Файл: Основы автоматического управления..pdf

необходимо знать одномерную плотность вероятности Д (х ; t) входной случайной функции X (t) нелинейного звена, которую мы будем обозначать сокращенно / (х). Тогда формулы (8.5.6), (8.5.7), (8.5.8) и (8.5.13) примут вид

с о

где индексы вверху у коэффициентов указывают способ линеа­ ризации.

Пользуясь формулами (8.5.16)—(8.5.19), можно определить функцию фо и статистические коэффициенты усиления к0, кі для типовых нелинейных звеньев при заданной одномерной плотности вероятности / (х) входной случайной функции. Однако при работе нелинейного звена в замкнутой системе плотность вероятности его входного сигнала заранее неизвестна. Даже и после проведенного исследования системы часто удается определить только некоторые числовые характеристики входных случайных сигналов нелиней­ ных звеньев. Выход из этого затруднения достаточно прост. Дело в том, что изменение формы закона распределения / (х) в широких пределах не оказывает существенного влияния на коэффициенты к0 и кі и функцию ф0. Кроме того, нелинейные звенья, как прави­ ло, соединяются в системах с инерционными линейными звеньями, а закон распределения выходной переменной инерционной линей­ ной системы оказывается обычно близким к нормальному при любом законе распределения входной переменной. Закон распреде­ ления выходной переменной тем ближе к нормальному, чем инер­ ционнее линейная система (т. е. чем больше ее постоянные време­ ни). Учитывая эти соображения, можно принять в формулах (8.5.16)—(8.5.19) закон распределения входной переменной нели­ нейного звена нормальным:

При этом статистические коэффициенты усиления нелинейного зве­ на к0, к™, к\2>и его статистическая характеристика ф0 будут функ­ циями математического ожидания тх и среднего квадратического

отклонения ах входного сигнала.

При нормальном законе распределения входного сигнала функ­ ция фо выражается формулой

JV2jt Ох

—о о

Если продифференцировать это выражение по шх и сравнить ре­ зультат с (8.5.19), то получим

Следовательно, при нормальном законераспределения входного сигнала нелинейного звена коэффициент к™ можно вычислять по формуле (8.5.22).

Таким образом, в отличие от обычной линеаризации при помо­ щи ряда Тейлора, статистическая линеаризация дает выходной полезный сигнал и коэффициент передачи случайной составляю­ щей как функции не только полезного сигнала, но и уровня флук­ туаций входного сигнала. При этом, так же как и обычная лине­ аризация, статистическая линеаризация заменяет характеристику нелинейного звена функцией, линейной только относительно цен­ трированной случайной составляющей входного сигнала, но нелинейной относительно полезного сигнала. Вследствие этого принцип суперпозиции не выполняется для статистически линеари­ зованных звеньев, и таким образом их основные нелинейные свойства сохраняются.

В случае неоднозначных характеристик нелинейных звеньев функция ф (X) в формулах (8.5.16)—(8.5.19) заменяется функцией

Ф (X, sgn х), одномерная плотность вероятности / (х) входной слу­ чайной функции X(t) заменяется совместной плотностью вероят­

ности / (х, х) значений случайной функции X (t) и ее производной X’ (t) при любом данном t, а интегралы заменяются двойными

интегралами по переменным х, х.

В приложении 6 даны расчетные формулы для статистических коэф­ фициентов усиления к0, /q и статистической характеристики ф0 типовых нелинейностей при нормальном законе распределения входного сигнала *).

П р и м е р 8.5.1. Вычислим статистические коэффициенты усиления к0,

*і», /с£2> для нелинейности 5 (приложение 5), представленной на рис. 8.4.2, а. Так как нелинейность в данном случае нечетная, то, применяя фор­

мулу (8.5.17), находим статистический коэффициент усиления по полезному сигналу:

О

где Ф (х) — известная в теории вероятностей функция. Таблица этой функ­ ции дана в приложении 7.

