Файл: Основы автоматического управления..pdf

Функции фо и к± в (8.6.7)—(8.6.10) вычисляются по формулам

(8.5.16), (8.5.18), (8.5.19) и (8.5.21):

оо

для нормальной плотности вероятности / (х), определяемой форму­

лой (8.5.20).

В случае нечетной характеристики нелинейного звена формулы

Полученные формулы показывают, что статистические коэффи­ циенты усиления к 0 и представляют собой усредненные за пери­ од изменения гармонической составляющей статистические коэф­ фициенты усиления ко и kt. Коэффициенты к и к ' являются гармоническими коэффициентами усиления для статистической характеристики ф0, получаемой из функции ф статистическим ус­ реднением, как это следует из (8.6.11). Наконец, функция ф* есть постоянная составляющая функции ф0, вычисленная путем усред­ нения фо за период изменения гармонической составляющей.

Другим способом определения ф*, к 0, к , к ' , щ в (8.6.3) и (8.6.4), является применение сначала метода гармонической линеаризации, а потом метода статистической линеаризации. При этом получен­ ные в результате гармонической линеаризации постоянная составляющая ф* и гармонические коэффициенты усиления q и qr будут вследствие формул (8.4.17) — (8.4.19) функциями амплитуды синусоидальной составляющей а и случайной составляющей X.

линеаризации и производя статистическое усреднение коэффици­ ентов q и q', мы снова получим формулы (8.6.7) — (8.6.15). Центри­ рованными случайными составляющими в коэффициентах q и q' следует пренебречь, чтобы избежать появления произведения синусоидальной и центрированной случайной составляющих. Само собой разумеется, порядок интегрирования в формулах (8.6.7) — (8.6.15) можно изменить и произвести интегрирование сначала поф, а затем по х.

Величины ф *, х 0, х, x', xt можно также определить из условия совпадения средних значений математических ожиданий и диспер­ сий случайных функций Y (і) и U (t) за период синусоидальной составляющей (первый способ) или из условия минимума среднего значения за период среднего квадрата ошибки (8.5.9) (второй спо­ соб). При этом снова получатся формулы (8.6.7) — (8.6.15).

При теоретических исследованиях входной сигнал иногда

Тогда, применяя совместную гармоническую и статистическую линеаризацию, представим функцию Y в виде

Выведенные формулы показывают, что совместная статистиче­ ская и гармоническая линеаризация нелинейных характеристик дает приближенную линейную зависимость выходного сигнала нелинейного звена от синусоидальной и центрированной случай­ ной составляющих входного сигнала и в то же время учитывает взаимодействие систематической, синусоидальной и случайной составляющих при их совместном прохождении через йелинейное звено. Это выражается в том, что коэффициенты линеаризованной зависимости определяются как функции амплитуды синусоидаль­ ной составляющей и математического ожидания и дисперсии слу­ чайной составляющей входного сигнала. Иными словами, совмест­ ная статистическая и гармоническая линеаризация заменяет нелинейную зависимость между самими сигналами приближенной нелинейной зависимостью между их основными параметрами — постоянными (или медленно изменяющимися) составляющими, амплитудами и фазами синусоидальных составляющих и диспер­ сиями случайных составляющих,— а зависимость между быстро изменяющимися (синусоидальными и случайными) составляющими заменяет приближенной линейной зависимостью. В этом и заклю­ чается сила методов статистической и гармонической линеаризации, причина их широкого распространения и практической эффектив­

ности. Заменяя нелинейные зависимости между быстро изменяющи­ мися составляющими сигналов линейными, методы статистической и гармонической линеаризации дают возможность использовать для приближенного исследования нелинейных систем хорошо разработанные методы теории линейных систем. Учитывая при­ ближенно зависимость между основными параметрами постоянных, синусоидальных и случайных составляющих сигналов, методы статистической и гармонической линеаризации с достаточной в большинстве случаев для практики точностью отражают нели­ нейные свойства нелинейных звеньев и вследствие этого дают возможность приближенно исследовать различные процессы

внелинейных системах.

Внекоторых случаях при изучении’ колебаний в нелинейных

системах можно не интересоваться случайными составляющими выходных сигналов нелинейных звеньев, однако полностью пре­ небречь случайными составляющими входных синалов не удается вследствие их значительного влияния на амплитуды и частоты колебаний. В таких случаях можно пренебречь последним, случай­ ным слагаемым в формуле (8.6.3). При этом зависимость парамет­ ров колебаний от случайных возмущений будет учтена в форме зависимости величин ф*, х0, х и х ' от дисперсии случайной составляющей а£.

Вприложении 6 приведены формулы для величин х, xt при отсутствии во входном сигнале постоянной составляющей для типовых нелинейных характеристик.

