§ 9.12. П Н ЕВМ А ТИ Ч ЕСК И Е Д В И ГА Т ЕЛ И |
401 |
равенства: |
^2ш = Gz. |
(9.12.10) |
= Glt |
Подставим сюда выражения весовых расходов из (9.12.7) и (9.12.9).
Тогда |
получим |
|
|
|
|
|
h h ( P m — Pi) = S[pt(ymax + y) + p1y], |
I |
(9.12.11) |
|
|
|
. |
> |
|
|
^2^3 (Pzш |
Pz) = G \pz (Ушах У) РгУІ• |
' |
|
Вычитая из |
первого уравнения (9.12.11) второе, |
получим |
к ІРіШ |
Pzш) |
к (Pi |
Pz) — |
|
|
|
= Symax (Pi — Pz) + Sy (Pi + Pz) + Sy (рі + p2), |
(9.12.12) |
где к — k2k 3. Подставляя в (9.12.12) выражение разности давле ний в отводящих штуцерах и полагая р = Рі — р2, получим
Sym&xP+ kp=kZ)1p0(p(e) —S |
[y(Pi + Pz)]- |
(9.12.13) |
Экспериментальные данные показывают, |
что сумма |
давлений |
в полостях цилиндра является величиной постоянной и пропор циональной давлению р0-
Pi + Pz = IzPo, |
(9.12.14) |
где £2 — коэффициент, учитывающий потери давления. Обычно величина коэффициента £2 имеет порядок £2 = 0,90 -у 0,75. Поэтому с достаточной точностью можно считать t 2. С уче том соотношения (9.12.14) уравнение (9.12.13) принимает вид
|
|
^Р+Р=£іРь[ф (е) —- х ] ’ |
(9.12.15) |
|
|
|
где |
Т = Symax/k — постоянная времени процесса изменения пере |
пада |
давления. |
(9.12.2) |
и |
(9.12.15), которые |
можно |
Уравнения |
(9.12.1), |
переписать в |
виде |
|
|
|
|
|
|
2£ Г jcc |
ос — &jUBX, |
|
|
|
Tp + P= tiPo\(p(e)~ |
« J |
, е= —— |
(9.12.16) |
|
|
|
L |
a max |
|
|
my = Sp R |
G (|у|<СУтах), |
|
описывают работу пневматического двигателя. Из этих уравнений видно, что пневматический двигатель, так же как и гидравличе ский, является сложной нелинейной системой. Рекомендуем чита телю самостоятельно составить структурную схему этой системы.
26 Под ред. В. С. Пугачева
402 гл. 9. Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А ВТО М А ТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ
Пневматические двигатели обладают большим быстродействием. Их инерционность очень мала по сравнению с инерционностью объектов управления. Вследствие этого при теоретическом иссле довании систем управления в большинстве случаев можно огра ничиться грубо приближенным описанием динамических свойств пневматических двигателей или даже считать их безынерционны ми, мгновенно отрабатывающими задаваемое системой управле ния положение управляющего элемента объекта управления (например, руля самолета или ракеты).
Для приближенного описания динамических свойств пнев матического двигателя можно, так же как и в случае гидравличе
ского двигателя, пренебречь силами инерции Т\а и ту и силами |
• |
• |
• |
вязкого трения 2ZJTyz и сру + |
с2у3 в уравнениях движения магни |
тоэлектрического элемента и поршня двигателя. Кроме того, пре небрежем инерционностью образования перепада давления р, т. е. постоянной времени Т во втором уравнении (9.12.16), и со противлением нагрузки G. Тогда в выражении (9.12.3) силы тре ния R останется только один последний член и уравнения (9.12.16)
заменятся |
упрощенными |
уравнениями |
|
“ = М вх, |
Р— ZiPo Гф (8) — ч гі » |
6= ——— } |
Sp — N sg n y^O . |
|
L |
к j |
ccmax |
|
Исключая из этих уравнений а, |
е и р и полагая х = kJ a max, |
получим |
|
|
|
|
|
^ ^ s g a y = q>(ituax)— |
(9.12.17) |
Отсюда видно, что поршень двигателя находится в покое при всех значениях входного сигнала ивх, при которых | <р (х«вХ) | <;
< |
NlZiSpo, т. е. при |
I ивх I < |
N/ntiSpo- |
При |
ывх > |
N /x ^ S p 0 |
скорость поршня у |
положительна |
(sgn у |
= 1), |
а при |
нвх < |
< |
— N/xt,iSpo скорость поршня |
у |
отрицательна (sgn у |
= |
— 1). |
Таким образом, уравнение (9.12.17) дает следующую зависимость скорости поршня двигателя от входного сигнала:
к |
Г |
/ |
ч |
, |
N л |
|
N |
x |
b |
^ |
+ |
t Ä |
J |
пр" |
|
0 |
прп |
- 5 5 |
к < |
““ < т а ; - |
(9.12.18) |
f 0 |
|
|
sfrJ |
прі1 |
|
Эта зависимость представляет собой нелинейность типа ограни чителя с зоной нечувствительности (приложение 5, нелинейность
3, рис. 9.11.3).
