ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 411
Скачиваний: 15
§ 7.6. П РИ М ЕН Е Н И Е ТЕО РИ И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
301 |
Таким образом, отобрав в разложении полинома Р (со) множи тели, соответствующие корням, расположенным в верхней полу
плоскости, и добавив множитель ітУ А 2т, мы можем представить полином Р (со) в виде
Р(со) = Я (ію) Н (— ісо), |
(7.6.21) |
где Н (ісо) — полином относительно ісо с положительными коэф
фициентами.
Совершенно так же, отобрав в разложении полинома Q (со) множители, соответствующие корням, расположенным в верхней
полуплоскости, добавив к ним множитель і" У В 2п, где В 2п — коэффициент при старшей степени со в полиноме Q (со), и обозна чив образованный этими множителями полином через F (ісо), мы представим полином Q (со) в виде
Q (со) = F (ісо) F ( - ісо), |
(7.6.22) |
где F (ісо) — полином относительно ісо с положительными коэффи циентами.
Пользуясь формулами (7.6.21) и (7.6.22), мы можем пред ставить выражение (7.6.20) спектральной плоскости sx (со) для действительных значений со в виде
s* И = |
Н (ісо) 2 |
(7.6.23) |
F (ісо) |
||
Заметим теперь, что функцию |
|
|
Ф(*) = Т ^ |
(7-6.24) |
|
можно рассматривать как передаточную функцию некоторой ста ционарной линейной системы. Тогда функция
1 |
F(s) |
(7.6.25) |
|
Ф (s) |
Н (s) |
||
|
будет представлять собой передаточную функцию обратной систе |
|
мы. Так как умножение комплексного числа на мнимую единицу і |
|
представляет собой поворот изображающего это число вектора на |
|
угол я /2 |
против часовой стрелки и все корни полиномов Н (ісо) |
и F (ісо), |
рассматриваемых как функции со, лежат в верхней |
полуплоскости переменной со, то все |
корни полиномов |
Н (s) |
и F(s), рассматриваемых как функции |
переменной s = ісо, |
лежат |
в левой полуплоскости переменной s (рис. 7.6.2). Следовательно, Ф (s) и 1/Ф (s) являются передаточными функциями двух устой чивых взаимно обратных стационарных линейных систем.
Сравним теперь формулу (7.6.23) с (7.4.5). Вспоминая, что стационарная случайная функция с постоянной спектральной пло тностью Sq представляет собой белый шум с интенсивностью 2 jts0
302 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
(см. примечание на стр. 287), приходим к заключению, что стацио нарную случайную функцию с дробно-рациональной спектральной плотностью можно рассматривать как результат прохождения белого шума с единичной спектральной плотностью через устой чивую стационарную линей ную систему с передаточной функцией Ф (s), определяемой формулой (7.6.24). Эта систе ма и представляет собой фор мирующий фильтр, соответ ствующий данной стационар ной случайной функции X (t)..
Зная передаточные функ Рис. 7.6.2. ции двух взаимно обратных стационарных лиинейных систем, одна из которых преобразует стационарную случайную
функцию X (t) в белый шум, а другая формирует ее из этогобелого шума, можно по формуле (2.4.23) найти соответствующие весовые функции:
|
|
о о |
|
|
|
w(t,x) = w(t — r) = ^ |
J Ф (т) еі(Л<і-т>dco, |
(7.6.26) |
|||
|
— о о |
|
|
||
|
л |
Т |
ф^-j-dö. |
|
|
цГ(<,т) = |
ш -(< -т )= 2^ |
(7.6.27). |
|||
-2(0 ( f — Т) |
|||||
|
|
J |
|
|
|
|
|
— СО |
|
|
|
Как мы видели |
в § 7.4, формула (7.4.5) применима |
только |
|||
к устойчивым стационарным линейным системам, работающим под действием стационарных случайных возмущений бесконечно долго. Из этого условия следует, во-первых, что предыдущие заключения справедливы только в том случае, когда все нули и полюсы передаточной функции Ф (s) лежат в левой полуплоско сти, что обеспечено изложенным способом построения этой функции. Кстати, это условие обеспечивает существование един ственной такой передаточной функции (конечно, с точностью до произвольного постоянного множителя). Во-вторых, из условия применимости формулы (7.4.5) следует, что случайную функцию X (t) можно рассматривать только как результат бесконечно долго го действия стационарного белого шума V (t) с единичной спек тральной плотностью на стационарную линейную систему с пере даточной функцией Ф (в), а белый шум V (t) представляет собой результат бесконечно долгого прохождения стационарной слу
чайной функции |
X (і) через стационарную |
линейную систему |
с передаточной |
функцией 1/Ф (s). Поэтому |
для стационарной |
случайной функции X (t) в формулах (7.6.14), |
(7.6.15) и (7.6.16) |
|
5 7.6. П РИ М Е Н Е Н И Е ТЕО РИ И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
303 |
необходимо взять t0 = — оо. Только при этом условии они будут справедливы. Таким образом, изложенный метод дает интеграль ное каноническое представление любой стационарной случайной функции X (t), имеющей дробно-рациональную спектральную плотность, в любом полубесконечном интервале (— оо, ^).
