Файл: Основы автоматического управления..pdf

а для вычисления коэффициента q интеграл в формуле (8.4.6) должен быть

записан в виде

где первые два интеграла соответствуют ветви функции ф для случая воз­ растания sin і|), а вторые два интеграла соответствуют ветви кривой ф для

случая убывания sin ф, а фі = arcsin — . Вычислив интегралы получим

Изложенный в § 8.3 способ линеаризации нелинейностей непри­ меним к нелинейным звеньям, имеющим характеристики с угло­ выми точками и разрывами (т. е. существенно нелинейные харак­ теристики). Такие функции не имеют в каждой точке производной и не могут быть разложены в ряд Тейлора. Однако в предыдущем параграфе мы видели, что при синусоидальном входном сигнале

рис. 8.5.1, в кривая 1 показывает изменение выходного сигнала нелинейного звена при отсутствии на входе помехи, а кривая 2 — полный выходной сигнал при наличии на входе полезного сигнала и помехи. Пунктирной кривой 3 на рис. 8.5.1, в показано стати­ стическое среднее значение (математическое ожидание) выходного сигнала. Из этих рисунков видно, что при малом уровне флуктуа­ ций входного сигнала кривая 3 будет мало отклоняться от кри­ вой 1. При большом уровне флуктуаций входного сигнала среднее значение выходного сигнала будет близко к нулю, так как выход­ ной сигнал будет беспорядочно колебаться между крайними значе­ ниями. Следовательно, полезный сигнал практически не будет проходить через нелинейное звено. Иными словами, флуктуации подавляют полезный сигнал в нелинейном звене, уменьшают эффективный коэффициент усиления нелинейного звена. Чем выше уровень флуктуаций, тем сильнее подавляется полезный сигнал. При этом величина флуктуаций на выходе рассмотрен­ ного нелинейного звена также ограничивается.

Идея статистической линеаризации состоит в том, чтобы заменить истинную зависимость между входным и выходным сигналами нелинейного звена такой приближенной зависимостью, линейной относительно центрированного случайного входного сигнала, которая в основном учитывает рассмотренную физиче­ скую картину совместного прохождения полезного сигнала и слу­ чайной помехи через нелинейное звено. А именно статистически линеаризованная зависимость должна с достаточной точностью определять полезный сигнал и уровень флуктуаций на выходе нелинейного звена.

В результате статистической линеаризации зависимость меж­ ду входной и выходной переменными нелинейного звена

Величина ф0 представляет собой выходной полезный сигнал нели­ нейного звена, зависимость которого от входного полезного сигна­ ла является статистической характеристикой нелинейного звена.

Коэффициент кі представляет собой статистический коэффициент усиления нелинейного звена по случайной составляющей.

Для нелинейных звеньев, имеющих нечетные характеристики, функция ср0 может быть представлена в форме

Величина tp0 и статистические коэффициенты усиления нели­ нейного звена к0 и определяются из основного условия сохране­ ния величины полезного сигнала и уровня флуктуаций на выходе, нелинейного звена. Так как полезный сигнал представляет собой математическое ожидание, а уровень флуктуаций характеризуется дисперсией выходного сигнала, то величины ср0, к0, кі можно определить из условия равенства математического ожидания ти и дисперсии Dи случайной величины U, определяемой формулой (8.5.2), соответственно математическому ожиданию и дисперсии выходного сигнала Y нелинейного звена:

Так как случайная величина U представляет собой линейную функ­ цию случайной величины X, то на основании известных свойств математических ожиданий и дисперсий математическое ожидание и дисперсия случайной величины U определяются формулами

На основании первой из этих формул первое условие (8.5.4) дает

Подставляя это значение ф0 в (8.5.3), находим коэффициент к0 для нечетной характеристики:

Подставляя выражение (8.5.5) дисперсии величины U во второе условие (8.5.4), находим коэффициент kt:

где Оу = V^Dy, ox = y^Dx — средние квадратические отклонения выходного и входного сигналов нелинейного звена Y и X соот­ ветственно. Знак коэффициента kt определяется характером функ­ ции ф. Если функция ф (X) возрастает около точки х — тх, то следует взять /cj > 0 , а если функция ф (х) убывает, то следует взять кі < 0.

Условия (8.5.4) обеспечивают точный учет изменения нелиней­ ным звеном полезного сигнала и уровня флуктуаций. При этом, конечно, закон распределения выходного сигнала нелинейного звена при статистической линеаризации искажается. В этом отно­ шении метод статистической линеаризации вполне равноценен методу гармонической линеаризации, который обеспечивает пра­ вильный учет первой гармоники на выходе нелинейного звена, но искажает характер колебаний выходного сигнала.

Учитывая, что нелинейные звенья в автоматических системах работают совместно с линейными, для которых законы преобразо­ вания случайных сигналов определяются не столько их дисперсия­ ми, сколько корреляционными функциями, приходим к заключе­ нию, что можно допустить при статистической линеаризации некоторую ошибку в дисперсии выходного сигнала с целью лучше приблизить его корреляционную функцию.

На основании изложенных соображений возникает идея поло­ жить в основу метода статистической линеаризации другой прин­ цип, а именно принцип минимума средней квадратической ошибки от замены нелинейной зависимости (8.5.1) приближенной линей­ ной зависимостью (8.5.2):

Подставляя сюда выражение для U из (8.5.2) и используя извест­ ные свойства математических ожиданий, получим следующее условие:

т]= М [У2] + ф1 + k\Dx - 2ф0ту- 2к,М [УХ°] = min. (8.5.10)

При известных пгу, М [У2], D x и М [УХ°] величина ц является функцией параметров ф0 и Aj. Приравнивая нулю частные произ­ водные этой функции по фо и А4, получим уравнения

Уравнение (8.5.11) дает для ф0 ранее полученную формулу (8.5.6). Решая уравнение (8.5.12), получаем следующую формулу для коэффициента Ар

Легко показать, что найденные выражения ф0 и кj действитель­ но обеспечивают минимум величины тр Для этого дадим величинам Фо и кі в выражении (8.5.10) приращения, равные со’ответственне и0 и щ. Тогда получим

г]= М [{У- фо - и0- (к! + Щ) X0}2] =

= М [(У — фо — АД0)2] + и~+ u\Dx +

+ 2u0 (фо— ту) +2щ (АД* —М [УХ0]). (8.5.14)

Если фо и At определяются уравнениями (8.5.11) и (8.5.12), те формула (8.5.14) принимает вид

Отсюда видно, что ц принимает минимальное значение только при и0 = щ = 0, т. е. при фо и ки определяемых уравнениями (8.5.11)

и (8.5.12).