§ 9.13. Х А Р А К Т Е Р Н Ы Е Н Е Л И Н ЕЙ Н О С Т И ОБЪЕКТОВ У П Р А В Л Е Н И Я 403
Так как максимальное значение функции <р равно 1, то из (9.12.18) вытекает следующее выражение для максимальной скорости поршня:
<9Л2Л9>
Отсюда можно выразить величину k/S через утах. Тогда формула
(9.12.18) примет вид
№ оФ (кО + -^ |
_ |
N |
|
Утах Z iS p o - N |
|
п р и |
xgiSpo ' |
|
У = 0 при |
N |
<С Пвх <— |
N |
(9.12.20) |
х$іУро |
|
^УроФ (xuBX) - N |
|
N |
|
Уmax |
bSpo-N |
|
P |
BX>x£iSp0' |
|
Чтобы приближенно учесть запаздывание магнитоэлектриче ского устройства и образования перепада давления, обычно в фор мулах (9.12.18) и (9.12.20) берут запаздывающее значение вход ного сигнала ивх, т. е. считают, что эти формулы определяют зна
чение |
скорости поршня у' |
(t) по |
значению входного сигнала |
ивх (і |
— т). Запаздывание |
т для |
современных пневматических |
двигателей имеет порядок 0,01 ч- 0,02 с.
На основании изложенного пневматический двигатель можно приближенно представить той же структурной схемой (рис. 9.11.4), что и гидравлический двигатель.
Учет сопротивления нагрузки G приводит, так же как и в слу чае гидравлического двигателя, к изменению скоростной характе ристики двигателя, т. е. характеристики первого нелинейного* звена на рис. 9.11.4. Это равноценно добавлению на структурной, схеме на рис. 9.11.4 обратной связи выхода с первым нелинейным
звеном, а в случае зависимости G и от у — еще дополнительному замыканию скоростной характеристики соответствующей нели нейной обратной связью.
§ 9.13. Характерные нелинейности объектов управления.
Большинство объектов управления лишь приближенно могут рассматриваться как линейные. Во многих случаях при исследова нии автоматических систем приходится учитывать нелинейности как в элементах системы управления, так и в объекте управления. В предыдущих параграфах были выяснены основные нелинейности исполнительных устройств. Эти нелинейности приводят к нелиней ности объекта управления в случае, когда объект управления свя зан жесткой механической передачей с исполнительным устрой ством, как, например, в случае подвижной пушечной установка на самолете.
