Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 416

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

306 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТО ЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

и белым шумом. Для стационарной случайной функции, как мы видели, для нахождения такого дифференциального уравнения достаточно аппроксимировать ее спектральную плотность дробно­ рациональной функцией и определить изложенным методом поли­ номы Н (s) и F (s). Поэтому применение изложенного метода к нестационарным случайным функциям времени пока еще огра­ ничивается случаями, когда удается найти приближенную зависи­ мость между интересующей нас случайной функцией и белым шу­ мом в форме линейного дифференциального уравнения. В таких случаях весовые функции w и w~ могут быть определены метода­ ми, изложенными в §§ 4.3 и 4.4.

П р и м е р 7.6.4. Весовые функции w и w~ примера 7.6.1 соответствуют связи между случайной функцией X и белым шумом V в форме линейного дифференциального уравнения первого порядка (см. пример 4.4.1):

щ (і) X + а0 (<) X = V.

(7.6.38)

Следовательно, случайная функция X, имеющая корреляционную функцию вида (7.6.17), всегда связана с некоторым белым шумом уравнением первого порядка вида (7.6.38). Для определения коэффициентов а0 (г) и ал (/) этого уравнения по данным функциям д, (і), $2 (t) достаточно воспользоваться урав­ нениями (7.6.19), из которых следует формула

^

]п 72 № _ ______\______

/7 ß qgv

dt

qi (t) af ( t ) gi (t) q2 (t) ’

 

Определив отсюда функцию a, (г), мы найдем после этого функцию а0 (г) из первого уравнения (7.6.19). Заметим, что эти операции имеют практиче­ ский смысл только в том случае, когда отношение q2 (I)/qi (t) является возра­ стающей функцией, так как только в этом случае уравнение (7.6.39) опреде­ ляет действительную функцию щ (t) *).

§7.7. Определение моментов выходных переменных интегрированием дифференциальных уравнений

Рассмотрим автоматическую систему, описываемую системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений конечного порядка, на которую действуют случайные возмущения, пред­ ставляющие собой белые шумы. В § 4.5 было показано, что уравне­ ния такой системы всегда можно привести к системе дифферен­ циальных уравнений первого порядка

ahlY t + Vh

(А= 1.........га),

(7.7.1)

і=і

 

 

где aki — переменные или постоянные коэффициенты,

а V* —

белые шумы.

 

 

*) Можно показать, что это условие необходимо также для того, чтобы функция, определяемая формулой (7.6.17), могла быть корреляционной функцией некоторой случайной функции.

§ 7.7. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е М ОМ ЕНТОВ В Ы Х О Д Н Ы Х П Е РЕ М Е Н Н Ы Х

307

В § 7.2 показано, что математические ожидания выходных пере­ менных рассматриваемой системы можно получить, если в системе дифференциальных уравнений (7.7.1) входные сигналы и началь­ ные условия заменить их математическими ожиданиями:

п

 

Щуі = 2 akimi + mv (Ze = l,

(7.7.2)

г= 1

 

Интегрирование системы (7.7.2) не представляет никаких практи­ ческих трудностей. Поэтому мы рассмотрим только центрированные случайные составляющие выходных сигналов, определяемые сис­ темой дифференциальных уравнений

П = І а ? + П

(Ä=l, ... , и),

(7.7.3)

i=i

 

 

которая получается вычитанием из уравнений (7.7.1) соответствую­ щих уравнений (7.7.2).

Продифференцируем попарные произведения всех выходных

переменных системы:

 

-|-(У?У?) = У?У? + НУ? (і, 7 = 1, ... , п).

(7.7.4)

Подставляя в правую часть этого равенства выражения произ­ водных выходных переменных системы из (7.7.3), получим

71

П

4 г (У?У?) = 2

« н Л И + 2 ап ¥ ^Ч + У]Ѵ\ + У?У? (7.7.5)

i=i

i=i

 

0, 7 = 1. • • •, п).

Применяя к обеим частям равенства операцию математического ожидания и пользуясь возможностью изменять порядок операций дифференцирования и математического ожидания, получим

 

п

п

4і м

= 2 апм [Н?иі + 2 а»м глуп+

 

і=і

і=1

+ М [Y°jVi\ + М [У?И] (i, j = 1, . .., п). (7.7.6)

Входящие в эти уравнения математические ожидания М [У?И1 представляют собой дисперсии (при і = f) и корреляционные мо­ менты (при i і) выходных сигналов системы. Вводя обозначение

Qij = M [ НУ?]

 

(г, 7 = 1, . . . , п),

(7.7.7)

перепишем уравнения (7.7.6)

в

виде

 

П

 

 

 

= 2 М л + ajfiu) + М [У?И] + М [YiVft

(7.7.8)

(г, / =

1,

... , /г).

 

20*

308 ГЛ . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕД О ВА Н И Я ТОЧНОСТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Найдем входящие в (7.7.8) математические ожидания М [У^ПЦ]. На основании формулы (2.2.30) можно написать

П

t

 

Y%(t) = 2

J gvh (t, T) Vl (t) dx.

(7.7.9)

/1=1 /q

 

Отсюда находим

П(

M [ y “(0F^(0] = 2 j S^h{t,x)M \vl{t)Vüh (x)\dx. (7.7.10)

ft=l <o

 

 

Так как согласно принятым допущениям Fb . . .,

Ѵп являются

белыми шумами, то

 

 

М [F° (t) ѴІ (т)] =

(t) б ( t - X),

(7.7.11)

где Gßh (t) (p, h = 1, . . ., n) — интенсивности и взаимные интен­ сивности белых шумов Ѵи . . Ѵп. Подставляя выражение (7.7.11) в (7.7.10), получаем

пt

м [У® (0 F®

(01 = 2

G»h (0 5 Svh (t,т) б (і - т ) dt.

(7.7.12)

 

ft=l

<0

 

Заметим теперь, что

весовая

функция gvv (t, т) терпит

разрыв

в точке т = t. Поэтому для вычисления интегралов в (7.7.12)

следует применить

формулу (2.1.8):

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

j gvk(t, Т)

б (t -

т) dr -- **<*'..*~ <» + gvft (*, * -И» ^

(7.7Л3)

 

 

ІО

 

 

 

 

 

Для физически возможных систем gv^ (t, t -j- e) = 0

при

любом

e > 0

и,

следовательно,

gvh (t, г -f- 0)

= 0. Что касается предела

слева

gvh (t, t — 0),

то

его мы обозначали в § 4.5 просто через

(f, t).

Поэтому можно написать

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

J gvh«, T)6(«-T)dT.-=-igvft(i, 0-

 

(7.7.14)

 

 

to

 

 

 

 

 

Но, как показано в § 4.5, gvv (t, t) =

1, gvh (t, 0 = 0

при v =^ä.

Поэтому из (7.7.12) и (7.7.14) получаем

 

 

 

 

M [Y l{t)V l{t)\= ^ G ^ {t)

(V, |* = 1, ... ,

и).

(7.7.15)

Подставляя выражение (7.7.15) в (7.7.8) и учитывая, что Gu (t) = = G/г (0> получаем окончательно:

П

Öjy' ~ ;2^ (aißji~\- ajßii) -\~Gij (t)

(г, / = 1,

(7.7.16)

§ 7.7. О П РЕ Д Е Л Е Н И Е МОМЕНТОВ В Ы Х О Д Н Ы Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х

309

Систему уравнений (7.7.16) можно компактно записать в виде одного матричного уравнения. Для этого выходные переменные Уь . . ., Y n будем считать составляющими вектора Y, а белые шумы Fi, . . Ѵп — составляющими вектора V. Тогда, представив векторы матрицами-столбцами, можем записать систему уравне­ ний (7.7.1) в виде одного матричного уравнения:

 

 

 

Y = A Y +

V,

 

 

(7.7.17)

где А — матрица коэффициентов

уравнений

(7.7.1):

 

д

_

а11

аі2

•■ •■ •

аіп

I

 

 

 

а22

а2п

 

 

 

 

Ö21

 

•

 

 

 

Вводя матрицы

 

 

&п1 ап2 . . .

 

I

 

 

Ѳи Ѳі2

. •

•

Ѳщ

 

 

Gn

G12

.

■ Gin

ѳ = Ѳгі 022

• • •

02п

 

 

G2i

G22

. •

• G2n

ѳп1 Ѳп2

• • •

Ѳпп

 

 

Gut Gn2

.

■ Gnn

замечаем, что в силу симметричности матрицы

Ѳ первая сумма

в (7.7.16) представляет

собой

элемент і-й строки и /-го столбца

произведения матриц А Ѳ, а вторая сумма — элемент г-й строки и /-го столбца произведения матрицы Ѳ на транспонированную

матрицу А т. Поэтому систему уравнений (7.7.16)

можно записать

в виде одного матричного уравнения:

 

ё = Л Ѳ + Ѳ 2 І т + С.

(7.7.18)

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что если математические ожидания белых шумов Vk (t) равны нулю, mvh = 0 (к = 1, . . ., п), то уравнения (7.7.16) и (7.7.18) остаются

в силе, если заменить в них корреляционную матрицу Ѳ = || Ѳг;-1| случайного вектора Y матрицей начальных моментов второго

порядка

его составляющих Г = Цу^Ц, уі} = M[Y{Yj\ (i, j =

= 1, .

. ., n).

Таким образом, мы получили систему обыкновенных линейных Дифференциальных уравнений для определения дисперсий и корре­ ляционных моментов выходных сигналов системы. Интегриуря эту систему аналитически, если это возможно, или с помощью вычис­ лительных машин, можно получить статистические характеристики сразу всех выходных сигналов как функции времени. Правда, За эту возможность приходится расплачиваться сильным ростом порядка системы дифференциальных уравнений по сравнению с порядком исходной системы уравнений. Действительно, если

Смотрите также файлы