Вглавах 10 и 11 будет показано применение методов гармони­ ческой и статистической линеаризации для приближенного иссле­ дования нелинейных систем.

Г л а в а 9

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 9.1. Электролитические датчики вертикали

Электролитический датчик является измерителем отклонения данного направления от вертикали. Конструктивно датчик выпол­ нен в виде ограниченной частью сферы полости, заполненной токопроводящей яшдкостью — электролитом (рис. 9.1.1). В кор­ пусе расположены четыре электрода, изолированных друг от дру­ га. Электролит не заполняет всего объема полости, и образую­ щийся воздушный пузырек при вертикальном положении датчика накрывает около половины площади каждого из четырех электро­ дов. При отклонении датчика от вертикали изменяется соотноше­ ние площадей перекрытия электродов электролитом и воздушным пузырьком. В результате изменяется проводимость электрической цепи и ток в ней. На этом основан принцип действия датчика.

Электрическая схема электролитического датчика показана на рис. 9.1.2. К электродам через обмотки трансформаторов Трі, Тр2 подведено переменное напряжение и. Через электроды датчика протекает переменный ток, величина которого определяется про­ водимостью G участка электрод — электролит — корпус датчика:

где G0 — проводимость при полном накрытии электрода воздуш­ ным пузырьком, S — площадь накрытия электрода электролитом, V — коэффициент пропорциональности.

Напряжения щ, u2 на вторичных обмотках трансформаторов Трі и Тр2 являются выходными сигналами и характеризуют углы отклонения а, ß оси датчика от вертикали в двух взаимно перпен­ дикулярных плоскостях. Амплитуды напряжений пропорциональ­ ны величинам углов а и ß, а фазы определяют направления откло­ нений (знаки углов о и ß). Определим зависимость напряжения

340 Г Л . 9. Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е ЭЛЕМ ЕНТЫ АВТОМ АТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Нелинейную характеристику электролитического датчика мож­ но приближенно представить в виде кусочно-линейной характери­ стики типа чистого ограничения (приложение 5, нелинейность 1). Кроме рассмотренной нелинейности, в электролитическом датчике имеется еще одна существенная нелинейность, обусловленная взаимным влиянием каналов. При наличии угла наклона датчика в другой плоскости ß изменяется крутизна характеристики, опреде­ ляющей зависимость амплитуды выходного напряжения иâ от уг­ ла а. На рис. 9.1.4 представлено семейство характеристик датчика,

■соответствующих плоскости угла а, в зависимости от параметра ß. Таким образом, параметры идеализированной кусочно-линейной характеристики датчика зависят от угла ß. Точно так же пара­ метры характеристики датчика, соответствующей наклону оси дат­ чика в плоскости угла ß, зависят от угла а. Эти зависимости необ­ ходимо учитывать при вычислении гармонических и статистических коэффициентов передачи электролитического датчика.

Изложенное показывает, что электролитический датчик можно считать безынерционным нелинейным звеном типа ограничителя с двумя взаимно связанными каналами.

Электролитические датчики нашли широкое распространение в гироскопических приборах как первичные датчики вертикали места. Простота устройства, небольшие габариты и высокая чув­ ствительность (пороговая чувствительность порядка 1'—2') явля­ ются их положительными качествами.

§ 9.2. Термосопротивления

Термосопротивление является датчиком температуры. Чув­ ствительным элементом датчика служит платиновая или медная проволока 1 (рис. 9.2.1), намотанная на каркас из изоляционного материала 2. Каркас с проволокой помещен в защитную трубку 3 из алюминия или латуни. При изменении температуры среды,

Рис. 9.2.1.

в которой находится датчик, изменяется сопротивление проводни­ ка (проволоки). На этом основан принцип действия датчика.

Зависимость электрического сопротивления проводника от его температуры выражается формулой

где Ѳ—температура проводника, R 0— сопротивление проводника при температуре Ѳ0, ф (Ѳ — Ѳ0) — определенная функция разности температур. В широком диапазоне температур функция ф (0 — Ѳ0) хорошо аппроксимируется экспоненциальной зависимостью

В узком диапазоне температур функция ф (Ѳ — Ѳ0) с достаточной точностью аппроксимируется полиномом

Ф (Ѳ - Ѳ0) = 1 + а (Ѳ - Ѳ0) + ß (Ѳ - Ѳ0)2 + . . . (9.2.3)

Коэффициенты а, ß, . . . в выражениях (9.2.2) и (9.2.3) определяют­ ся экспериментально.

Выведем зависимость температуры проводника Ѳ от температу­ ры среды т, в которой он находится. Для этого вычислим измене­ ние количества тепла dQ, содержащегося в проводнике, при изме­ нении его температуры на dQ: