Файл: Основы автоматического управления..pdf

310 Г Л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

поведение исследуемой системы описывается системой дифферен­ циальных уравнений порядка п, то в систему уравнений (7.7.16) будут входить п уравнений для дисперсий и п (п — 1)/2 уравнений для корреляционных моментов выходных сигналов (Ѳ^ = Ѳ;-г). Следовательно, порядок системы уравнений (7.7.16) будет равен

N = п + п (п — 1)/2 = п (п + 1)/2. В таблице 7.7.1 приведена зависимость порядка системы дифференциальных уравнений для дисперсий и корреляционных моментов выходных сигналов от порядка исходной системы.

Следовательно, изложенным методом целесообразно пользо­ ваться, только если порядок исходной системы невысок. В про­ тивном случае следует пользоваться одним из общих методов, описанных в § 7.2.

Если исследуемая система и белые шумы на ее входах стацио­ нарны, то для определения установившихся значений дисперсий и корреляционных моментов выходных сигналов следует в системе

дифференциальных уравнений (7.7.16) положить Ѳ,;- = 0. Тогда искомые характеристики точности работы системы определятся из системы линейных алгебраических уравнений

Заметим, что изложенный метод пригоден и в случае, когда входные сигналы не являются белыми шумами, но могут быть пред­ ставлены в виде преобразования белых шумов некоторой линейной системой — формирующим фильтром,—описываемой системой обык­ новенных дифференциальных уравнений конечного порядка. В этом случае к дифференциальным уравнениям, описывающим автоматическую систему, следует добавить дифференциальные уравнения, описывающие формирующий фильтр. При этом надо помнить, что заданный случайный процесс на выходе формирую­ щего фильтра практически всегда устанавливается лишь после затухания переходного процесса в нем. Поэтому дифференциаль­ ные уравнения для моментов выходных переменных формирующего фильтра следует начинать интегрировать раньше, чем уравнения для моментов выходных сигналов исследуемой системы и их кор­ реляционных моментов с выходными сигналами формирующего фильтра. И лишь спустя некоторое время, превосходящее время

переходных процессов в формирующем фильтре, можно начинать совместное интегрирование всех уравнений.

Если входной случайный сигнал системы стационарен, то фор­ мирующий фильтр и действующий на него белый шум стационарны. В этом случае дифференциальные уравнения для моментов выход­ ных сигналов формирующего фильтра в установившемся режиме превращаются в алебраические. Определив из этих уравнений моменты выходных сигналов формирующего фильтра, можно подставить их в дифференциальные уравнения для остальных мо­ ментов.

П р и м е р 7.7.1. Определить дисперсию на выходе системы, описывае­ мой дифференциальным уравнением первого порядка

которой равно нулю, а спектральная плотность и корреляционная функция определяются формулами (7.6.32). Начальное значение У при t = 0 является случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и известной дис­ персией Dy (0).

В примере 7.6.2 показано, что случайную функцию X (t) можно рас­ сматривать как результат бесконечно долгого действия белого шума еди­ ничной интенсивности на апериодическое звено с постоянной времени Т = 1/а

и коэффициентом усиления К — ~\/2DІа.. Следовательно, случайная функ­

ция X (t) связана с белым шумом V единичной интенсивности дифферен­ циальным уравнением

Y<= - a ( t ) У Н -У 2,

Так как вследствие стационарности X (t) нас интересует только установив­ шееся значение дисперсии случайной функции на выходе формирующего

фильтра, то в последнем уравнении нужно положить Ѳ22 = 0, после jiero получим, как и следовало ожидать, Ѳ22 = D. Первые два уравнения (7.7.23)

312 гл. 7.МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

при этом примут вид

Ѳи — — 2а, (t) -f- 20J2,

(7.7.24)

012= — [я (t) -}- a]012+ D.

Эту систему уравнений следует проинтегрировать при начальных условиях Ѳц (0) = Du (0), Ѳ12 (0) = 0. Дисперсией на выходе рассматриваемой системы является величина Ѳц. Если коэффициент а (t) не зависит от времени, а (t) = a ,

и требуется определить установившееся значение Ѳц, то, полагая Ѳц = Ѳі2 =

=0, получаем два алгебраических уравнения

—2аѲц + 2Ѳі2 — 0, I

(7.7.25)

— (а -\~с£) 012 D = 0. J

Решая эти уравнения, получаем установившееся значение дисперсии выход­ ной переменной системы:

Г л а в а 8

ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 8.1. Основные свойства нелинейных систем

Согласно данному в § 1.4 определению нелинейной системой на­ зывается динамическая система, для которой не выполняется принцип суперпозиции. Система является нелинейной при нали­ чии в ней хотя бы одного элемента, для которого не выполняется принцип суперпозиции. Из этого определяющего свойства нели­ нейных систем вытекают другие присущие им характерные черты, связанные с тем, что процессы в нелинейных системах и собствен­ ные их движения гораздо разнообразнее и сложнее процессов и движений в линейных системах. Так, в нелинейных системах возможны без внешних возмущений устойчивые колебания опре­ деленной амплитуды и частоты, называемые обычно автоколеба­ ниями. Такие режимы невозможны в линейных системах. Система может иметь несколько различных видов устойчивых периодиче­ ских процессов с разными частотами и соответствующими вполне определенными амплитудами. Такие режимы нелинейной системы являются результатом внутренних нелинейных свойств элементов системы. Появление и установление того или иного вида периоди­ ческого режима зависит от начальных условий. Таким образом, в отличие от линейных систем, в нелинейной системе сам характер собственных движений (колебания, затухающие колебания, рас­ ходящиеся колебания, апериодический процесс) зависит от началь­ ных условий. Одна и та же система при различных начальных условиях может совершать различные по своему характеру движе­ ния. Так, например, если маятнику в состоянии покоя сообщить в некоторый начальный момент толчок, т. е. начальную скорость, то при достаточно малой начальной скорости он будет совершать

ной системе могут наблюдаться особые случаи резонанса, несвой­ ственные линейным системам и характеризующиеся неоднознач­ ной зависимостью амплитуды вынужденных колебаний от часто­ ты. Резонанс в нелинейной системе возможен и на дробной частоте, т. е. на частоте, равной некоторой доле частоты входного воз­ мущения. Наконец, некоторым нелинейным системам свойственны

314 Г Л . 8. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

явления параметрического возбуждения и резонанса, заключаю­ щиеся в том, что в системе возникают колебания при периодиче­ ском изменении какого-либо ее параметра.

Особые свойства нелинейных систем широко используются в технике. На этих свойствах основано генерирование электро­ магнитных колебаний, выпрямление переменного тока, умножение и деление частот и другие процессы. Существует большое число нелинейных автоматических систем, в которых рационально ис­ пользуются нелинейные характеристики отдельных элементов и на этой основе получаются хорошие практические результаты. По динамическим качествам нелинейные автоматические системы во многих случаях превосходят линейные системы.

Однако в некоторых случаях нелинейности характеристик являются вредными факторами. Их надо либо устранять, либо выбирать режимы работы таким образом, чтобы нелинейности не оказывали существенного влияния на процессы в системе.

Особенности поведения нелинейных систем и многообразие процессов в них создают трудности точного их математического описания и теоретического изучения. Несмотря на это, задачи исследования нелинейных систем, несравненно более трудные, чем задачи исследования линейных систем, постепенно приобрета­ ют в современной технике все более актуальное значение. Можно выделить две основные проблемы теории нелинейных систем.

Первая проблема — исследование влияния нелинейностей ха­ рактеристик некоторых реальных элементов на процессы в сис­ темах, которые в основном являются линейными и проектируются как линейные. В этих случаях наличие нелинейных зависимостей изменяет только количественные характеристики процессов в сис­ темах. Необходимо учесть их влияние или спроектировать систе­ му так, чтобы процессы в ней не выходили из границ линейности характеристик элементов.

Вторая проблема — исследование принципиально нелинейных систем, имеющих в своем составе нелинейные элементы, которые определяют характерные особенности динамических процессов

втаких системах. Эта проблема включает задачи анализа процессов

внелинейных системах и синтеза систем, обладающих заданными

динамическими характеристиками.

§ 8.2. Типовые нелинейности автоматических систем

Реальные элементы автоматических систем, строго говоря, в большинстве случаев нелинейны, и лишь в известных пределах можно считать их линейными. Так, например, закон Ома дает линейную зависимость падения напряжения на сопротивлении от тока. Однако в действительности сопротивление проводника зави­ сит от его температуры, которая в свою очередь зависит от протека­

ющего по проводнику тока. Вследствие этого зависимость падения напряжения от тока получается значительно более сложной и совсем не линейной. И лишь при допущении, что ток изменяется в достаточно малом диапазоне, чтобы можно было пренебречь изменением сопротивления, можно принять зависимость падения напряжения от тока в проводнике линейной. Точно так же, как мы видели в § 3.2, зависимость напряжения на выходе потенцио­ метра от перемещения движка лишь приближенно можно считать линейной. И даже более точная нелинейная зависимость, получен­ ная в § 3.2, является идеализированной и вследствие этого при­ ближенной. В действительности напряжение на выходе потенцио­ метра мало изменяется при перемещении движка до тех пор, пока имеется контакт движка с данным витком, и быстро изменяется при разрыве контакта с данным витком и входе движка в контакт с новым витком. Вследствие этого действительная зависимость напряжения на выходе потенциометра от перемещения движка близка к ступенчатой кривой, и лишь при достаточно малой тол­ щине проволоки можно пренебречь зубцами и считать эту кривую плавной, как это было сделано в § 3.2.

Таким образом, практически любая автоматическая система является нелинейной и лишь приближенно может считаться линей­ ной. Однако нелинейности такого характера оказывают пренебре­ жимо малое влияние на свойства системы, вследствие чего теория линейных систем, изложенная в предыдущих главах, дает хоро­ шие результаты в применении к практическим задачам.

Как было отмечено в предыдущем параграфе, в состав автомати­ ческих систем часто входят существенно нелинейные элементы, которые существенно изменяют характер системы и придают ей такие свойства, которые никак не могут быть исследованы в рамках линейной теории. Среди нелинейных элементов автоматических систем особую роль играют так называемые безынерционные нели­ нейности, не обладающие заметным запаздыванием. Мы будем называть элементарным безынерционным звеном любую систему,

выходная переменная которой в каждый данный момент времени зависит только от значения входной переменной в тот же момент времени и не зависит от того, как изменяется входная переменная до данного момента. Таким образом, оператором элементарного безынерционного звена является обычная функциональная зависи­ мость между входной и выходной переменными. Эта функциональ­ ная зависимость называется характеристикой элементарного безынерционного звена.

Очевидно, что безынерционные усилители, входящие в состав линейных систем, являются элементарными безынерционными звеньями с линейными характеристиками.

В задачах практики обычно всегда удается все нелинейные свойства системы отнести к безынерционным звеньям, т. е. считать