Заметим еще, что поведение системы с рациональной передаточ ной функцией Ф (s), определяемой формулой (7.6.24), на основа нии § 2.5 описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными положительными коэффициентами
г Ш х ‘ - н Ш ѵ - |
<7-6-28> |
Из того факта, что все коэффициенты уравнения (7.6.28) действи тельны, следует на основании сказанного в § 4.4, что весовые функ ции w и w~ этой системы и обратной системы действительными. Но в таком случае интегралы в формулах (7.6.26) и (7.6.27) действи тельны и, следовательно, совпадают со своими комплексными со пряженными величинами. Поэтому в формулах (7.6.26 )и (7.6.27) можно изменить знак у мнимой единицы і. Тогда, изменяя обозна чение переменной интегрирования, получим
ОО |
|
w (t — т) = — j Ф ( — ip) e-in«-*)d[i, |
(7.6.29) |
g—Щ (t-т) |
(7.6.30) |
dp. |
|
Ф(-*И) |
|
Практически для вычисления интегралов в этих формулах можно пользоваться таблицами преобразования Лапласа (см., напри мер, [17]).
В некоторых случаях бывает удобно выразить случайную функ цию X (t) через белый шум, интенсивность которого тождественно равна единице. Согласно примечанию на стр. 287 такой белый шум является стационарной случайной функцией с постоянной спек тральной плотностью, равной 1/2л. Следовательно, для того чтобы выразить стационарную случайную функцию X (t) с дробно-рацио нальной спектральной плотностью через белый шум с единичной интенсивностью, достаточно в предыдущих рассуждениях вклю
чить в полином II (ісо) дополнительный множитель У 2л или
в полином F (tea) дополнительный множитель 1/|/^2л. Тогда полу чим вместо формулы (7.6.23)
s* (со) = |
Я |
(too) |
2 |
(7.6.31) |
2я F |
(г со) |
|
Вследствие того, что корреляционные функции и спектральные плотности случайных функций обычно определются по результатам
304 гл. 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я Т О Ч Н О С Т И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
экспериментов, они всегда бывают известны лишь прибли женно. Поэтому практически любую спектральную плотность можно аппроксимировать дробно-рациональной функцией. Отсюда следует, что изложенный метод нахождения интегрального кано нического представления применим практически к любым стацио нарным случайным функциям.
П р и м е р 7.6.2. Найти интегральное каноническое представление ста ционарной случайной функции X (t), спектральная плотность и корреля ционная функция которой определяются формулами
= кх (x) = De~aiX[- (7.6.32)
В данном случае числитель Р (со) является постоянной величиной (т = 0),
а |
знаменатель имеет два |
чисто мнимых корня |
со = |
±іа. |
Следовательно, |
||
в |
данном случае можно |
принять |
|
|
|
|
|
|
Н(і |
F (гм) = і(ш— га) = іш+ а. |
|
||||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
** (м) = |
|Ф (гм)|2, |
f Da |
1 |
|
(7.6.33) |
|
|
Ф (*)= ] / |
я |
s+ |
а |
|||
Таким образом, формирующим фильтром в данном случае является аперио дическое звено с постоянной времени Т = 1/а и коэффициентом усиления
к = ~\/DIяа [см. формулу (2.6.4)]. При этом рассматриваемая случайная функ ция X будет представлять собой результат бесконечно долгого действия на это звено белого шума с интенсивностью, равной 2я. Полагая
Н (іш) = ~\/2Da, |
F (іш) = іш + а, |
(7.6.34) |
получим |
|
|
^ («) = - ^ - | Ф(ісо)|2, |
ф (') = & £ . |
(7.6.35) |
Таким образом, случайную функцию X в данном случае можно рассматри вать как результат бесконечно долгого действия белого шума единичной интенсивности на апериодическое звено с постоянной времени Т = 1/а
и коэффициентом усиления к = Л/2D/а.
Определив по формулам (7.6.26) и (7.6.27) или (7.6.29) и (7.6.30) пли по таблицам преобразований Лапласа весовые функции w и w~, выразим рас сматриваемую стационарную случайную функцию X (t) интегральным кано ническим представлением (7.6.15) при t0 = —оо в интервале (—оо, й), где ti — любой момент времени. Впрочем, как мы увидим дальше, для решения практических задач в данном случае нет необходимости определять весовые
функции w и w~, |
а вполне достаточно знать передаточную функцию Ф (s). |
П р и м е р |
7.6.3. Найти интегральное каноническое представление |
стационарной случайной функции X (<), спектральная плотность которой
