоскости. Сле довательно, полином# (ісо) пред ставляет собой произведение по ложительного числа на множи тели вида
і |
(со — а — iß) і (со -ф- а — iß) |
||
и |
|
і (со — iß), |
|
|
|
|
|
где ß > 0 . Но |
|
||
і |
(со |
— а — iß) і (со + а — iß) = |
|
|
= |
(ісо)2 + 2ß (ісо) + |
а 2 + ß2, |
|
|
і (со — iß) = ісо + |
ß, |
вследствие чего произведение любого числа таких множителей представляет собой полином относительно ісо, все коэффициенты которого положительны.
Оставшиеся множители в разложении полинома Р (со), соответ ствующие корням, расположенным в нижней полуплоскости,
умноженные на (—і)т и на У А 2т, образуют полином, который получается из # (ісо) изменением знака у со, т. е. полином# (— ісо). Действительно, каждому корню а + iß полинома Р (со), располо женному в верхней полуплоскости, соответствует корень а — iß, расположенный в нижней полуплоскости. Поэтому каждому множителю вида
і (со — а — iß) і (со + а — iß) = (ісо)2 + 2ß (ісо) -f а 2 + ß2
или
і (со — iß) = ісо + ß
полинома # (ісо) соответствует оставшийся множитель вида
—і (со — а + iß) (—і) (со + а + iß) =
= ( —ісо)2 + 2ß (—ісо) + а2 + ß2
или соответственно
—і (со iß) = — ісо -)- ß,
что доказывает высказанное утверждение.
