Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 420

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

320 ГЛ . 8. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

формулой

о о

 

y (t)= Ф*+ 2 (аѵ sin ѵсо£- f - c o s ѵю<),

(8.4.2)

V =1

 

где ф *, av, bv определяются известными формулами теории рядов Фурье [50]:

ф* = Ш ( ф (а sin ^ d^ ’ (8-4-3)

 

0

 

 

2л

 

гаѵ= —

^ ф (а sin ф) sin ѵф гіф,

 

о

 

 

2л

 

by =

^ ф (a sin ф) cos ѵф йф

 

о

 

 

(ѵ = 1,

2, ...).

 

 

(8.4.4)

Величина ф *

представляет со­

бой постоянную составляющую, или среднее значение выходного сигнала. Амплитуды аѵи Ьѵгар­ монических составляющих вы­ ходного сигнала быстро умень­ шаются по мере увеличения номера составляющей.

Мы видим, что в отличие от линейных систем, нелинейные звенья реагируют на гармони­ ческие колебания одной опре­ деленной частоты гармоничес­ кими колебаниями различных частот (теоретически—бесконеч­ ной последовательности частот). В сумме эти гармонические колебания дают негармоничес­ кие колебания выходного сигна­ ла. Эта основная особенность

нелинейных систем присуща, как мы видим, даже простейшим нелинейным системам — элементарным безынерционным нелиней­

ным

звеньям. Именно вследствие этой особенности резонанс

в нелинейной системе оказывается возможным,

когда частота вход­

ного

возмущения не совпадает с резонансной

частотой системы,

а равна резонансной частоте, деленной на целое положительное число.

§ 8.4. ГА РМ О Н И ЧЕС КА Я Л И Н Е А РИ ЗА Ц И Я

321

Нелинейное звено в автоматической системе включается прак­ тически всегда последовательно с линейными частями системы. Линейная часть является, как правило, фильтром низких частот и подавляет высокочастотные колебания. Вследствие этого часто оказывается возможным приближенно пренебречь гармониками выше первой на выходе нелинейного звена. Тогда, принимая во внимание (8.4.1), получим следующую приближенную зависимость выходной переменной элементарного безынерционного нелиней­ ного звена от его входной переменной:

 

уж 4>* + qx + -^-x,

(8.4.5)

где

2я

 

 

 

? =

j Ф(в8іпф)8тфгіф,

(8.4.6)

 

о

 

 

2я

 

О.' = ~

~ j Ф (я sin ф) cos ф йф.

(8.4.7)

 

о

 

При неоднозначной характеристике нелинейного звена возра­ станию и убыванию аргумента соответствуют разные ветви функ­ ции ф. В этом случае интегралы в формулах (8.4.3), (8.4.4), (8.4.6) и (8.4.7) должны быть разбиты на две части, соответствующие

возрастанию sin ф в интервале от — Т до Т 11 У^ыванию sin Ф

яЗя

винтервале от у до у .

Таким образом, пренебрегая высшими гармониками (обертона­ ми), в разложении в ряд Фурье выходной переменной, мы получили приближенную линейную зависимость между входной и выходной переменными нелинейного звена. Иными словами, под действием гармонических колебаний нелинейное звено как бы линеаризуется и может рассматриваться приближенно как линейное звено.

Коэффициенты q и q' называются гармоническими коэффициен­ тами усиления нелинейного звена. Они зависят от характеристики нелинейного звена и от амплитуды входного синусоидального сигнала.

Зависимость ф* и коэффициентов q и q' от амплитуды вход­ ного сигнала а отражает нелинейные свойства звена. Вследствие этой зависимости принцип суперпозиции неприменим для линеа­ ризованного звена.

Приближенное представление нелинейной зависимости (8.2.1) при синусоидальном входном сигнале линейной зависимостью

(8.4.5) обычно называется гармонической линеаризацией. Основан­ ный на этом приеме метод исследования нелинейных систем назы­ вается методом гармонической линеаризации или методом гармо-

21 Под ред. В. С. Пугачева

322

Г Л . 8. Х А Р А К Т Е РИ С Т И К И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

нического

баланса. Основы этого метода заложены в работах

Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [35—37]. Дальнейшее разви­ тие метод гармонической линеаризации получил в применении к автоматическим системам в работах Л. С. Гольдфарба [15] и Е. П. Попова и И. П. Пальтова [49].

Заметим, что для любой нечетной характеристики ф функция ср* равна нулю: ф* = 0. Отметим также, что для любой однозначной характеристики ф второй коэффициент q' равен нулю: q’ = 0. Это соответствует отсутствию сдвига фаз между первой гармони­ кой на выходе нелинейного звена и входным синусоидальным сигналом. На рис. 8.4.1, б, в изображена первая гармоника для таких нелинейностей. Если нелинейная характеристика неодно­ значна, то первая гармоника выходного сигнала сдвинута по фазе по отношению к входному синусоидальному колебанию. Этот случай изображен на рис. 8.4.1, г. В этом случае оба гармониче­ ских коэффициента усиления отличны от нуля.

