Файл: Основы автоматического управления..pdf

316 Г Л . 8. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

с достаточной точностью любую систему состоящей из ряда линей­ ных систем и элементарных нелинейных безынерционных звеньев, соединенных различными связями.

Характеристики элементарных нелинейных звеньев можно разделить на слабые нелинейности и существенные нелинейности.

К первой группе относятся такие нелинейные характеристики, которые при малом диапазоне изменения входного сигнала или при малом его отклонении от изме­ няющегося среднего значения могут быть заменены линейными. Отклоне­ ние от линейной зависимости между входным и выходным сигналами у таких элементов объясняется влия­ нием особенностей их устройства, естественным ограничением мощности источников энергии или насыщением.

Такие характеристики можно аппро­ ксимировать полиномами или выра­ зить через однозначные аналитические функции. На рис. 8.2.1 приведена типовая характеристика усилителя

с насыщением. Насыщение наступает постепенно при больших значениях входного сигнала х. Такая зависимость может быть при­ ближенно аппроксимирована нечетным полиномом невысокой сте­ пени или какой-нибудь другой дифференцируемой функцией, например линейной комбинацией сину­ сов. Наличие подобных нелинейностей в системе часто мало сказывается на ее динамике, а именно при малых значе­ ниях входных сигналов таких нелиней­ ностей система ведет себя как линейная и только при больших входных сигналах проявляются ее нелинейные свойства, которые необходимо учитывать.

Ко второй группе относятся нели­ нейные характеристики, которые явля­ ются существенно нелинейными функ­ циями, например разрывными или близ­ кими к разрывным. Зависимость между

входной и выходной переменными для таких элементов чаще всего может быть приближенно представлена в виде кусочно-линейных функций. Пример типовой существенно нелинейной характеристи­ ки приведен на рис. 8.2.2.

Нелинейности второй группы чрезвычайно разнообразны, а эле­ менты с такими характеристиками имеют широкое применение в автоматических системах. Преобразование любого входного

сигнала этими нелинейными элементами всегда нелинейное. Типо­ вые характеристики элементарных нелинейных звеньев приведены в приложении 5. Там же приведены формулы, показывающие зависимость выходной переменной у от входной переменной х. Для некоторых нелинейных звеньев выходная переменная у зави­ сит не только от значения входной переменной х, но и от направ­

ления ее изменения, т. е. от знака скорости х. Характеристики таких звеньев оказываются неоднозначными функциями входной переменной х.

Мы будем обозначать характеристику любого элементарного

Однако каждый раз будем оговаривать, однозначна или неодноз­ начна эта нелинейность или будем указывать в числе аргументов

функции ф величину sgn х.

Нелинейности 1, 2, 3, 4 в приложении 5 характерны для раз­ личных усилителей. Нелинейность 5 характерна для устройств специального типа, применяемых для форсирования управляюще­ го сигнала при больших рассогласованиях. Нелинейности 5 и 6 являются идеализированными характеристиками многих электро­ магнитных приборов и других устройств. Характеристики 7, 8 и 13 являются неоднозначными. Характеристика 7 типична для трехпозиционных, а характеристика 8 типична для двухпозици­ онных переключающих элементов. Нелинейность 13 характеризует обычно зависимость между входным и выходным сигналами в механических передачах. Нелинейности 9, 10, 11 характеризуют работу различных радиотехнических элементов, выпрямителей или других устройств, обеспечивающих выпрямление или функци­ ональное нелинейное преобразование сигнала. Характеристика 12 типична для обыкновенного электромагнита или двигателя нерегулируемой тяги.

Следует отметить, что приведенные в приложении 5 типовые нелинейности характеризуют не только названные элементы. Одна

ита же нелинейность может выражать зависимость между входным

ивыходным сигналами для ряда типовых нелинейных элементов,

основанных на различных физических принципах. Иными слова­ ми, одна и та же нелинейность может характеризовать функцио­ нальные свойства различных реальных элементов. Пользуясь характеристиками нелинейных звеньев, можно определить выход­

ную переменную звена, если входная переменная задана как функция времени.