404 ГЛ . 9. Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е Э Л Е М Е Н Т Ы А В ТО М А ТИ ЧЕС К И Х СИСТЕМ
В § 3.16 было показано, что самолет или крылатую ракету мож но приближенно считать линейным объектом управления. Однако в некоторых задачах приходится учитывать нелинейности самолета или ракеты. Основной существенной нелинейностью самолета или ракеты является ограничение отклонения рулей. Эта нелиней ность, имеющая характер идеального ограничения, определяется зависимостью истинного отклонения руля б от теоретического
|
|
|
|
|
|
|
|
отклонения, |
задаваемого |
системой |
управления |
б3 |
(рис. 9.13.1). |
.Учет этой нелинейности особенно |
необходим в |
случае |
высокого |
|
|
уровня помех в сигнале управле |
|
д |
ния. В этом случае задаваемое |
|
|
системой |
управления |
отклоне |
|
|
ние руля б3 содержит случайные |
|
|
колебания |
большой |
амплитуды, |
|
|
которые вследствие |
изложенного |
|
|
в § 8.5 будут подавлять полезный |
|
|
сигнал на нелинейности и тем |
|
|
самым снижать эффективность уп |
|
|
равления, т. е. как бы уменьшать |
|
|
фактическое эффективное значе |
Рис. |
9.13.1. |
ние коэффициентов а&и св в урав |
|
|
нениях (3.16.8) и (3.16.10). Кроме |
|
|
этой |
существенной нелинейности, |
в уравнениях движения самолета (ракеты) имеются и другие нели нейности. Так, например, угол наклона вектора скорости самолета к горизонту Ѳ входит в уравнения движения (3.16.2), (3.16.8) и в кинематические уравнения (3.16.3) нелинейно. Кроме того, аэродинамические коэффициенты су и тг лишь приближенно могут быть выражены линейными функциями (3.16.6), (3.16.7). В действи тельности, как показывают результаты экспериментальных иссле дований в аэродинамических трубах, су и тг являются сложными нелинейными функциями угла атаки а и угла отклонения руля высоты б, а в случае пространственного движения — и переменных, определяющих поперечное движение самолета, перпендикулярное к вертикальной плоскости. Конечно, и в этом случае можно выра
зить аэродинамические коэффициенты су и тг |
формулами |
вида |
(3.16.6) и (3.16.7), но только коэффициенты с“, |
т\, |
тп“, |
и т\ |
следует при этом считать функциями угла атаки а |
и угла откло |
нения руля^высоты б. Таким образом, движение самолета или ракеты с учетом нелинейности также описывается уравнениями (3.16.3) и (3.16.8), только коэффициенты А а, а а а и ад в них
являются функциями а и б. Кроме того, к этим уравнениям до бавляется условие I б I ^ бтах.
Г л а в а 10
УСТОЙЧИВОСТЬ II АВТОКОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 10.1. Общее определение устойчивости
Данное в § 6.5 определение устойчивости по Ляпунову приме нимо как к линейным, так и к нелинейным системам, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями. Чтобы формулировать это определение математически, положим, что система дифференциальных уравнений, описывающая поведение исследуемой системы, приведена к нормальной форме Коши, т. е. к системе уравнений первого порядка, решенных относительно производных:
Ук= <РкѴ, Уи • • •. Уп) |
(к= 1, |
. •., п), |
(10.1.1) |
где Уі , . . ., уп — величины, определяющие |
состояние |
системы |
в каждый данный момент времени. Одна или несколько из этих величин могут быть выходными переменными системы, а осталь ные представляют собой вспомогательные переменные, которые необходимо ввести для приведения уравнений к виду (10.1.1). Правые части уравнений (10.1.1) представляют собой заданные
функции времени t и величин уи |
. . ., уп. |
• Если правые части уравнений |
(10.1.1) не зависят явно от вре |
мени t, то это означает, что на систему не действуют никакие внеш ние возмущения, представляющие собой функции времени, а’ все действующие силы (конечно, обобщенные) зависят только от состояния системы, т. е. являются внутренними. Поэтому системы, описываемые уравнениями вида (10.1.1), с правыми частями, зависящими только от величин уі, . . ., уп и не зависящими явно от времени t, называются автономными.
Если в правых частях уравнений (10.1.1) явно зависят от вре мени лишь внешние возмущения, то система, описываемая урав нениями (10.1.1), стационарна. В общем случае, когда функциями времени в уравнениях (10.1.1) являются не только внешние воз мущения, но и некоторые параметры системы, эта система неста ционарна. Очевидно, что любая автономная система стационарна, но не всякая стационарная система автономна. Стационарная систе ма автономна лишь в том случае, когда на нее не действуют ника
кие внешние (входные) возмущения. |
• •, Упо> |
Каждой совокупности начальных условий^' t0, Уш • |
не являющейся особой точкой правых частей уравнений |
(10.1.1), |