Выражение (8.4.5)

можно представить также в форме

 

 

у

ä; ф* +

ca sin (соі + ф),

 

(8.4.8)

=

 

+

ф = arctg -2— , 1

(8.4.9)

с cos ф = q,

с sin ф = q'.

)Г

 

Величина с характеризует усиление амплитуды, а ф — сдвиг фазы гармонических колебаний нелинейным звеном. В отличие от ли­ нейных систем, усиление амплитуды и сдвиг фазы гармонически линеаризованным нелинейным звеном зависят от амплитуды

входного сигнала.

При теоретических исследованиях автоматических систем час­ то удобно рассматривать гармонический входной сигнал в ком­

плексной форме

X =

аеш .

(8.4.10)

 

Тогда первая гармоника

выходного сигнала

принимает вид

у —

ф* =

cfflei (“t+'W.

(8.4.11)

Если ввести комплексный гармоническиüt коэффициент усиления или амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена для

первой гармоники

е

(8.4.12)

ФП(а) = с

то зависимость между входным и выходным сигналами нелинейно­ го звена можно написать в форме

у — ф* = ф н (а) X.

(8.4.13)

Пользуясь формулами (8.4.9) и (8.4.12), получим для комплексного гармонического коэффициента усиления другое выражение:

Фн (а) = ?(«) + Ч' («)•

(8.4.14)

§ 8.4 ГА РМ О Н И ЧЕС КА Я Л И Н Е А РИ ЗА Ц И Я

323

Комплексный гармонический коэффициент усиления безынерцион­ ного нелинейного звена или его амплитудно-фазовая характери­ стика не зависит от частоты, но зависит от амплитуды гармониче­ ских колебаний. В этом состоит основное отличие нелинейного безынерционного звена от линейного инерционного. Для линейного звена, как мы видели, амплитудно-фазовая характеристика не зависит от амплитуды, но зависит от частоты входных гармони­ ческих колебаний.

Гармонические коэффициенты усиления типовых нелинейно­ стей даны в приложении 6.

Если входной сигнал нелинейного звена представляет собой

несимметричные колебания

 

 

X = x Q+

а sin cot,

(8.4.15)

где х 0 — постоянный сигнал, то,

учитывая только первую гармо­

нику в соответствии с принципом гармонической линеаризации, получим следующее приближенное выражение для выходной переменной нелинейного звена:

у

fa ф* (а, х 0) + q (а, х 0) а sin cot + q' (а, х 0) a cos cof,

(8.4.16)

где

 

2л

 

 

 

 

 

(8.4.17)

 

Ф* =

j ф (х0+

a sin ф) гіф,

 

 

О

 

 

 

 

2л

 

 

 

?= —j Ф (я0+а8іпф )8іпфс%

(8.4.18)

 

 

о

 

 

 

 

2 л

 

 

 

q' — —

j ф (xQ+

a sin ф) cos ф йф.

(8.4.19)

Для

 

о

 

 

нечетных характеристик

 

 

Ф(— х) = — ф (х)

ипостоянную составляющую выходного сигнала ф* можно представить в виде

 

Ф* =

?о (а, х 0) х 0,

(8.4.20)

где q0 — коэффициент

усиления по

постоянной

составляющей,

равный

2л

 

 

 

 

 

 

 

Яо=

ьйГ0 J

Ф (*о+

a sin ф) <іф.

(8.4.21)

 

0 о

 

 

 

Формулу (8.4.16) можно переписать также в виде, аналогичном

(8.4.5):

г/ л? ф* (a, x0) + q(a, х0) (х — х0) + q *о)-ж.

(8.4.22)

21*

324

ГЛ . 8. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

' П р и м е р 8.4.1. На входе нелинейного звена с характеристикой, изображенной на рис. 8.4.2, а, действует сигнал вида (8.4.15). Вычислим коэффициент усиления q0 по постоянной составляющей и гармонические

а )

в )

коэффициенты усиления q и q'. На рис. 8.4.2, б показан входной сигнал X (t), а на рис. 8.4.2, в — выходной сигнал у = ф (х). Применив для вычисле­ ния коэффициента q0 формулу (8.4.21), получим

 

21

 

• хо

а >

z0,

 

 

 

-arcsin —- при

 

9о =

пх0

а

 

 

(8.4.23)

1_

при

а <

ж0.

 

 

 

і 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляя по формуле (8.4.18) коэффициент q, получим

 

Я=

 

 

при

а >• х0,

(8.4.24)

 

 

при

а < х0.

 

 

 

 

Так как характеристика нелинейного звена однозначна, то в данном случае

9' = 0. В частном случае при х0 =

0 из формул (8.4.23),

(8.4.20) и (8.4.24)

получаем

 

 

9 7

47

(8.4.25)

go= _ ,

ф* = 0, * = = - .

П р и м е р 8.4.2. Вычислим гармонические коэффициенты усиления для неоднозначной характеристики, представленной па рис. 8.4.3, предполагая.

Смотрите также файлы