Однако при теоретических, а иногда и при экспериментальных исследованиях нелинейных систем не всегда удобно пользоваться реальными характеристиками нелинейных звеньев. Во многих случаях возможно и целесообразно заменить реальные нелиней­

ности некоторыми приближенными (в некотором смысле экви­ валентными) зависимостями между входной и выходной перемен­ ными. Особенно широкое распространение получили различные методы линеаризации нелинейностей, основанные на замене дей­ ствительных зависимостей между входными и выходными перемен­ ными приближенными линейными зависимостями. При этом, само собой разумеется, линеаризацию необходимо производить так, чтобы учесть хотя бы приближенно, в среднем нелинейные свойства элементов (т. е. чтобы для линеаризованных элементов не выполнялся принцип суперпозиции).

§ 8.3. Линеаризация нелинейных характеристик путем разложения в ряд

Во многих практических задачах изменение входного сигнала нелинейного звена бывает настолько малым, что нелинейная характеристика в пределах изменения входного сигнала может быть приближенно заменена линейной.

Линеаризация нелинейности состоит в замене характеристики нелинейного звена приближенной линейной зависи­ мостью, определяемой первыми членами разложения характеристики в ряд Тей­ лора. Это можно сделать только для однозначных дифференцируемых функ­ ций ф (X).

Пусть нелинейная характеристика Ф (х) является дифференцируемой функ­ цией. Если входной сигнал х нелиней­ ного звена мало отклоняется от неко­ торого среднего значения х0, то, при­ меняя формулу Тейлора и отбрасывая

остаточный член выше первого порядка относительно Ах = х — х 0,

Замена нелинейной зависимости (8.2.1) приближенной линейной зависимостью (8.3.1) с геометрической точки зрения представляет собой замену кривой у = ф (х) касательной к ней в точке х0

(рис. 8.3.1).

Реально действующие в автоматических системах сигналы обыч­ но содержат помехи, представляющие собой случайные функции времени. Поэтому входной сигнал нелинейного звена в атоматической системе, как правило, является случайной функцией време­

где тх (t) — математическое ожидание входного сигнала, включа­

сигнала, имеющая равное нулю математическое ожидание. В этом случае практически удобно производить линеаризацию нелиней­ ной характеристики относительно центрированного входного случайного сигнала, т. е. взять за центр разложения математи­ ческое ожидание входного сигнала. При этом нелинейную харак­ теристику надо разложить в ряд Тейлора относительно центриро­ ванной случайной функции Х° и отбросить члены ряда выше пер­

Замена нелинейной зависимости выходного сигнала от вход­ ного приближенной зависимостью (8.3.3) при переменном матема­ тическом ожидании входного сигнала равноценна замене кривой у = ер (х) подвижной касательной к ней в точке х = тх (<), кото­ рая «обкатывает» кривую у = ср (х) с течением времени. Таким образом, приближенная зависимость (8.3.3) линейна только относительно случайных колебаний (флуктуаций) Х° входного сигнала и остается нелинейной относительно полезного сигнала тх. Вследствие этого принцип суперпозиции для линеаризованной характеристики несправедлив.

Степень точности линейной зависимости (8.3.3) может быть оценена по максимально возможной величине отброшенных чле­ нов в области практически возможных реализаций случайных сигналов [53].

§8.4. Гармоническая линеаризация нелинейных характеристик

Вцелом ряде практических задач, связанных с исследованием нелинейных систем, приходится рассматривать действие на нелинейное звено сигнала в виде синусоидальных колебаний

постоянной амплитуды а:

Выходной сигнал нелинейного звена в этом случае также будет периодическим. Этот периодический выходной сигнал для неко­ торых типовых нелинейных звеньев с нечетными характеристиками показан на рис. 8.4.1. Однако при гармонических колебаниях входной переменной колебания выходной переменной нелинейно­ го звена уже не будут гармоническими.

Любая периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье. Поэтому выходной сигнал нелинейного звена при синусо­ идальном входном возмущении всегда может быть представлен