Аналогично, применяя формулы (8.5.18) и (8.5.19) и производя ту же

*) Здесь изложен метод статистической линеаризации И. Е. Казакова. Метод статистической линеаризации американского ученого Бутона основан на замене характеристики нелинейного звена линейной зависимостью U = кХ с одним общим коэффициентом усиления для полезного сигнала и помехи, который определяется из условия (8.5.9). Статистическая линеаризация И. Е. Казакова совершеннее статистической линеаризации Бутона, так как она точнее учитывает основные законы совместного прохождения полезного сигнала и помехи через нелинейности. Относительно дальнейшего развития метода статистической линеаризации см. [27]. (Прим, ред.)

§ 8.6. Совместная гармоническая и статистическая линеаризация нелинейных характеристик

Входной сигнал нелинейного звена автоматической системы часто представляет собой сумму синусоидального сигнала опре­ деленной частоты и амплитуды и случайной функции X (t):

Z (t) = а sin Ы + X (t) = тх + а sincoZ + Х° (t). (8.6.1)

Если применить в этом случае метод статистической линеаризации, то статистическая характеристика нелинейного звена и статисти­ ческие коэффициенты усиления по математическому ожиданию и случайной составляющей будут периодическими функциями времени в силу периодической зависимости от времени математи­ ческого ожидания входного сигнала. При применении метода гармонической линеаризации гармонические коэффициенты уси­ ления будут случайными величинами в силу наличия случайной составляющей во входном сигнале. Поэтому в подобном случае целесообразно применить совместную статистическую и гармони­ ческую линеаризацию, т. е. заменить характеристику нелинейного звена

приближенной зависимостью

линейной относительно синусоидальной и центрированной случай­ ной составляющих входного сигнала. При этом, так же как в слу­ чаях одной гармонической и одной статистической линеаризации, полезную составляющую ф* выходного сигнала нелинейного звена можно в случае нечетной характеристики ф принять пропорцио­ нальной систематической составляющей входного сигнала (т. е. по­ лезному входному сигналу) тх:

Величины ф*, х, х', х0 и xt можно определить различными способами из условия правильного учета передачи нелинейным звеном полезного сигнала, первой гармоники и уровня флуктуа­ ций выходного сигнала.

Предположим, что математическое ожидание тх и дисперсия D x — Gx случайной части X (t) входного сигнала Z (г) нелинейного звена изменяются достаточно медленно для того, чтобы можно было считать нх постоянными в пределах одного периода синусо­ идальной части входного сигнала. Производя статистическую линеаризацию характеристики (8.5.1) нелинейного звена изложен­ ным в предыдуще.м параграфе методом, получим следующую при­ ближенную зависимость между входным и выходным сигналами

(8.6.5)

Здесь мы показываем в явной форме зависимость ф0 и кх от матема­ тического ожидания тг = тх + a sin at и среднего квадратиче­ ского отклонения az = ах входного сигнала нелинейного звена.

Вследствие наличия периодической составляющей в математи­ ческом ожидании входного сигнала функции ф0 и кг оказываются периодическими функциями времени. Следовательно, к ним можно применить метод гармонической линеаризации. Согласно этому методу представляем функцию ф0 при данном фиксированном зна­ чении ах рядом Фурье и оставляем в этом ряде только постоянную (систематическую) составляющую и первую гармонику. В резуль­ тате получаем

где согласно формулам (8.4.17), (8.4.18) и (8.4.19)

2л

Разложив в ряд Фурье статистический коэффициент усиления не­ линейного звена по случайной составляющей кі в формуле (8.6.5), мы должны оставить только постоянную составляющую, чтобы избежать появления нелинейного члена — произведения синусо­ идальной и центрированной случайной составляющих. В результате получим приближенную^формулу

kt (тх-\~а sin at, ох) » Xj (a, тх, a*) =

и получим приближенную линеаризованную зависимость (8.6.3) между составляющими входного сигнала и выходным сигналом нелинейного звена.